臥式儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定

1、臥式儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要本文分析臥式儲(chǔ)油罐無變位和有變位時(shí)的罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立了儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系模型。通過變位時(shí)罐內(nèi)儲(chǔ)油體積與無變位時(shí)儲(chǔ)油體積的變化差來分析罐體變位后對(duì)罐容表的影響。在問題一中：我們針對(duì)兩端平頭的小橢圓型儲(chǔ)油罐，首先建立罐體無變位的儲(chǔ)油體積關(guān)于油位高度的積分模型，通過對(duì)橫截面積的微分，求出橫截面積，對(duì)截面積S在Y軸上積分，得出罐內(nèi)儲(chǔ)油體積模型：。然后同樣采用數(shù)學(xué)積分建立罐體變位后儲(chǔ)油體積關(guān)于油位高度及縱向傾斜角的關(guān)系模型：。在分析罐體變位對(duì)罐容表的影響時(shí)，我們通過建立罐體變位時(shí)容積關(guān)于變位角度的變化量的關(guān)系：，來體現(xiàn)罐體變位對(duì)罐容表的影響。然

2、后在精確模型可以求得無變位時(shí)的容積和變位角度的變化量的前提下，得到變位后容積的一般模型: 。在計(jì)算罐體變位后罐內(nèi)油面高度間隔為1cm時(shí)的罐容表時(shí)，我們分別采用精確模型和近似模型計(jì)算出理論標(biāo)定值和近似標(biāo)定值，同時(shí)采用分段二次拉格朗日插值算法根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算罐體變位后高度每隔0.01m時(shí)對(duì)應(yīng)的標(biāo)定值，通過比較和誤差分析驗(yàn)證了所建立的近似模型的正確性與可行性，從而我們可采用所建立的近似模型來給出高度間隔為0.01m時(shí)的罐容表。在問題二中：我們先考慮實(shí)際儲(chǔ)油罐無變位時(shí)的罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度的積分模型，將儲(chǔ)油罐體積分成圓柱體和兩個(gè)球缺來計(jì)算，得到儲(chǔ)油罐體積模型為：。在罐體有變位的儲(chǔ)油體積計(jì)算時(shí)，我們先考

3、慮橫向偏轉(zhuǎn)的影響，得到垂直于油面的高度：，從而本問可同樣近似采用問題一中所建立的近似計(jì)算模型來計(jì)算變位后容積。根據(jù)附錄所給數(shù)據(jù)，采用MATLAB編程求解，得到縱向傾斜角和橫向偏轉(zhuǎn)角度的值為：。最后，通過對(duì)近似模型計(jì)算得出的理論值與插值法根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算出的數(shù)值進(jìn)行相對(duì)比較及誤差分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性與合理性，證實(shí)了模型是準(zhǔn)確可行的，并利用近似模型給出了高度間隔為0.1m的罐容表。關(guān)鍵詞：回歸分析 插值法 罐容表 近似計(jì)算一、問題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即

4、罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體

5、無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、模型假設(shè)與符號(hào)說明2.1模型的假設(shè)假設(shè)1：不

6、考慮溫度、壓強(qiáng)對(duì)燃油體積的影響假設(shè)2：油位探針是始終垂直指向罐底的假設(shè)3：油罐體中燃油的進(jìn)油和出油都是單獨(dú)進(jìn)行的假設(shè)4：罐體變位后對(duì)進(jìn)/出油流量無影響假設(shè)5：罐體內(nèi)附件體積對(duì)罐容量影響可忽略不計(jì)假設(shè)6：題中所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)真實(shí)可靠2.2符號(hào)說明由油位探針測(cè)出的油位高度有變位油罐體內(nèi)的實(shí)際油高燃油覆蓋所達(dá)最左端點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值燃油覆蓋所達(dá)最右端點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值儲(chǔ)油罐內(nèi)的油料體積橢圓的長半軸長度橢圓的短半軸長度S無變位儲(chǔ)油罐內(nèi)燃油沒過橫向截面的面積s平均誤差平均相對(duì)誤差ms最大誤差mrs最大相對(duì)誤差無變位儲(chǔ)油罐內(nèi)油位高度為h時(shí)橢圓截面的浮油高度m小橢圓型油罐體內(nèi)原點(diǎn)到左邊橢圓之間的距離n小橢圓型油罐體內(nèi)原

