臥式儲油罐的變位識別與罐容表標定

1、臥式儲油罐的變位識別與罐容表標定摘要本文分析臥式儲油罐無變位和有變位時的罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系，建立了儲油量與油位高度的關(guān)系模型。通過變位時罐內(nèi)儲油體積與無變位時儲油體積的變化差來分析罐體變位后對罐容表的影響。在問題一中：我們針對兩端平頭的小橢圓型儲油罐，首先建立罐體無變位的儲油體積關(guān)于油位高度的積分模型，通過對橫截面積的微分，求出橫截面積，對截面積S在Y軸上積分，得出罐內(nèi)儲油體積模型：。然后同樣采用數(shù)學積分建立罐體變位后儲油體積關(guān)于油位高度及縱向傾斜角的關(guān)系模型：。在分析罐體變位對罐容表的影響時，我們通過建立罐體變位時容積關(guān)于變位角度的變化量的關(guān)系：，來體現(xiàn)罐體變位對罐容表的影響。然

2、后在精確模型可以求得無變位時的容積和變位角度的變化量的前提下，得到變位后容積的一般模型: 。在計算罐體變位后罐內(nèi)油面高度間隔為1cm時的罐容表時，我們分別采用精確模型和近似模型計算出理論標定值和近似標定值，同時采用分段二次拉格朗日插值算法根據(jù)實際數(shù)據(jù)計算罐體變位后高度每隔0.01m時對應(yīng)的標定值，通過比較和誤差分析驗證了所建立的近似模型的正確性與可行性，從而我們可采用所建立的近似模型來給出高度間隔為0.01m時的罐容表。在問題二中：我們先考慮實際儲油罐無變位時的罐內(nèi)儲油量與油位高度的積分模型，將儲油罐體積分成圓柱體和兩個球缺來計算，得到儲油罐體積模型為：。在罐體有變位的儲油體積計算時，我們先考

3、慮橫向偏轉(zhuǎn)的影響，得到垂直于油面的高度：，從而本問可同樣近似采用問題一中所建立的近似計算模型來計算變位后容積。根據(jù)附錄所給數(shù)據(jù)，采用MATLAB編程求解，得到縱向傾斜角和橫向偏轉(zhuǎn)角度的值為：。最后，通過對近似模型計算得出的理論值與插值法根據(jù)實際數(shù)據(jù)計算出的數(shù)值進行相對比較及誤差分析檢驗?zāi)Ｐ偷臏蚀_性與合理性，證實了模型是準確可行的，并利用近似模型給出了高度間隔為0.1m的罐容表。關(guān)鍵詞：回歸分析 插值法 罐容表 近似計算一、問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即

4、罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體

5、無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、模型假設(shè)與符號說明2.1模型的假設(shè)假設(shè)1：不

6、考慮溫度、壓強對燃油體積的影響假設(shè)2：油位探針是始終垂直指向罐底的假設(shè)3：油罐體中燃油的進油和出油都是單獨進行的假設(shè)4：罐體變位后對進/出油流量無影響假設(shè)5：罐體內(nèi)附件體積對罐容量影響可忽略不計假設(shè)6：題中所給實驗數(shù)據(jù)真實可靠2.2符號說明由油位探針測出的油位高度有變位油罐體內(nèi)的實際油高燃油覆蓋所達最左端點的Y軸坐標值燃油覆蓋所達最右端點的Y軸坐標值儲油罐內(nèi)的油料體積橢圓的長半軸長度橢圓的短半軸長度S無變位儲油罐內(nèi)燃油沒過橫向截面的面積s平均誤差平均相對誤差ms最大誤差mrs最大相對誤差無變位儲油罐內(nèi)油位高度為h時橢圓截面的浮油高度m小橢圓型油罐體內(nèi)原點到左邊橢圓之間的距離n小橢圓型油罐體內(nèi)原

