均值不等式公式完全總結(jié)歸納(非常實(shí)用)-不等式均值公式

1、WORD格式均值不等式歸納總結(jié)專業(yè)資料整理WORD格式1. (1) 假設(shè)a, bR ，那么 a2b22ab (2)假設(shè) a,ba 2b 2R ，那么ab2時(shí)取“=2. (1) 假設(shè)a,bR*，那么abab (2)假設(shè) a,bR*，那么 a b2 ab2時(shí)取“=當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a ba b專業(yè)資料整理WORD格式a b2(3)假設(shè)a, b*，那么ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“=R2專業(yè)資料整理WORD格式3.假設(shè)假設(shè)x0，那么 x1(當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)取“=2xx0，那么 x12 (當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“=x專業(yè)資料整理WORD格式假設(shè) x0 ，那么x12即x12或 x 1-2(當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“=

2、xxx專業(yè)資料整理WORD格式4.假設(shè)ab0 ，那么ab2ba假設(shè) ab0 ，那么abba5.假設(shè)a, bR ，那么(a b)22(當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“=2即ab2或ab-2 (當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=babaa 2b 2當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=2專業(yè)資料整理WORD格式ps.(1) 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大(2) 求最值的條件“一正，二定，三取等(3) 均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值X圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用專業(yè)資料整理WORD格式應(yīng)用一：求最值例 1：求以下函

3、數(shù)的值域111y3x22yx2x2x專業(yè)資料整理WORD格式11解： (1)y 3x 223x 2·6 值域?yàn)?6 ，+2x 22x2121(2) 當(dāng) x0 時(shí)， yxx·2；xx當(dāng) x0 時(shí)， yx111= x2x· =2xxx值域?yàn)椋?2 ，+解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例 x5 ，求函數(shù)y 4 x21的最大值。44 x5解：因4x 5 0，所以首先要“調(diào)整符號(hào)，又(4 x2)1不是常數(shù)，所以對(duì)4 x 54x 2 要進(jìn)展拆、湊項(xiàng)，54 x 0 ，y 4x 215 4x132 3 1x, 54x54x45當(dāng)且僅當(dāng)54x1，即 x1 時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x1 時(shí)，yma

4、x1。4x5評(píng)注：此題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例 1. 當(dāng)時(shí)，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式， 但其和不是定值。 注意到 2x (8 2 x) 8為定值，故只需將 y x(8 2x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可。專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng)，即 x2 時(shí)取等號(hào)當(dāng) x2 時(shí)， yx(82x) 的最大值為8。專業(yè)資料整理WORD格式評(píng)注：此題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè) 0x3，求函數(shù) y4x(3 2x) 的最大值。232x32

5、x2解：y4x(392x) 2 2x(3 2x) 20x23 2x 022當(dāng)且僅當(dāng) 2x32x, 即 x30, 3時(shí)等號(hào)成立。42技巧三：別離例 3. 求yx27 x 10 ( x1) 的值域。x 1解析一：此題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有 x1的項(xiàng)，再將其別離。當(dāng),即時(shí), y2 x 1)45 9 當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“號(hào)。x1技巧四：換元解析二：此題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令 t=x 1，化簡(jiǎn)原式在別離求最值。2t25t 44(t 1) 7(t1 +10ty=t5tt當(dāng),即 t=49當(dāng)t=2即x1時(shí)取“號(hào)。時(shí), y 2 t5t評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后

6、將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為AB( A 0, B 0) ，g(x)恒正y mg( x)g(x)或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。a技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)， 假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況， 結(jié)合函數(shù)f ( x)xx的單調(diào)性。例：求函數(shù) yx25 的值域。x24專業(yè)資料整理WORD格式解：令 x24 t(t2) ，那么yx25241t12)x2xx24(t4t因 t0, t11 ，但 t1解得 t1 不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。tt因?yàn)?yt1在區(qū)間 1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故ty5 。2所以，所求函數(shù)的值域?yàn)? ,。2

7、練習(xí)求以下函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值 .x23x 1 ,( x 0)111y2y2x, x3(3) y, x (0, )2sin xxx3sin x20x1，求函數(shù)yx(1x) 的最大值 .；30x2，求函數(shù) yx(2 3x)3的最大值 .條件求最值1.假設(shè)實(shí)數(shù)滿足ab2 ，那么 3a3b的最小值是.分析：“和到“積是一個(gè)縮小的過程而，且 3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正數(shù)， 3a3b2 3a3b2 3a b6當(dāng) 3a3b時(shí)等號(hào)成立，由 ab 2 及 3a3b得 ab 1即當(dāng) ab 1時(shí)， 3a3b的最小值是 6變式：假設(shè) log 4 x log 4