7、點(diǎn)到右邊橢圓之間的距離有變位儲(chǔ)油罐在Y軸坐標(biāo)點(diǎn)為y時(shí)的橫截面被燃油沒過的面積當(dāng)油位高度為h時(shí)截面上的燃油高度儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角儲(chǔ)油罐的橫向傾斜角罐體無變位時(shí)的儲(chǔ)油體積罐體變位時(shí)的儲(chǔ)油體積u表示e表示R實(shí)際油罐體橫切面所得圓的半徑r實(shí)際油罐體中球缺所在球的半徑三、問題分析本文要求用數(shù)學(xué)建模的方法來研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。針對(duì)問題一：此問要求我們利用一個(gè)小橢圓型儲(chǔ)油罐來研究分析罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出該罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。為分析變位對(duì)罐容表的影響，我們希望通過探究有變位時(shí)與變位角度相關(guān)的體積變化量來研究變位對(duì)罐容表的影響。為此我們首先用積分法建

8、立模型來求解無變位時(shí)的儲(chǔ)油體積和有變位時(shí)的儲(chǔ)油體積，然后通過題中所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)該體積求解模型，最后將有變位時(shí)的體積求解模型進(jìn)行對(duì)的微分得出與變位角相關(guān)的體積變化量，此變化量即為罐體變位對(duì)罐容表的影響。為得出該罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表，我們先用精確模型和近似模型進(jìn)行計(jì)算得出理論標(biāo)定值和近似標(biāo)定值，再運(yùn)用插值算法根據(jù)附錄中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算求解，以此來對(duì)比驗(yàn)證兩類模型的準(zhǔn)確性。 針對(duì)問題二：此問首先要求我們建立一個(gè)罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于該模型的建立我們可沿用第一問中的體積變化量思想，用變位產(chǎn)生的體積變化量與對(duì)應(yīng)的無變位時(shí)儲(chǔ)油體積之和來求解有變位時(shí)的儲(chǔ)油體積。然后針對(duì)該問

9、用附件2中的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解確定模型的變位參數(shù)，并進(jìn)一步利用其余實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。最后，我們用兩種方法標(biāo)定罐容表，一種是采用本文所提出的模型，另一種是以實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)用插值法，比較了兩種方法給出的罐容表的一致性。四、模型的建立與求解問題一：研究變位對(duì)平頭橢圓儲(chǔ)油罐罐容表的影響，并給出變位后油位高度間隔為1cm的罐容標(biāo)定值模型的建立為了分析兩端平頭的橢圓柱體罐體變位對(duì)罐容量的影響，我們先考慮水平放置時(shí)油罐容油量與油位高度之間的關(guān)系模型，然后考慮縱向傾斜時(shí)儲(chǔ)油罐容量與油位高度之間的關(guān)系模型。（1）罐體無變位的模型1為便于分析計(jì)算，我們以油位探針與罐底的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，以油位探針為Z軸，罐

10、底水平線為Y軸，以垂直于YOZ平面且過O點(diǎn)的直線為X軸，建立三維坐標(biāo)系，如圖1中(a)和(b)所示：(a) 在小橢圓油罐內(nèi)建立坐標(biāo)系（b）橫向橢圓截面的坐標(biāo)示意圖圖2無變位小橢圓型罐體的坐標(biāo)系示意圖為建立數(shù)學(xué)模型，首先可設(shè)立如下變量：由油位探針測(cè)出的油位高度；：燃油覆蓋所達(dá)最左端點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值；：燃油覆蓋所達(dá)最右端點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值；：儲(chǔ)油罐內(nèi)的燃油體積；：橢圓的長半軸長度；：橢圓的短半軸長度；S：無變位儲(chǔ)油罐內(nèi)燃油沒過橫向截面上橢圓的面積；：無變位儲(chǔ)油罐內(nèi)油位高度為h時(shí)橢圓截面的浮油高度。（注：無變位時(shí)= ）橢圓柱體橫向截面橢圓方程為： 當(dāng)燃油高度為h時(shí)罐內(nèi)的燃油橫截面的面積： 對(duì)截面積S在Y軸