7、點到右邊橢圓之間的距離有變位儲油罐在Y軸坐標點為y時的橫截面被燃油沒過的面積當油位高度為h時截面上的燃油高度儲油罐的縱向傾斜角儲油罐的橫向傾斜角罐體無變位時的儲油體積罐體變位時的儲油體積u表示e表示R實際油罐體橫切面所得圓的半徑r實際油罐體中球缺所在球的半徑三、問題分析本文要求用數(shù)學建模的方法來研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。針對問題一：此問要求我們利用一個小橢圓型儲油罐來研究分析罐體變位后對罐容表的影響，并給出該罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。為分析變位對罐容表的影響，我們希望通過探究有變位時與變位角度相關(guān)的體積變化量來研究變位對罐容表的影響。為此我們首先用積分法建

8、立模型來求解無變位時的儲油體積和有變位時的儲油體積，然后通過題中所給實驗數(shù)據(jù)來檢驗該體積求解模型，最后將有變位時的體積求解模型進行對的微分得出與變位角相關(guān)的體積變化量，此變化量即為罐體變位對罐容表的影響。為得出該罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表，我們先用精確模型和近似模型進行計算得出理論標定值和近似標定值，再運用插值算法根據(jù)附錄中的數(shù)據(jù)進行計算求解，以此來對比驗證兩類模型的準確性。 針對問題二：此問首先要求我們建立一個罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，對于該模型的建立我們可沿用第一問中的體積變化量思想，用變位產(chǎn)生的體積變化量與對應(yīng)的無變位時儲油體積之和來求解有變位時的儲油體積。然后針對該問

9、用附件2中的部分實驗數(shù)據(jù)求解確定模型的變位參數(shù)，并進一步利用其余實際檢測數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性。最后，我們用兩種方法標定罐容表，一種是采用本文所提出的模型，另一種是以實際檢測數(shù)據(jù)用插值法，比較了兩種方法給出的罐容表的一致性。四、模型的建立與求解問題一：研究變位對平頭橢圓儲油罐罐容表的影響，并給出變位后油位高度間隔為1cm的罐容標定值模型的建立為了分析兩端平頭的橢圓柱體罐體變位對罐容量的影響，我們先考慮水平放置時油罐容油量與油位高度之間的關(guān)系模型，然后考慮縱向傾斜時儲油罐容量與油位高度之間的關(guān)系模型。（1）罐體無變位的模型1為便于分析計算，我們以油位探針與罐底的交點為原點O，以油位探針為Z軸，罐

10、底水平線為Y軸，以垂直于YOZ平面且過O點的直線為X軸，建立三維坐標系，如圖1中(a)和(b)所示：(a) 在小橢圓油罐內(nèi)建立坐標系（b）橫向橢圓截面的坐標示意圖圖2無變位小橢圓型罐體的坐標系示意圖為建立數(shù)學模型，首先可設(shè)立如下變量：由油位探針測出的油位高度；：燃油覆蓋所達最左端點的Y軸坐標值；：燃油覆蓋所達最右端點的Y軸坐標值；：儲油罐內(nèi)的燃油體積；：橢圓的長半軸長度；：橢圓的短半軸長度；S：無變位儲油罐內(nèi)燃油沒過橫向截面上橢圓的面積；：無變位儲油罐內(nèi)油位高度為h時橢圓截面的浮油高度。（注：無變位時= ）橢圓柱體橫向截面橢圓方程為： 當燃油高度為h時罐內(nèi)的燃油橫截面的面積： 對截面積S在Y軸

