圓錐曲線復(fù)習(xí)提綱

1、第二章 圓錐曲線復(fù)習(xí)一、求點(diǎn)的軌跡方程1直接法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法練習(xí)：已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，0）的直線，經(jīng)過(guò)Q（-1，2）的直線為，若，求與交點(diǎn)S的軌跡方程。2待定系數(shù)法：它常常適用于動(dòng)點(diǎn)軌跡的曲線類型已知或利用已知條件可直接推斷出其軌跡的曲線方程。其解題步驟為：先設(shè)出對(duì)應(yīng)類型的軌跡方程；再求出所設(shè)方程中的待定系數(shù)。練習(xí)：已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為2，另一雙曲線和橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓的半長(zhǎng)軸比雙曲線的半實(shí)軸大4，橢圓的離心率和雙曲線的離心率之比為3 / 7。求橢圓和雙曲線的方程。3定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡

2、滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法 練習(xí)： 1.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A 圓B 橢圓 C 雙曲線的一支D 拋物線2.已知定點(diǎn)A(0, 7), B(0, -7), F(12, 2)，以F為一個(gè)焦點(diǎn)，作過(guò)AB的橢圓，求另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡。4相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法練習(xí)： P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作橢圓長(zhǎng)軸的垂線

3、，垂足為M，則PM的中點(diǎn)軌跡方程為 二、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1橢圓的定義： 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的中心在_，焦點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是是F1 _，F(xiàn)2 _；（長(zhǎng)軸頂點(diǎn)也在x軸上）橢圓的中心在_，焦點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1 _，F(xiàn)2 _. （長(zhǎng)軸頂點(diǎn)也在y軸上）3.幾個(gè)概念：對(duì)于橢圓的性質(zhì)研究（1）六個(gè)特殊點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)和四個(gè)頂點(diǎn)（另：過(guò)焦點(diǎn)垂直于x軸的點(diǎn)）（2）三個(gè)長(zhǎng)度：長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，焦距2c（3）a,b,c的關(guān)系式是_。（4）橢圓的離心率 e=_,e的范圍是_.（5）橢圓的范圍： （常用于求最值時(shí)使用）（6）a在橢圓中表示的三個(gè)幾何意義（7）焦點(diǎn)三角形（周長(zhǎng)

4、和面積）（8）橢圓中兩個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)的直角三角形例1.已知、是橢圓的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若，則（ ）（A）11 （B）10 （C）9 （D）16例2已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（ ）（A） （B）3 （C） （D）練習(xí)：1.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）A B C D2.已知F1、F2為橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF1垂直于x軸，且F1MF260º，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C.

5、 D.引申練習(xí)：1.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_2. 橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí),點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是 。3.已知長(zhǎng)方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 。 4如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 三、雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1雙曲線的定義：注意：若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線的中心在_，焦點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_；頂點(diǎn)坐標(biāo)是_,漸近線方程是_ _.雙曲線的中心在_，焦

6、點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_；頂點(diǎn)坐標(biāo)是_,漸近線方程是_.3.幾個(gè)概念：（1）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫作雙曲線的_.（2）a和b分別叫做雙曲線的_長(zhǎng)和_長(zhǎng)。雙曲線的焦距是_.（3）a,b,c的關(guān)系式是_。（4）e=_,e的范圍是_.（5）如何求雙曲線的漸近線？（6）雙曲線的范圍（7）橢圓的參數(shù)方程4.等軸雙曲線：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線，即a=b。其方程可設(shè)雙曲線是等軸雙曲線的兩個(gè)充要條件：（1）離心率e =_,（2）漸近線方程是_.例1.設(shè)是等腰三角形，則以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ ）AB C D例2.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（

7、 ）A B C D例3.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則( )A. 1或5B. 6C. 7D. 9例4.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是（ ）A B C D鞏固練習(xí)：1.設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上,且，則（ ） (A) (B)2 (C) (D) 22已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為的右支上一點(diǎn)，且，則的面積等于( )（）（）（） （）3設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） ABCD4若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），焦距為10，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_三、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性

8、質(zhì)1拋物線的定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 (不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)_的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫做拋物線的_ , 定直線叫做拋物線的_.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_;拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_;拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_;拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_。3.幾個(gè)概念：（1）p的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（2）e=1（3）范圍（4）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（5）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則；4.焦半徑、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則|AF|=_,|BF|=_,|AB

9、|=_例1、拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ）（A） （B） （C） （D）例2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）A（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)例3. 已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ） ABCD例4.在平面直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)（2，1），若線段的垂直平分線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是 .例5（2004春招上海）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于軸的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，則以為圓心、為直徑的圓方程是_

10、.四、直線與圓錐曲線1直線與橢圓2直線與雙曲線3直線與拋物線注：過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。題型1：判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系聯(lián)立 題型2：弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和，用定義求。聯(lián)立 韋達(dá) 交點(diǎn)為求的一般辦法：設(shè)已知直線為 ，與已知曲線C的交點(diǎn)為，則有，即 題型3：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。點(diǎn)差法：設(shè)線段與橢圓的交點(diǎn)為； 把都代入橢圓方程中，兩式作差； 移項(xiàng)為斜率k與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式。注意：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。1、在拋物線y2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_ 2、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被M平分，求此弦所在直線方程3、橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（3，2）過(guò)點(diǎn)P的弦恰好以P為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方