11、上積分，被積表達(dá)式： 積分區(qū)間為：得到體積的積分模型： 將S表達(dá)式代入，即： （2）罐體有變位的模型1與罐體無變位時(shí)一樣建立坐標(biāo)系，如圖3中（a）和（b）所示建立三維坐標(biāo)系：(a)在小橢圓內(nèi)建立坐標(biāo)系 （b）橫向橢圓截面的坐標(biāo)示意圖圖3 有變位小橢圓型罐體的坐標(biāo)系示意圖由于此問中只分析了無變位和縱向變位兩種情況，所以這里的變位模型只建立有縱向變位的模型。首先可設(shè)立如下變量：h：由油位探針測(cè)出的油位高度；：罐體的縱向傾斜角度；m：原點(diǎn)到左邊橢圓之間的距離；n：原點(diǎn)到右邊橢圓之間的距離；：燃油覆蓋所達(dá)最左端點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值；：燃油覆蓋所達(dá)最右端點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)值；V：儲(chǔ)油罐內(nèi)的儲(chǔ)油體積；a：橢圓的長半軸

12、長度；b：橢圓的短半軸長度；：儲(chǔ)油罐在Y軸坐標(biāo)點(diǎn)為y時(shí)的橫截面被燃油沒過的面積；：當(dāng)油位高度為h時(shí)截面上的燃油高度。其中由平面幾何知識(shí)可得與各截面在Y軸上坐標(biāo)的關(guān)系為： 與無變位時(shí)一樣，我們對(duì)每個(gè)橫截面被燃油沒過的面積求解，有： 對(duì)截面積在Y軸上積分得到體積的計(jì)算模型： 將的求解公式代入體積模型可得： 這是一個(gè)關(guān)于h的分段函數(shù)。我們分段考慮和的具體取值。我們知道油罐的縱向變位有兩種情況，即向左端傾斜和向右端傾斜。由于儲(chǔ)油罐是傾斜放置的，因此當(dāng)燃油油位超過油浮子所測(cè)最大范圍后，油罐體仍可進(jìn)油，燃油的儲(chǔ)量是不可測(cè)的，當(dāng)油位高度顯示為0時(shí)，油罐內(nèi)不一定無油，燃油的儲(chǔ)量同樣是未知不可測(cè)的。若以油位接近

13、油位探針底端為臨界點(diǎn)，則罐體向不同的方向傾斜會(huì)有不同的最大未知儲(chǔ)油值?？芍蜃髢A斜和向右傾斜對(duì)油罐罐容標(biāo)定值有一定的影響。下面我們分別討論向左、向右傾斜的情況。罐體向左傾斜由圖4可得只有當(dāng)燃油表面介于L1L4之間時(shí)模型才可求解： 當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度低于直線L1，即h<=0時(shí)，探針高度一直為0，罐內(nèi)油量是無法測(cè)得計(jì)算的，罐內(nèi)油量的最大不可測(cè)量值即為模型的值；當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L1L2之間，即時(shí)：=-m， ； 當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L2L3之間，即時(shí)：=-m，=n；當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L3L4之間，即時(shí)：，=n；當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度高于直線L4，即h= 時(shí)，燃油高度

14、可能超過h所達(dá)高度，罐內(nèi)油量時(shí)無法測(cè)得計(jì)算的，故此段可予以忽略。 圖4 罐體向左變位時(shí)油位的垂直高度與其Y軸坐標(biāo)關(guān)系圖罐體向右傾斜由圖5可得只有當(dāng)燃油表面介于L1 L4之間時(shí)模型才可求解： 當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度低于直線L1，即h=0時(shí)，罐內(nèi)油量是無法測(cè)得計(jì)算的，罐內(nèi)油量的最大不可測(cè)量值即為模型的值；當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L1L2之間，即時(shí)：，=n； 當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L2L3之間，即時(shí)：=-m，=n；當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L3L4之間，即時(shí)： =-m， ；當(dāng)罐體內(nèi)油位垂直高度高于直線L4，即時(shí)，探針高度一直顯示為最大值，罐內(nèi)油量時(shí)無法測(cè)得計(jì)算的，故此段可予以忽略。圖5 罐

15、體向左變位時(shí)油位的垂直高度與其Y軸坐標(biāo)關(guān)系圖（3）研究變位對(duì)罐容表的影響 有變位時(shí)容積關(guān)于變位角度的變化量為： 因此我們可從罐體無變位時(shí)的容積出發(fā)求得罐體有變位時(shí)的模型即： 由式（9）積分可得： 令，當(dāng)時(shí)，由式（10）和式（11）可得： 將用泰勒級(jí)數(shù)展開得：取前兩項(xiàng)之和，代入（12）得 進(jìn)一步求得： 將式（14）代入式（15）得： 當(dāng)時(shí)，這說明將油浮標(biāo)桿放在罐體中央，其縱向傾斜對(duì)油容表影響很小。為了得到一個(gè)較為簡單，且能應(yīng)用于實(shí)踐的模型，通過觀察式（16）可知關(guān)于和的關(guān)系可用一個(gè)近似的表達(dá)式來確定。將式（16）變形可得：令： 由此可得到變位后容積關(guān)于和的一般模型： 其中為無變動(dòng)時(shí)高為h時(shí)的體積