11、上積分，被積表達式： 積分區(qū)間為：得到體積的積分模型： 將S表達式代入，即： （2）罐體有變位的模型1與罐體無變位時一樣建立坐標系，如圖3中（a）和（b）所示建立三維坐標系：(a)在小橢圓內(nèi)建立坐標系 （b）橫向橢圓截面的坐標示意圖圖3 有變位小橢圓型罐體的坐標系示意圖由于此問中只分析了無變位和縱向變位兩種情況，所以這里的變位模型只建立有縱向變位的模型。首先可設(shè)立如下變量：h：由油位探針測出的油位高度；：罐體的縱向傾斜角度；m：原點到左邊橢圓之間的距離；n：原點到右邊橢圓之間的距離；：燃油覆蓋所達最左端點的Y軸坐標值；：燃油覆蓋所達最右端點的Y軸坐標值；V：儲油罐內(nèi)的儲油體積；a：橢圓的長半軸

12、長度；b：橢圓的短半軸長度；：儲油罐在Y軸坐標點為y時的橫截面被燃油沒過的面積；：當油位高度為h時截面上的燃油高度。其中由平面幾何知識可得與各截面在Y軸上坐標的關(guān)系為： 與無變位時一樣，我們對每個橫截面被燃油沒過的面積求解，有： 對截面積在Y軸上積分得到體積的計算模型： 將的求解公式代入體積模型可得： 這是一個關(guān)于h的分段函數(shù)。我們分段考慮和的具體取值。我們知道油罐的縱向變位有兩種情況，即向左端傾斜和向右端傾斜。由于儲油罐是傾斜放置的，因此當燃油油位超過油浮子所測最大范圍后，油罐體仍可進油，燃油的儲量是不可測的，當油位高度顯示為0時，油罐內(nèi)不一定無油，燃油的儲量同樣是未知不可測的。若以油位接近

13、油位探針底端為臨界點，則罐體向不同的方向傾斜會有不同的最大未知儲油值?？芍蜃髢A斜和向右傾斜對油罐罐容標定值有一定的影響。下面我們分別討論向左、向右傾斜的情況。罐體向左傾斜由圖4可得只有當燃油表面介于L1L4之間時模型才可求解： 當罐體內(nèi)油位垂直高度低于直線L1，即h<=0時，探針高度一直為0，罐內(nèi)油量是無法測得計算的，罐內(nèi)油量的最大不可測量值即為模型的值；當罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L1L2之間，即時：=-m， ； 當罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L2L3之間，即時：=-m，=n；當罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L3L4之間，即時：，=n；當罐體內(nèi)油位垂直高度高于直線L4，即h= 時，燃油高度

14、可能超過h所達高度，罐內(nèi)油量時無法測得計算的，故此段可予以忽略。 圖4 罐體向左變位時油位的垂直高度與其Y軸坐標關(guān)系圖罐體向右傾斜由圖5可得只有當燃油表面介于L1 L4之間時模型才可求解： 當罐體內(nèi)油位垂直高度低于直線L1，即h=0時，罐內(nèi)油量是無法測得計算的，罐內(nèi)油量的最大不可測量值即為模型的值；當罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L1L2之間，即時：，=n； 當罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L2L3之間，即時：=-m，=n；當罐體內(nèi)油位垂直高度介于直線L3L4之間，即時： =-m， ；當罐體內(nèi)油位垂直高度高于直線L4，即時，探針高度一直顯示為最大值，罐內(nèi)油量時無法測得計算的，故此段可予以忽略。圖5 罐

15、體向左變位時油位的垂直高度與其Y軸坐標關(guān)系圖（3）研究變位對罐容表的影響 有變位時容積關(guān)于變位角度的變化量為： 因此我們可從罐體無變位時的容積出發(fā)求得罐體有變位時的模型即： 由式（9）積分可得： 令，當時，由式（10）和式（11）可得： 將用泰勒級數(shù)展開得：取前兩項之和，代入（12）得 進一步求得： 將式（14）代入式（15）得： 當時，這說明將油浮標桿放在罐體中央，其縱向傾斜對油容表影響很小。為了得到一個較為簡單，且能應(yīng)用于實踐的模型，通過觀察式（16）可知關(guān)于和的關(guān)系可用一個近似的表達式來確定。將式（16）變形可得：令： 由此可得到變位后容積關(guān)于和的一般模型： 其中為無變動時高為h時的體積

