工程電磁場原理第2章3-倪光正

1、2.5.1 數(shù)學(xué)模型邊值問題2.5 邊值問題 Boundary Value Problem 偏微分方程的定解問題 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題以電位函數(shù) 為待求場函數(shù)，對應(yīng)的邊值問題 泛定方程基于r的場的規(guī)律性的描述； 定解條件由給定工程物理問題所決定的場域邊界上的邊界條件。1.泛定方程DDE EEE E0EE 2 2( )00r 均勻介質(zhì)泊松方程拉普拉斯方程2拉普拉斯算子代入共性泛定方程共性泛定方程 泛定方程泊松方程或拉普拉斯方程 2( , )(domain)0()x y zDD域內(nèi)處處有 =0 泊松方程和拉普拉斯方程都屬一元二次線性偏微分方程。這類偏微分方程的定解條件是在方程定義域（場域）的邊界

2、上給定的邊界條件（邊值）。 2.邊值問題 滿足給定邊界條件(邊值)的泊松或拉氏方程的定解問題。 定解條件邊界條件(邊值) 給定的是場域邊界 S 上的電位值 1b( )( )Srf r第一類邊界條件 給定的是場域邊界 S 上電位的法向?qū)?shù)值 2b( )( )Srfrn 例：導(dǎo)體表面 nDnEn( )0Srn齊次第二類邊界條件 第二類邊界條件 場域V 邊界S 上的邊界條件，也稱為該邊界S 上的邊值，可給定為以下三種類型： 給定的是場域邊界 S 上的電位及其法向?qū)?shù)的線性組合，即 34b( )( )( )( )Srrf rfrn第三類邊界條件 泛定方程與相應(yīng)的定解條件，將邊值問題(BVP) 分類為

3、第一類邊值問題（1st BVP）也稱為狄利克雷(Dirichlet)問題； 第二類邊值問題（2nd BVP）也稱為諾伊曼(Neumann)問題； 第三類邊值問題（3rd BVP）也稱為柯西(Cauchy)問題。 討論： 通常，當(dāng)邊界S =S1+S2+，且逐片分別給定為1st BC 與2nd BC時，則稱之為由混合型 BC 構(gòu)造的邊值問題； 當(dāng)場域D中存在多種均勻介質(zhì)時，務(wù)須分域定義： 2(1, )iiiiirrin iirD12nDDDD且此時，作為定解條件，尚應(yīng)引入不同媒質(zhì)分界面上的BC 為“銜接條件”，或稱之為輔助的BC ，即 122121nn 0r 當(dāng)場源分布在離坐標(biāo)原點的有限距離內(nèi)，而

4、場域 D 擴展至無限遠處時，則應(yīng)給定無限遠處的 BC為有限差分法(FDM)有限元法(FEM)模擬電荷法(CSM)矩量法(MOM)邊界元法(BEM)數(shù)值求解法分離變量法直接求解法直接積分法邊值問題間接求解法鏡像法復(fù)位函數(shù)法保角變換法格林函數(shù)法2.5.2 直接積分法 當(dāng)待求場函數(shù) 僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)時， 邊值問題即簡約為常微分方程的定解問題，可直接運用積分法求得。例2-11，例2-12 自學(xué) 2.5.4 靜電場解的唯一性泛定方程（數(shù)學(xué)物理方程）的解應(yīng)滿足：存在性、 穩(wěn)定性、 唯一性存在性存在性 靜電場客觀存在，因此 有解；穩(wěn)定性穩(wěn)定性 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明的解穩(wěn)定；唯一性唯一性 ？2.5.4 靜電場

5、解的唯一性12,V 若為 空間中兩個位函數(shù)12-=d 2212,= 20dnenenene,V0S1S2SnS2357=+PA 式5， 令，里邊有n個導(dǎo)體2022-3-5132357=+PA 式5， 令，2357+VSPdVdSn式13，2+VVdVdV SdS nSe dS SdSn2.5.4 靜電場解的唯一性2022-3-5142357+VSPdVdSn式13，20=dd 由于，若令， 則2dddVSdVdSn如果第一或第二類邊界相同，即：12120,1,=0,1,iiiiSSSSininnn給定值或給定值2.5.4 靜電場解的唯一性0=0iidSdSn或2022-3-51500,1,=0

6、0,1,iidSdSininn或0d2.5.4 靜電場解的唯一性2=0dddVSdVdSn2022-3-5160d00,1,idSin對于第一類邊界，有1,2=0,1,iiinSSSDinn對于第二類邊界，有已知0=0idddS由場中各點12=故，即唯一0= ,ddC C由為任意常數(shù)，但不一定為零12=+C故E 而12EE故，即唯一2.5.4 靜電場解的唯一性2.5.4 靜電場解的唯一性唯一性的意義在于唯一性的意義在于：求解位場時，不論采用哪一種解法，只要所求的場域內(nèi)場源分布不變，給定的邊界條件不變，就可確信解答是正確的。唯一性是鏡像法的理論基礎(chǔ)唯一性是鏡像法的理論基礎(chǔ)。2.6 鏡像法 Met

7、hod of Images不清楚自由電荷（束縛電荷）的分布，無法應(yīng)用疊加方法求取電場+導(dǎo)體，自由電荷介質(zhì)，束縛電荷點電荷-但當(dāng)界面開關(guān)比較規(guī)則（如平面、球面等）時，基于唯一性定理，但當(dāng)界面開關(guān)比較規(guī)則（如平面、球面等）時，基于唯一性定理，可以采用鏡像法求解。可以采用鏡像法求解。鏡像法：用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。鏡像法應(yīng)用的理論基礎(chǔ)靜電場解的惟一性定理 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點： a. 鏡像電荷的確定（位置、個數(shù)、電量大小）； b. 等效求解的“有效區(qū)域” 。2.6鏡像法 點電荷接地導(dǎo)板系統(tǒng)2.6鏡像法 原問題(點電荷接地導(dǎo)板系統(tǒng))2.6鏡像法 被考察問題(一對正、負電荷的電場問題)2.6鏡像法 設(shè)：兩者的電位函數(shù)解分別為1、2 (1) 在同樣由s1，s2圍成的場域D內(nèi)（上半空間），均滿足 21 = 0 和 22 = 0 (2) 關(guān)于邊界面上邊界條件的分析： 111200ss和和