8、 y112 ，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整體代換專業(yè)資料整理WORD格式屢次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否那么就會(huì)出錯(cuò)。專業(yè)資料整理WORD格式2：x0, y 0 ，且191，求 xy 的最小值。xy錯(cuò) 解 ：x 0, y 0 ， 且19，199故1x yx y 22 xy 12 xyxyxyxy min12 。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x y 2xy 等號(hào)成立條件是xy ，在1929等號(hào)成立條件是 19即 y9x ,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因xyxyxy此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否

9、有誤的一種方法。正解： x0, y 0, 191， x y x y19y9 x10 61016xyxyxy當(dāng)且僅當(dāng) y9x 時(shí)，上式等號(hào)成立，又191 ，可得x4, y12時(shí)， x y min 16 。xyxy變式： 1假設(shè) x, y R且 2 x y1，求11 的最小值xy(2)a, b, x, yR 且ab1 ，求xy 的最小值xy技巧七y 2 x，y 為正實(shí)數(shù)，且 x 21，求 x1y2的最大值 .2a 2b 2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。21同 時(shí) 還 應(yīng) 化 簡(jiǎn)1y2中y2前 面 的 系 數(shù) 為，x1y2 x21y21y 22· 2 x·2

10、22專業(yè)資料整理WORD格式下面將 x，1y 2分別看成兩個(gè)因式：221y 2y 211y 2x 2()2 x 223222x·22即 x1y22242 ·x1y 232224技巧八：ab為正實(shí)數(shù)， 2b30，求函數(shù)y1，的最小值 .ab aab分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或根本不等式求解，對(duì)此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用根本不等式，對(duì)此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)展。專業(yè)資料整理WORD格式302b30 2b2b 2

11、30b專業(yè)資料整理WORD格式法一： a，ab·b專業(yè)資料整理WORD格式b1b1b1專業(yè)資料整理WORD格式由 a0得， 0b15專業(yè)資料整理WORD格式2t234t311616專業(yè)資料整理WORD格式令 t b+1，1t16， ab 2t 34 t專業(yè)資料整理WORD格式ttt專業(yè)資料整理WORD格式16專業(yè)資料整理WORD格式2t·t8專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式 ab18 y當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3， a6時(shí)，等號(hào)成立。專業(yè)資料整理WORD格式18專業(yè)資料整理WORD格式法二：由得：30 aba 2ba 2b 22 ab 30 ab專業(yè)資料整理WO

12、RD格式22 ab專業(yè)資料整理WORD格式令 uab那么u222 u300，52 u321 ab 3 2，ab18，y18點(diǎn)評(píng)：此題考察不等式ababa, b2R的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由不等式ab a2ba,bR 出發(fā)求得ab的X圍，關(guān)鍵是尋找到30a b與 ab 之間的關(guān)系，由此想到不等式a b2ab a,bR ，這樣將條件轉(zhuǎn)換為含 ab 的不等式，進(jìn)而解得ab 的X圍.變式： 1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2. 假設(shè)直角三角形周長(zhǎng)為 1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、 ，為正實(shí)數(shù)， 3x2 10，求函數(shù) W3x2y的最值 .x yyab

13、a 2b 2解法一：假設(shè)利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，2，此題很2簡(jiǎn)單3x 2y 2 3x2 2y2 23x2y25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用根本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。專業(yè)資料整理WORD格式W 0 ，W23x2y23x· 2y1023x· 2y10專業(yè)資料整理WORD格式(3x)2·(2y)210(3 x2y)20專業(yè)資料整理WORD格式 W202 5變式 : 求函數(shù)y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。22解析：注意到 2x1與 52x的和為定值。y 2( 2 x 1 52x )242(2

14、x1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以0 y 2 2專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng)且僅當(dāng)2x1 = 52x ，即x3 時(shí)取等號(hào)。2故 ymax2 2 。專業(yè)資料整理WORD格式評(píng)注：此題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1a, b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a 2b2c2abbcca1正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證： (1a)(1b)(1c)8abc例 6： a、b、cR ，且 a b c 1。求證：111111 8abc分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2連乘，又111 ab c2bc ，可由此變形入手。aaaa解： a、b、cR a b c 1。11 a b c 2 bc。同理12 ac12 ab。，1aaa1b，1cabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1111112 bc 2ac 2ab8。當(dāng)且僅當(dāng) a b c1 時(shí)取等號(hào)。abcabc3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例： x0, y0 且191 ，求使不等式 xy m 恒成立的實(shí)數(shù)m的取值X圍。xy解：令 xyk, x 0, y0,