16、，為與和無關(guān)的常數(shù)。當(dāng)燃油表面介于L1 L4之間其余情況時(shí)，可得類似近似模型。模型的求解（1）罐體無變位模型的求解在小橢圓型無變位罐體中，高度，=-0.4m, 2.05m， a=0.89m，b=0.6m。問題一中給出了無變位進(jìn)出油的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件編程將探針?biāo)鶞y(cè)高度作為自變量，利用無變位模型（5）求解（見附錄三）。相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實(shí)際值圖形如下：為了衡量模型的誤差大小我們引入以下變量：平均誤差 其中為理論值與預(yù)測(cè)值之差，為總的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)平均相對(duì)誤差 最大誤差 最大相對(duì)誤差 其中為理論值與預(yù)測(cè)值之差，為總的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)由式可得：平均誤差： 平均相對(duì)誤差：最大誤差： 最大相對(duì)

17、誤差：從圖形和誤差分析可知，小橢圓型罐體無變位時(shí)儲(chǔ)油體積通過模型計(jì)算的理論值與實(shí)際值的吻合度相當(dāng)好，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。（2）罐體變位模型的求解根據(jù)題中給出的小橢圓油罐正面示意圖可知罐體是向左傾斜的，而且題中數(shù)據(jù)均給出了油位高度，所以題中的數(shù)據(jù)均可用該變位模型（11）求出可行解。利用MATLAB軟件編程將探針?biāo)鶞y(cè)高度作為變量求解（見附錄四），繪出相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實(shí)際值圖形如圖6：圖6由式可得：平均誤差： 平均相對(duì)誤差：最大誤差： 最大相對(duì)誤差：通過圖形和誤差分析可知，我們可以看出由小橢圓型罐體有變位時(shí)儲(chǔ)油體積通過模型計(jì)算的理論值與實(shí)際值之間有一定的誤差，但基本上是吻合的，也驗(yàn)證了

18、模型的準(zhǔn)確性。正是由于罐體內(nèi)附件體積及溫度、壓強(qiáng)等對(duì)儲(chǔ)油體積的影響，理論值與實(shí)際值是不可能完全一致的，所以會(huì)存在一定誤差。（3）變位后容積關(guān)于和的近似模型據(jù)附表一傾斜變位的進(jìn)油數(shù)據(jù)，對(duì)式（17）進(jìn)行回歸分析，用MATLAB編程求得各項(xiàng)系數(shù)的值為（見附錄）： 因此可建立關(guān)于的回歸模型為： 進(jìn)一步可利用此模型，通過MATLAB編程（見附錄五），據(jù)附表一傾斜變位的出油數(shù)據(jù)，可繪出相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實(shí)際值的圖形如圖7：圖7由式可得：平均誤差： 平均相對(duì)誤差：最大誤差： 最大相對(duì)誤差：由圖形和誤差分析可知，小橢圓型罐體有變位時(shí)變位后容積用近似模型（17）所求理論值與實(shí)際值基本吻合，說明了模型

19、的可行性與準(zhǔn)確性。我們作出回歸模型的殘差如圖8：圖8通過圖形可知，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較均勻，從而也說明了回歸模型較準(zhǔn)確。4.1.4 給出變位后油位高度間隔為1cm的罐容標(biāo)定值在求罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容標(biāo)定值時(shí)，我們運(yùn)用插值算法，根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值進(jìn)行求解。油量隨高度的變化表示為：其中，為油量；為高度；為油量隨高度變化的函數(shù)。我們采用分段二次拉格朗日拋物插值法進(jìn)行求解2。 分段二次拉格朗日拋物插值法若求和之間任一點(diǎn)的值，則可用，3個(gè)點(diǎn)（通常稱為上三點(diǎn)）來求得，上三點(diǎn)內(nèi)插公式：我們根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值數(shù)據(jù)，應(yīng)用三點(diǎn)拉格朗日插值法計(jì)算出油位