16、，為與和無關(guān)的常數(shù)。當燃油表面介于L1 L4之間其余情況時，可得類似近似模型。模型的求解（1）罐體無變位模型的求解在小橢圓型無變位罐體中，高度，=-0.4m, 2.05m， a=0.89m，b=0.6m。問題一中給出了無變位進出油的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件編程將探針所測高度作為自變量，利用無變位模型（5）求解（見附錄三）。相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實際值圖形如下：為了衡量模型的誤差大小我們引入以下變量：平均誤差 其中為理論值與預測值之差，為總的數(shù)據(jù)個數(shù)平均相對誤差 最大誤差 最大相對誤差 其中為理論值與預測值之差，為總的數(shù)據(jù)個數(shù)由式可得：平均誤差： 平均相對誤差：最大誤差： 最大相對

17、誤差：從圖形和誤差分析可知，小橢圓型罐體無變位時儲油體積通過模型計算的理論值與實際值的吻合度相當好，驗證了模型的準確性。（2）罐體變位模型的求解根據(jù)題中給出的小橢圓油罐正面示意圖可知罐體是向左傾斜的，而且題中數(shù)據(jù)均給出了油位高度，所以題中的數(shù)據(jù)均可用該變位模型（11）求出可行解。利用MATLAB軟件編程將探針所測高度作為變量求解（見附錄四），繪出相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實際值圖形如圖6：圖6由式可得：平均誤差： 平均相對誤差：最大誤差： 最大相對誤差：通過圖形和誤差分析可知，我們可以看出由小橢圓型罐體有變位時儲油體積通過模型計算的理論值與實際值之間有一定的誤差，但基本上是吻合的，也驗證了

18、模型的準確性。正是由于罐體內(nèi)附件體積及溫度、壓強等對儲油體積的影響，理論值與實際值是不可能完全一致的，所以會存在一定誤差。（3）變位后容積關(guān)于和的近似模型據(jù)附表一傾斜變位的進油數(shù)據(jù)，對式（17）進行回歸分析，用MATLAB編程求得各項系數(shù)的值為（見附錄）： 因此可建立關(guān)于的回歸模型為： 進一步可利用此模型，通過MATLAB編程（見附錄五），據(jù)附表一傾斜變位的出油數(shù)據(jù)，可繪出相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實際值的圖形如圖7：圖7由式可得：平均誤差： 平均相對誤差：最大誤差： 最大相對誤差：由圖形和誤差分析可知，小橢圓型罐體有變位時變位后容積用近似模型（17）所求理論值與實際值基本吻合，說明了模型

19、的可行性與準確性。我們作出回歸模型的殘差如圖8：圖8通過圖形可知，數(shù)據(jù)點分布較均勻，從而也說明了回歸模型較準確。4.1.4 給出變位后油位高度間隔為1cm的罐容標定值在求罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容標定值時，我們運用插值算法，根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值進行求解。油量隨高度的變化表示為：其中，為油量；為高度；為油量隨高度變化的函數(shù)。我們采用分段二次拉格朗日拋物插值法進行求解2。 分段二次拉格朗日拋物插值法若求和之間任一點的值，則可用，3個點（通常稱為上三點）來求得，上三點內(nèi)插公式：我們根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值數(shù)據(jù)，應(yīng)用三點拉格朗日插值法計算出油位

20、高度每隔0.01m對應(yīng)的油料容積，將計算出的數(shù)據(jù)繪制成曲線，其結(jié)果如圖9所示。（數(shù)據(jù)見附錄程序見附錄六。）圖9我們根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值數(shù)據(jù)，應(yīng)用近似模型計算出油位高度每隔0.01m對應(yīng)的油料容積，將計算出的數(shù)據(jù)繪制成曲線，其結(jié)果如圖10所示（程序見附錄七）圖10由式可得：平均誤差：平均相對誤差：最大誤差：最大相對誤差：由圖形和誤差分析可知， 插值算法與近似模型算得的結(jié)果近似一致，兩者差值保持在一個很小的范圍內(nèi)，從而驗證了近似模型的準確性。給出罐容表在已驗證近似模型較為準確的情況下，我們利用近似模型來給出罐容表。通過MATLAB編程求得罐容表:油高/mm容積/L油高/m

