均值不等式求最值的十種方法

1、用均值不等式求最值的方法和技巧一、幾個重要的均值不等式當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b = c時,“=”號成立； ,當且僅當a = b = c時,“=”號成立.注： 注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個重要的不等式鏈：。一、拼湊定和通過因式分解、納入根號內、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例 (1) 當時，求的最大值。 (2)已知，求函數(shù)的最大值。解： 。當且僅當，即時，上式取“=”。故。評注：通過因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形

2、式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關系，求“積”的最大值。例2 求函數(shù)的最大值。解：。因，當且僅當，即時，上式取“=”。故。評注：將函數(shù)式中根號外的正變量移進根號內的目的是集中變元，為“拼湊定和”創(chuàng)造條件。例3 已知，求函數(shù)的最大值。解：。當且僅當，即時，上式取“=”。故，又。二、 拼湊定積通過裂項、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，配項湊定積，創(chuàng)造運用均值不等式的條件。例4 (1)已知，求函數(shù)的最大值(2)設，求函數(shù)的最小值。解：。當且僅當時，上式取“=”。故。評注：有關分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項，變?yōu)楹?/p>

3、的形式，然后“拼湊定積”，往往是十分方便的。例5 已知，求函數(shù)的最大值。解：，。當且僅當時，上式取“=”。故。評注：有關的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變原式的結構，將分子化為常數(shù)，再設法將分母“拼湊定積”。例6 已知，求函數(shù)的最小值。解：因為，所以，令，則。所以。當且僅當，即時，上式取“=”。故。評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出運用均值不等式的環(huán)境。三、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍四、拼湊常數(shù)降冪例7 若，求證：。分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運用功能，它能在“等”與“不等”

4、的互化中架設橋梁，能為解題提供信息，開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應拼湊項，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉化。證明：。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡潔明了。例8 若，求的最大值。解：。當且僅當時，上述各式取“=”，故的最大值為7。例9 已知，求證：。證明：，又，。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。五、拼湊常數(shù)升冪例10 若，且，求證。分析：已知與要求證的不等式都是關于的輪換對稱式，容易發(fā)現(xiàn)等號成立的條件是，故應拼湊，巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉化。證明：，當且

5、僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。例11 若，求證：。證明：。又。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。六、約分配湊通過“1”變換或添項進行拼湊，使分母能約去或分子能降次。例12 已知，求的最小值。 解：。當且僅當時，即，上式取“=”，故。例13 已知，求函數(shù)的最小值。解：因為，所以。所以。當且僅當時，即，上式取“=”，故。例14 若，求證。分析：注意結構特征：要求證的不等式是關于的輪換對稱式，當時，等式成立。此時，設，解得，所以應拼湊輔助式為拼湊的需要而添，解題可見眉目。證明：。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。七、引入?yún)?shù)拼湊 某些復雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)

6、，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。例15 已知，且，求的最小值。解：設，故有。當且僅當同時成立時上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時，故的最小值為36。八、 引入對偶式拼湊 根據(jù)已知不等式的結構，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后一起參與運算，創(chuàng)造運用均值不等式的條件。例16 設為互不相等的正整數(shù)，求證。證明：記，構造對偶式，則，當且僅當時，等號成立。又因為為互不相等的正整數(shù)，所以，因此。評注：本題通過對式中的某些元素取倒數(shù)來構造對偶式。九、確立主元拼湊 在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個數(shù)，恰當拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。例17 在中，證明。分析：為輪換對稱式，即的地位相同，因此可選一個變元為主元，將其它變元看作常量（固定），減少變元個數(shù)，化陌生為熟悉。證明：當時，原不等式顯然成立。 當時，。當且僅當，即為正三