20、高度每隔0.01m對(duì)應(yīng)的油料容積，將計(jì)算出的數(shù)據(jù)繪制成曲線，其結(jié)果如圖9所示。（數(shù)據(jù)見附錄程序見附錄六。）圖9我們根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值數(shù)據(jù)，應(yīng)用近似模型計(jì)算出油位高度每隔0.01m對(duì)應(yīng)的油料容積，將計(jì)算出的數(shù)據(jù)繪制成曲線，其結(jié)果如圖10所示（程序見附錄七）圖10由式可得：平均誤差：平均相對(duì)誤差：最大誤差：最大相對(duì)誤差：由圖形和誤差分析可知， 插值算法與近似模型算得的結(jié)果近似一致，兩者差值保持在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，從而驗(yàn)證了近似模型的準(zhǔn)確性。給出罐容表在已驗(yàn)證近似模型較為準(zhǔn)確的情況下，我們利用近似模型來給出罐容表。通過MATLAB編程求得罐容表:油高/mm容積/L油高/m

21、m容積/L油高/mm容積/L油高/mm容積/L097.859310623.26201798.29303138.51089.983320654.556301840.994031802086.653330686.486401883.79503221.13086.314340718.976501926.79603261.94088.401350752.016601969.99703302.45092.584360785.596702013.19803342.46098.636370819.676802056.59903382.170106.39380854.26690210010003421.480

22、115.71390889.337002143.510103460.290126.5400924.877102187.210203498.6100138.66410960.877202230.910303536.4110152.11420997.317302274.610403573.7120166.794301034.27402318.410503610.3130182.644401071.47502362.210603646.4140199.64501109.1760240610703681.8150217.634601147.27702449.810803716.5160236.68470

23、1185.67802493.610903750.4170256.724801224.47902537.411003783.4180277.74901263.68002581.111103815.6190299.5950013038102624.811203846.8200322.365101342.88202668.411303876.9210345.975201382.98302711.911403905.9220370.415301423.38402755.311503933.5230395.6454014648502798.611603959.7240421.64550150586028

24、41.711703984.2250448.385601546.28702884.711804006.6260475.845701587.68802927.511904026.52705045801629.38902970.212004051.6280532.845901671.29003012.6290562.336001713.49103054.8300592.466101755.79203096.8問題二：針對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油罐建立變位后儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）之間的一般關(guān)系。模型分析根據(jù)附錄數(shù)據(jù)我們可知，罐內(nèi)儲(chǔ)油量與縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b呈某種函數(shù)關(guān)系

25、。我們先建立無變位時(shí)實(shí)際儲(chǔ)油罐的油料體積計(jì)算模型，再沿用第一問中的方法，用變位后的變化量與對(duì)應(yīng)無變位時(shí)的容積之和來表示變位時(shí)的儲(chǔ)油體積。無變位體積模型的計(jì)算3油罐圖形如下圖10所示，它由一個(gè)圓柱和兩個(gè)相同的球缺組成。圖11 臥式油罐設(shè)圓柱長為L，半徑為R，球缺半徑為r，截球缺的大圓的直徑為2R，顯然。推導(dǎo)儲(chǔ)油罐罐內(nèi)油面高度為時(shí)體積的計(jì)算公式。為了計(jì)算簡單，先計(jì)算如圖12所示灰色部分的體積。圖12 體積計(jì)算的模型我們分兩部分計(jì)算：（1） 計(jì)算中間圓柱體部分所儲(chǔ)油料的體積。陰影部分體積相當(dāng)于圓柱體的一部分。圖13 圓柱部分儲(chǔ)油量體積的計(jì)算顯然， 所以的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庥土细采w截面面積的問題。利用體積

26、計(jì)算知識(shí)有： 計(jì)算定積分有： 由式和式可得： （2） 計(jì)算兩端球缺部分油料的體積由于左右是對(duì)稱的，所以我們只需對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行計(jì)算即可。圖14 球缺部分儲(chǔ)油量體積的計(jì)算如圖14，與前面求解的思路一樣，先計(jì)算水平截面的面積，然后在垂直方向上對(duì)積分，得到體積的積分求解方程： 所以的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馇蛉眱?nèi)水平切面面積的問題。如圖15，球的水平截面是一個(gè)圓，圖中為球缺所在球的圓心，為切面所在圓的圓心，可得切面圓半徑 圖15 水平截面的半徑如圖16，就是陰影部分的面積。圖16 水平截面的燃油面積顯然有： 通過計(jì)算得： 由式和式可得：于是，得到了圖12所示部分的體積計(jì)算公式： 另外，參數(shù)H并不是獨(dú)立的。由圖1