21、m容積/L油高/mm容積/L油高/mm容積/L097.859310623.26201798.29303138.51089.983320654.556301840.994031802086.653330686.486401883.79503221.13086.314340718.976501926.79603261.94088.401350752.016601969.99703302.45092.584360785.596702013.19803342.46098.636370819.676802056.59903382.170106.39380854.26690210010003421.480

22、115.71390889.337002143.510103460.290126.5400924.877102187.210203498.6100138.66410960.877202230.910303536.4110152.11420997.317302274.610403573.7120166.794301034.27402318.410503610.3130182.644401071.47502362.210603646.4140199.64501109.1760240610703681.8150217.634601147.27702449.810803716.5160236.68470

23、1185.67802493.610903750.4170256.724801224.47902537.411003783.4180277.74901263.68002581.111103815.6190299.5950013038102624.811203846.8200322.365101342.88202668.411303876.9210345.975201382.98302711.911403905.9220370.415301423.38402755.311503933.5230395.6454014648502798.611603959.7240421.64550150586028

24、41.711703984.2250448.385601546.28702884.711804006.6260475.845701587.68802927.511904026.52705045801629.38902970.212004051.6280532.845901671.29003012.6290562.336001713.49103054.8300592.466101755.79203096.8問題二：針對實際儲油罐建立變位后儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）之間的一般關(guān)系。模型分析根據(jù)附錄數(shù)據(jù)我們可知，罐內(nèi)儲油量與縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b呈某種函數(shù)關(guān)系

25、。我們先建立無變位時實際儲油罐的油料體積計算模型，再沿用第一問中的方法，用變位后的變化量與對應(yīng)無變位時的容積之和來表示變位時的儲油體積。無變位體積模型的計算3油罐圖形如下圖10所示，它由一個圓柱和兩個相同的球缺組成。圖11 臥式油罐設(shè)圓柱長為L，半徑為R，球缺半徑為r，截球缺的大圓的直徑為2R，顯然。推導儲油罐罐內(nèi)油面高度為時體積的計算公式。為了計算簡單，先計算如圖12所示灰色部分的體積。圖12 體積計算的模型我們分兩部分計算：（1） 計算中間圓柱體部分所儲油料的體積。陰影部分體積相當于圓柱體的一部分。圖13 圓柱部分儲油量體積的計算顯然， 所以的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庥土细采w截面面積的問題。利用體積

26、計算知識有： 計算定積分有： 由式和式可得： （2） 計算兩端球缺部分油料的體積由于左右是對稱的，所以我們只需對其中一個進行計算即可。圖14 球缺部分儲油量體積的計算如圖14，與前面求解的思路一樣，先計算水平截面的面積，然后在垂直方向上對積分，得到體積的積分求解方程： 所以的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馇蛉眱?nèi)水平切面面積的問題。如圖15，球的水平截面是一個圓，圖中為球缺所在球的圓心，為切面所在圓的圓心，可得切面圓半徑 圖15 水平截面的半徑如圖16，就是陰影部分的面積。圖16 水平截面的燃油面積顯然有： 通過計算得： 由式和式可得：于是，得到了圖12所示部分的體積計算公式： 另外，參數(shù)H并不是獨立的。由圖1

