兩角差的余弦公式

1、3.1 3.1 兩角和與差的正弦、余弦兩角和與差的正弦、余弦 和正切公式和正切公式3.1.1 3.1.1 兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式問題提出問題提出1.1.在三角函數(shù)中，我們學(xué)習(xí)了哪些根本在三角函數(shù)中，我們學(xué)習(xí)了哪些根本的三角函數(shù)公式？的三角函數(shù)公式？ 2.2.對于對于3030，4545，6060等特殊角的三等特殊角的三角函數(shù)值可以直接寫出，利用誘導(dǎo)公式角函數(shù)值可以直接寫出，利用誘導(dǎo)公式還可進一步求出還可進一步求出150150，210210，315315等等角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值. .我們希望再引進一些公我們希望再引進一些公式，能夠求更多的非特殊角的三角函數(shù)式，能夠求更多的非特殊角

2、的三角函數(shù)值，同時也為三角恒等變換提供理論依值，同時也為三角恒等變換提供理論依據(jù)據(jù). .3.3.假設(shè)假設(shè)，的三角函數(shù)值，那么的三角函數(shù)值，那么cos(cos()的值是否確定？它與的值是否確定？它與，的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？這是我們需的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？這是我們需要探索的問題要探索的問題. . 探究一：兩角差的余弦公式探究一：兩角差的余弦公式 思考思考1 1：設(shè)設(shè)，為兩個任意角為兩個任意角, , 你能你能判斷判斷cos(cos()coscoscoscos恒成恒成立嗎立嗎? ?cos(30cos(303030) )cos30cos30cos30cos30sin60sin120cos60cos1

3、20cos( (12060) )sin30sin60cos30cos60cos( (6030) )32323232121212321221思考思考2 2：我們設(shè)想我們設(shè)想cos(cos()的值與的值與，的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀察下表的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀察下表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？思考思考3 3：一般地，你猜測：一般地，你猜測cos(cos()等等于什么？于什么？cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin思考思考4 4：如圖，設(shè)如圖，設(shè)，為銳角，且為銳角，且，角，角的終邊與單位圓的交點為的終邊與單位圓的交點為P P1 1, , PP1 1

4、OPOP，那么，那么cos(cos()表示哪條表示哪條線段長？線段長？MPP1Oxycos(cos()=OM)=OM思考思考5 5：如何用線段分別表示如何用線段分別表示sinsin和和coscos？PP1OxyA Asinsincoscos思考思考6 6：coscoscoscosOAcosOAcos，它表示，它表示哪條線段長？哪條線段長？sinsinsinsinPAsinPAsin，它表示哪條線段，它表示哪條線段長？長？PP1OxyA AsinsinsinsincoscoscoscosB BC C思考思考7 7：利用利用OMOMOBOBBMBMOBOBCPCP可得什可得什么結(jié)論？么結(jié)論？sin

5、sinsinsincoscoscoscosPP1OxyA AB BC CM Mcos(cos()coscoscoscossinsinsinsinx xy yP PP P1 1M MB BO OA AC Csincoscoscossinsin+1 11 1思考思考8 8：上述推理能說明對任意角上述推理能說明對任意角，都有都有cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin成立嗎？成立嗎？思考思考9 9：根據(jù)根據(jù)coscoscoscossinsinsinsin的的結(jié)構(gòu)特征，你能聯(lián)想到一個相關(guān)計算原結(jié)構(gòu)特征，你能聯(lián)想到一個相關(guān)計算原理嗎？理嗎？思考思考1010：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角

6、，的終邊與單的終邊與單位圓的交點分別為位圓的交點分別為A A、B B，則向量，則向量 、 的坐標(biāo)分別是什么？其數(shù)量積是什的坐標(biāo)分別是什么？其數(shù)量積是什么？么？BB BO OA Ax xy y=(cos=(cos,sin),sin)=(cos=(cos,sin),sin)O Buuu rcoscossi nsi nO A O Babab=+uuu r uuu r思考思考1111：向量與的夾角向量與的夾角與與、有什有什么關(guān)系？根據(jù)數(shù)量積定義，么關(guān)系？根據(jù)數(shù)量積定義， 等于什么？由此可得什么結(jié)論？等于什么？由此可得什么結(jié)論？ O BO Auuu ruuu r2k2k或或2k2k B BO OA Ax

7、 xy ycos(cos()coscoscoscossinsinsinsin思考思考1212：公式公式cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin稱為稱為差角的余弦公式差角的余弦公式，記，記作作 ，該公式有什么特點？如何記憶？，該公式有什么特點？如何記憶？C探究二：兩角差的余弦公式的變通探究二：兩角差的余弦公式的變通 思考思考1 1：假設(shè)：假設(shè)和和的三角函數(shù)值，的三角函數(shù)值，如何求如何求coscos的值？的值？ cos coscos(cos() cos(cos() cos) cossin(sin()sin. )sin. 思考思考2 2：利用利用()可得可得coscos等于

8、什么？等于什么？coscoscos(cos() cos(cos()cos)cossin(sin()sin.)sin.思考思考3 3：假設(shè)：假設(shè)coscoscoscosa a，sinsinsinsinb b，那么，那么cos(cos()等于什么？等于什么？22)cos(22ba思考思考4 4：假設(shè)：假設(shè)coscoscoscosa a，sinsinsinsinb b，那么，那么cos(cos()等于什么？等于什么？22)cos(22ba 例例1 1 利用余弦公式求利用余弦公式求cos15cos15的值的值. . 例例2 2 已知已知 是第三象限角是第三象限角, ,求求cos(cos()的值的值.

9、.4i n,5s a=,2pap驏桫，5cos,13b= -理論遷移理論遷移例例3 3 已知已知 且且 , , 求求 的值的值. . 1cos()cossi n()si n,3abbabb+=)cos(4223,小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.在差角的余弦公式的形成過程中，蘊在差角的余弦公式的形成過程中，蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和技巧，如涵著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和技巧，如數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)換、歸納、猜測、構(gòu)數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)換、歸納、猜測、構(gòu)造、換元、向量等，我們要深刻理解和造、換元、向量等，我們要深刻理解和領(lǐng)會領(lǐng)會. .2.2.一個角的正弦或余弦值，求該角一個角的正弦或余弦值，求該角的余弦或正弦值時的余弦或正弦值時, , 要注意該角所要注意該角所在的象限，從而確定該角的三角函數(shù)值在的象限，從而確定該角的三角函數(shù)值符號符號. .作業(yè)：作業(yè)：P127P127練習(xí)：練習(xí)：1 1，2 2，3 3，4.4.3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既