27、7可以看出，它與r和H有關(guān)。圖17 H的計(jì)算利用勾股定理有： 計(jì)算得到： 將式代入式得： （1）（2）圖18 儲(chǔ)存油料的體積公式下面根據(jù)圖12中陰影部分的體積來導(dǎo)出儲(chǔ)油罐中體積和高度的關(guān)系模型，根據(jù)油面高度可分分兩種情況（如圖18所示）。用表示儲(chǔ)油罐的體積。根據(jù)圓柱體和球缺的體積計(jì)算公式，有： 得到臥式儲(chǔ)油罐中儲(chǔ)油體積的求解模型： 中含有三個(gè)參數(shù)：圓柱體半徑，圓柱體的長度和球缺的半徑，并且。 橫向偏轉(zhuǎn)對(duì)高度的影響 （1）油罐體橫向偏轉(zhuǎn)后的實(shí)際高度與探針?biāo)鶞y(cè)油位高度的關(guān)系如圖19所示： (a)高度h>r時(shí)的圖形 (b)高度h<r時(shí)的圖形圖19 橫向偏轉(zhuǎn)后的高度關(guān)系圖圖中的油位探針高度

28、h=AB，實(shí)際高度=MN，橫向偏轉(zhuǎn)角度為b，橫切面圓的半徑為r，由圖易得: (a)當(dāng)高度時(shí)：=。(b)當(dāng)高度時(shí)：。因?yàn)樵趦煞N高度下得出的表達(dá)式，所以無論探針油位高度為多少都有：。 此時(shí)的為豎向截面內(nèi)垂直高度，因此可先考慮橫向偏轉(zhuǎn)的影響，在求得的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)而只求豎向變位的影響。有變位的儲(chǔ)油體積計(jì)算模型由問題一求得的的實(shí)驗(yàn)小橢圓型儲(chǔ)油罐體積計(jì)算模型可知：變位時(shí)體積的變化量是一個(gè)與高度h 和縱向傾斜角度有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，此時(shí)只要求得體積關(guān)于的變化量，我們便可從罐體無變位時(shí)的容積出發(fā)求得罐體有變位時(shí)的容積。由問題一中求得的變位后的容積關(guān)于和的一般模型為：在本問題中，雖然條件有所改變，但與和的相關(guān)關(guān)系仍然

29、存在，因此我們同樣可延用問題一中的模型來近似計(jì)算變位后的容積；不過此時(shí)用和u作為參數(shù)來求得與和的關(guān)系。令，可以得到： 模型求解據(jù)附表二前半部分出油的數(shù)據(jù)，對(duì)式進(jìn)行回歸分析，用MATLAB編程求得各項(xiàng)系數(shù)的值為（程序見附錄八）： 由 得由 得因此可建立關(guān)于的回歸模型為：進(jìn)一步可利用此模型，通過MATLAB編程（程序見附錄八），據(jù)附表二傾斜變位的出油數(shù)據(jù)，可繪出相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實(shí)際值圖形如圖20：圖20由圖形可知：理論值與實(shí)際值相當(dāng)吻合，從而說明了模型的可行性與準(zhǔn)確性。 給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值我們根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值數(shù)據(jù)，先利用求

30、得的近似模型計(jì)算出油位高度每隔0.1m對(duì)應(yīng)的油料容積，再應(yīng)用三點(diǎn)拉格朗日插值法計(jì)算出油位高度每隔0.1m對(duì)應(yīng)的油料容積，采用MATLAB求解，將計(jì)算出的數(shù)據(jù)繪制成曲線，其結(jié)果如圖21和圖22所示。（數(shù)據(jù)見附錄二，程序見附錄九和附錄十）圖21圖22由式，可得：平均誤差：平均相對(duì)誤差：最大誤差：最大相對(duì)誤差：由圖形和誤差分析可知， 插值算法與近似模型算得的結(jié)果近似一致，兩者差值保持在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，從而再一次驗(yàn)證了近似模型的準(zhǔn)確性。給出罐容表在已驗(yàn)證近似模型較為準(zhǔn)確的情況下，我們利用近似模型來給出罐容表。通過MATLAB編程求得罐容表油高/mm01002003004005006007008009