27、7可以看出，它與r和H有關(guān)。圖17 H的計算利用勾股定理有： 計算得到： 將式代入式得： （1）（2）圖18 儲存油料的體積公式下面根據(jù)圖12中陰影部分的體積來導出儲油罐中體積和高度的關(guān)系模型，根據(jù)油面高度可分分兩種情況（如圖18所示）。用表示儲油罐的體積。根據(jù)圓柱體和球缺的體積計算公式，有： 得到臥式儲油罐中儲油體積的求解模型： 中含有三個參數(shù)：圓柱體半徑，圓柱體的長度和球缺的半徑，并且。 橫向偏轉(zhuǎn)對高度的影響 （1）油罐體橫向偏轉(zhuǎn)后的實際高度與探針所測油位高度的關(guān)系如圖19所示： (a)高度h>r時的圖形 (b)高度h<r時的圖形圖19 橫向偏轉(zhuǎn)后的高度關(guān)系圖圖中的油位探針高度

28、h=AB，實際高度=MN，橫向偏轉(zhuǎn)角度為b，橫切面圓的半徑為r，由圖易得: (a)當高度時：=。(b)當高度時：。因為在兩種高度下得出的表達式，所以無論探針油位高度為多少都有：。 此時的為豎向截面內(nèi)垂直高度，因此可先考慮橫向偏轉(zhuǎn)的影響，在求得的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)而只求豎向變位的影響。有變位的儲油體積計算模型由問題一求得的的實驗小橢圓型儲油罐體積計算模型可知：變位時體積的變化量是一個與高度h 和縱向傾斜角度有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，此時只要求得體積關(guān)于的變化量，我們便可從罐體無變位時的容積出發(fā)求得罐體有變位時的容積。由問題一中求得的變位后的容積關(guān)于和的一般模型為：在本問題中，雖然條件有所改變，但與和的相關(guān)關(guān)系仍然

29、存在，因此我們同樣可延用問題一中的模型來近似計算變位后的容積；不過此時用和u作為參數(shù)來求得與和的關(guān)系。令，可以得到： 模型求解據(jù)附表二前半部分出油的數(shù)據(jù)，對式進行回歸分析，用MATLAB編程求得各項系數(shù)的值為（程序見附錄八）： 由 得由 得因此可建立關(guān)于的回歸模型為：進一步可利用此模型，通過MATLAB編程（程序見附錄八），據(jù)附表二傾斜變位的出油數(shù)據(jù)，可繪出相同高度下關(guān)于油體積的理論值和實際值圖形如圖20：圖20由圖形可知：理論值與實際值相當吻合，從而說明了模型的可行性與準確性。 給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值我們根據(jù)附錄中給出的罐體變位后油面高度及油料容積值數(shù)據(jù)，先利用求

30、得的近似模型計算出油位高度每隔0.1m對應(yīng)的油料容積，再應(yīng)用三點拉格朗日插值法計算出油位高度每隔0.1m對應(yīng)的油料容積，采用MATLAB求解，將計算出的數(shù)據(jù)繪制成曲線，其結(jié)果如圖21和圖22所示。（數(shù)據(jù)見附錄二，程序見附錄九和附錄十）圖21圖22由式，可得：平均誤差：平均相對誤差：最大誤差：最大相對誤差：由圖形和誤差分析可知， 插值算法與近似模型算得的結(jié)果近似一致，兩者差值保持在一個很小的范圍內(nèi)，從而再一次驗證了近似模型的準確性。給出罐容表在已驗證近似模型較為準確的情況下，我們利用近似模型來給出罐容表。通過MATLAB編程求得罐容表油高/mm01002003004005006007008009

31、00容積/L0591016823102478366828768110131339515893油高/mm1000110012001300140015001600170018001900容積/L18488211632390126686295013233235163379794076443501五、模型的評價與推廣5.1模型的評價在問題一中我們首先建立無變位時的體積求解模型，再建立有變位時的體積求解模型，而無變位時的體積求解模型即為有變位時=0的特殊情況，模型建立具有一定的連貫性和綜合性，并結(jié)合實驗數(shù)據(jù)對模型進行檢驗驗證了我們體積求解模型的準確性。我們直接用與變位角相關(guān)的體積變化量表示變位對罐容表的