31、00容積/L0591016823102478366828768110131339515893油高/mm1000110012001300140015001600170018001900容積/L18488211632390126686295013233235163379794076443501五、模型的評(píng)價(jià)與推廣5.1模型的評(píng)價(jià)在問題一中我們首先建立無變位時(shí)的體積求解模型，再建立有變位時(shí)的體積求解模型，而無變位時(shí)的體積求解模型即為有變位時(shí)=0的特殊情況，模型建立具有一定的連貫性和綜合性，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)證了我們體積求解模型的準(zhǔn)確性。我們直接用與變位角相關(guān)的體積變化量表示變位對(duì)罐容表的

32、影響，對(duì)其影響的反映準(zhǔn)確明了。但在模型建立時(shí)我們忽略了罐體內(nèi)附件體積及溫度、壓強(qiáng)等對(duì)儲(chǔ)油體積的影響，而實(shí)際中這些因素都是對(duì)其有影響的，因而會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。在問題二中，我們先建立求解實(shí)際儲(chǔ)油罐無變位時(shí)儲(chǔ)油體積，然后沿用問題一中的模型來近似計(jì)算變位后的容積，采用擬合，得到變位參數(shù)與變位后體積變化量之間的函數(shù)關(guān)系。對(duì)某一高度，用變位時(shí)體積變化量與對(duì)應(yīng)無變位時(shí)儲(chǔ)油體積之和來表示有變位時(shí)總的儲(chǔ)油體積。該近似算法與用積分計(jì)算的模型相比，避免了繁冗復(fù)雜的計(jì)算，思路簡單，可操作性強(qiáng)，并結(jié)合第二問中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)確定和模型檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果很好地驗(yàn)證了我們模型的準(zhǔn)確性。5.2模型的推廣 該模型是一個(gè)解決儲(chǔ)油罐

33、變位后油量體積計(jì)算的模型，適用于各種封頭形式的臥式容器無變位和變位后不同液面高度的體積計(jì)算。該模型同樣適用于土方等體積的計(jì)算。六、參考文獻(xiàn)1 高純一，周勇，高等數(shù)學(xué)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2006。2 顏慶津，數(shù)值分析M，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2000年。3 王鄭耀，臥式加油罐剩余油料體積的計(jì)算，西安交通大學(xué)，2004-8-8。附錄一(問題一中的罐容表)油高/mm容積/L油高/mm容積/L油高/mm容積/L油高/mm容積/L097.859310623.26201798.29303138.51089.983320654.556301840.994031802086.653330686.4864

34、01883.79503221.13086.314340718.976501926.79603261.94088.401350752.016601969.99703302.45092.584360785.596702013.19803342.46098.636370819.676802056.59903382.170106.39380854.26690210010003421.480115.71390889.337002143.510103460.290126.5400924.877102187.210203498.6100138.66410960.877202230.910303536.411

35、0152.11420997.317302274.610403573.7120166.794301034.27402318.410503610.3130182.644401071.47502362.210603646.4140199.64501109.1760240610703681.8150217.634601147.27702449.810803716.5160236.684701185.67802493.610903750.4170256.724801224.47902537.411003783.4180277.74901263.68002581.111103815.6190299.595

36、0013038102624.811203846.8200322.365101342.88202668.411303876.9210345.975201382.98302711.911403905.9220370.415301423.38402755.311503933.5230395.6454014648502798.611603959.7240421.6455015058602841.711703984.2250448.385601546.28702884.711804006.6260475.845701587.68802927.511904026.52705045801629.389029

37、70.212004051.6280532.845901671.29003012.6290562.336001713.49103054.8300592.466101755.79203096.8附錄二（問題二中的罐容表）油高/mm0100200300400500600700800900容積/L0591016823102478366828768110131339515893油高/mm1000110012001300140015001600170018001900容積/L18488211632390126686295013233235163379794076443501附錄三：（圖5程序）%無變位的罐

38、容表的制定及其誤差分析clearclch=0.159020.176140.192590.20850.223930.238970.253660.268040.282160.296030.309690.323150.336440.349570.362560.375420.388160.400790.413320.425760.438120.45040.462620.474780.486890.498950.510970.522950.53490.546820.558720.570610.582480.594350.606220.618090.629960.641850.653750.665670.