32、影響，對其影響的反映準確明了。但在模型建立時我們忽略了罐體內(nèi)附件體積及溫度、壓強等對儲油體積的影響，而實際中這些因素都是對其有影響的，因而會產(chǎn)生一定的誤差。在問題二中，我們先建立求解實際儲油罐無變位時儲油體積，然后沿用問題一中的模型來近似計算變位后的容積，采用擬合，得到變位參數(shù)與變位后體積變化量之間的函數(shù)關(guān)系。對某一高度，用變位時體積變化量與對應(yīng)無變位時儲油體積之和來表示有變位時總的儲油體積。該近似算法與用積分計算的模型相比，避免了繁冗復雜的計算，思路簡單，可操作性強，并結(jié)合第二問中的實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)確定和模型檢驗，檢驗結(jié)果很好地驗證了我們模型的準確性。5.2模型的推廣 該模型是一個解決儲油罐

33、變位后油量體積計算的模型，適用于各種封頭形式的臥式容器無變位和變位后不同液面高度的體積計算。該模型同樣適用于土方等體積的計算。六、參考文獻1 高純一，周勇，高等數(shù)學，復旦大學出版社，2006。2 顏慶津，數(shù)值分析M，北京：北京航空航天大學出版社，2000年。3 王鄭耀，臥式加油罐剩余油料體積的計算，西安交通大學，2004-8-8。附錄一(問題一中的罐容表)油高/mm容積/L油高/mm容積/L油高/mm容積/L油高/mm容積/L097.859310623.26201798.29303138.51089.983320654.556301840.994031802086.653330686.4864

34、01883.79503221.13086.314340718.976501926.79603261.94088.401350752.016601969.99703302.45092.584360785.596702013.19803342.46098.636370819.676802056.59903382.170106.39380854.26690210010003421.480115.71390889.337002143.510103460.290126.5400924.877102187.210203498.6100138.66410960.877202230.910303536.411

35、0152.11420997.317302274.610403573.7120166.794301034.27402318.410503610.3130182.644401071.47502362.210603646.4140199.64501109.1760240610703681.8150217.634601147.27702449.810803716.5160236.684701185.67802493.610903750.4170256.724801224.47902537.411003783.4180277.74901263.68002581.111103815.6190299.595

36、0013038102624.811203846.8200322.365101342.88202668.411303876.9210345.975201382.98302711.911403905.9220370.415301423.38402755.311503933.5230395.6454014648502798.611603959.7240421.6455015058602841.711703984.2250448.385601546.28702884.711804006.6260475.845701587.68802927.511904026.52705045801629.389029

37、70.212004051.6280532.845901671.29003012.6290562.336001713.49103054.8300592.466101755.79203096.8附錄二（問題二中的罐容表）油高/mm0100200300400500600700800900容積/L0591016823102478366828768110131339515893油高/mm1000110012001300140015001600170018001900容積/L18488211632390126686295013233235163379794076443501附錄三：（圖5程序）%無變位的罐

38、容表的制定及其誤差分析clearclch=0.159020.176140.192590.20850.223930.238970.253660.268040.282160.296030.309690.323150.336440.349570.362560.375420.388160.400790.413320.425760.438120.45040.462620.474780.486890.498950.510970.522950.53490.546820.558720.570610.582480.594350.606220.618090.629960.641850.653750.665670.

39、677630.678540.690530.690820.702850.714910.727030.739190.751420.76370.764160.776530.788990.801540.814190.826950.839830.852840.8660.879320.892820.892840.906530.920450.934610.949050.96380.978910.994431.01041.0271.04421.06241.08161.10231.12531.15241.1935;v1=322.88374.63426.36478.13529.85581.61633.35685.

40、08736.85788.58840.33892.06943.8995.541047.31099.11150.81202.61254.313061357.81409.51461.215131564.71616.51668.217201771.71823.51875.219271978.72030.42082.221342185.72237.42289.22340.92392.72396.62448.42449.62501.42553.12604.92656.62708.327602761.92813.72865.42917.22968.93020.73072.43124.13175.93227.

41、63279.43279.53331.23382.93434.73486.43538.23589.93641.73693.43745.13796.93848.63900.43952.14003.94055.64107.4;h=h./1000;for i=1:78v(i)=4361/6000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)*h(i)-4361/10000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h(i)-1)+13083/20000*pi;endv=v.*1000;v1=v1+262;v=v's1=v-v1;s2=(v-v1

42、)./v;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(v)-max(v1)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v1)plot(h.*1000,v,'r-');hold onplot(h.*1000,v1,'bo');xlabel('h/mm')ylabel('v/L')title('無變位進油')legend('理論值','實際值')附錄四：（圖6程序）%縱向變位的罐容表的制定及其誤差分析clearclch= 411.29423.45438.

43、33450.54463.9477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.4576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.9761.55773.43785.39796.04808.27820.8832.8844.47856.29867.6880.06892.92904.34917.34929.9941.42954.6968.09980.14992.411006.31019.11034.21035.4;v1= 9

44、62.861012.91062.91112.91162.91212.91262.91312.81362.81412.71462.71512.71562.71612.71662.71712.71762.71812.71862.71912.71962.72012.72062.72112.72162.72212.72262.72312.72362.72412.72462.72512.72562.72612.72662.72712.72762.72812.72862.72912.72962.73012.73062.73112.73162.73212.73262.73312.73362.73412.73

45、462.73512.73514.7;h=h./1000;vv=v.*1000;v1=v1+215;s1=v-v1;s2=(v-v1)./v;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(v)-max(v1)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v1)plot(h.*1000,v,'r-');hold onplot(h.*1000,v1,'bo');xlabel('h/mm')ylabel('v/L')title('有變位進油')legend('理論值','

46、;實際值')附錄五（圖7 8程序）%用近似模型制定縱向變位的罐容表及其誤差分析clearclch=;v1=747.86797.861847.731897.73;h=h./1000;for i=1:length(h) v(i)=4361/6000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)*h(i)-4361/10000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h(i)-1)+13083/20000*pi;endv=v.*1000;v1=v1+215;v=v'v2=v1-v;beta0=0 0 0 0'beta,r ,

47、J=nlinfit(h',v2','volum1',beta0); beta h1=704.67.1035.36;v4=1947.731997.733247.733297.733299.74;h1=h1./1000;for i=1:length(h1) v3(i)=4361/6000*(-25*h1(i)2+30*h1(i)(1/2)*h1(i)-4361/10000*(-25*h1(i)2+30*h1(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h1(i)-1)+13083/20000*pi; endv3=v3.*1000;v4=215+v4;v

48、3=v3'v5=v4-v3;YY,delta=nlpredci('volum1',h1,beta,r ,J);q=v3+YY;s1=-v4+q;s2=(-v4+q)./v4;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(q)-max(v4)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v4)plot(h1*1000,v4,'k+',h1*1000,v3+YY,'r')xlabel('h/mm')ylabel('v/L')title('近似模型的有變位進油')le

49、gend('理論值','實際值')附錄六（圖9程序）%用拉格朗日算法進行插值h= 411.29423.45438.33450.54463.9477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.4576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.9761.55773.43785.39796.04808.27820.8832.8844.47856.29867.6880.06892.92904

50、.34917.34929.9941.42954.6968.09980.14992.411006.31019.11034.21035.4;h=h./1000;v= 962.861012.91062.91112.91162.91212.91262.91312.81362.81412.71462.71512.71562.71612.71662.71712.71762.71812.71862.71912.71962.72012.72062.72112.72162.72212.72262.72312.72362.72412.72462.72512.72562.72612.72662.72712.72762.72812.72862.72912.72962.73012.73062.73112.73162.73212.73262.73312.73