39、677630.678540.690530.690820.702850.714910.727030.739190.751420.76370.764160.776530.788990.801540.814190.826950.839830.852840.8660.879320.892820.892840.906530.920450.934610.949050.96380.978910.994431.01041.0271.04421.06241.08161.10231.12531.15241.1935;v1=322.88374.63426.36478.13529.85581.61633.35685.

40、08736.85788.58840.33892.06943.8995.541047.31099.11150.81202.61254.313061357.81409.51461.215131564.71616.51668.217201771.71823.51875.219271978.72030.42082.221342185.72237.42289.22340.92392.72396.62448.42449.62501.42553.12604.92656.62708.327602761.92813.72865.42917.22968.93020.73072.43124.13175.93227.

41、63279.43279.53331.23382.93434.73486.43538.23589.93641.73693.43745.13796.93848.63900.43952.14003.94055.64107.4;h=h./1000;for i=1:78v(i)=4361/6000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)*h(i)-4361/10000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h(i)-1)+13083/20000*pi;endv=v.*1000;v1=v1+262;v=v's1=v-v1;s2=(v-v1

42、)./v;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(v)-max(v1)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v1)plot(h.*1000,v,'r-');hold onplot(h.*1000,v1,'bo');xlabel('h/mm')ylabel('v/L')title('無變位進(jìn)油')legend('理論值','實(shí)際值')附錄四：（圖6程序）%縱向變位的罐容表的制定及其誤差分析clearclch= 411.29423.45438.

43、33450.54463.9477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.4576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.9761.55773.43785.39796.04808.27820.8832.8844.47856.29867.6880.06892.92904.34917.34929.9941.42954.6968.09980.14992.411006.31019.11034.21035.4;v1= 9

44、62.861012.91062.91112.91162.91212.91262.91312.81362.81412.71462.71512.71562.71612.71662.71712.71762.71812.71862.71912.71962.72012.72062.72112.72162.72212.72262.72312.72362.72412.72462.72512.72562.72612.72662.72712.72762.72812.72862.72912.72962.73012.73062.73112.73162.73212.73262.73312.73362.73412.73

45、462.73512.73514.7;h=h./1000;vv=v.*1000;v1=v1+215;s1=v-v1;s2=(v-v1)./v;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(v)-max(v1)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v1)plot(h.*1000,v,'r-');hold onplot(h.*1000,v1,'bo');xlabel('h/mm')ylabel('v/L')title('有變位進(jìn)油')legend('理論值','

46、;實(shí)際值')附錄五（圖7 8程序）%用近似模型制定縱向變位的罐容表及其誤差分析clearclch=;v1=747.86797.861847.731897.73;h=h./1000;for i=1:length(h) v(i)=4361/6000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)*h(i)-4361/10000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h(i)-1)+13083/20000*pi;endv=v.*1000;v1=v1+215;v=v'v2=v1-v;beta0=0 0 0 0'beta,r ,

47、J=nlinfit(h',v2','volum1',beta0); beta h1=704.67.1035.36;v4=1947.731997.733247.733297.733299.74;h1=h1./1000;for i=1:length(h1) v3(i)=4361/6000*(-25*h1(i)2+30*h1(i)(1/2)*h1(i)-4361/10000*(-25*h1(i)2+30*h1(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h1(i)-1)+13083/20000*pi; endv3=v3.*1000;v4=215+v4;v

48、3=v3'v5=v4-v3;YY,delta=nlpredci('volum1',h1,beta,r ,J);q=v3+YY;s1=-v4+q;s2=(-v4+q)./v4;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(q)-max(v4)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v4)plot(h1*1000,v4,'k+',h1*1000,v3+YY,'r')xlabel('h/mm')ylabel('v/L')title('近似模型的有變位進(jìn)油')le

49、gend('理論值','實(shí)際值')附錄六（圖9程序）%用拉格朗日算法進(jìn)行插值h= 411.29423.45438.33450.54463.9477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.4576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.9761.55773.43785.39796.04808.27820.8832.8844.47856.29867.6880.06892.92904

50、.34917.34929.9941.42954.6968.09980.14992.411006.31019.11034.21035.4;h=h./1000;v= 962.861012.91062.91112.91162.91212.91262.91312.81362.81412.71462.71512.71562.71612.71662.71712.71762.71812.71862.71912.71962.72012.72062.72112.72162.72212.72262.72312.72362.72412.72462.72512.72562.72612.72662.72712.72762.72812.72862.72912.72962.73012.73062.73112.73162.73212.73262.73312.73