新人民教育出版版數(shù)學(xué)必修二3直線與圓的方程的應(yīng)用示范教案

1、 直線與圓的方程的應(yīng)用整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.本小節(jié)設(shè)置了一些例題,分別說(shuō)明直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用,以及用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本思想及其解題過(guò)程.三維目標(biāo)(1)理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；(2)利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.(3)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形,理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用

2、,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：求圓的應(yīng)用性問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn):直線與圓的方程的應(yīng)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.如圖1,某城市中的高空觀覽車(chē)的高度是100 m,圖1 在離觀覽車(chē)約150 m處有一建筑物,某人在離建筑物100 m的地方剛好可以看到觀覽車(chē),你根據(jù)上述數(shù)據(jù),如何求出該建筑物的高度？要解決這個(gè)問(wèn)題,我們繼續(xù)研究直線與圓的方程的應(yīng)用,教師板書(shū)課題:直線與圓的方程的應(yīng)用.思路2.同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系,那么如何利用這些關(guān)系來(lái)解決一些問(wèn)題,怎樣解決?帶著這些問(wèn)題我們學(xué)習(xí)直線與圓的方程的應(yīng)用.教師板書(shū)課題:直線與圓的方

3、程的應(yīng)用.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題你能說(shuō)出直線與圓的位置關(guān)系嗎？解決直線與圓的位置關(guān)系,你將采用什么方法？閱讀并思考教科書(shū)上的例4,你將選擇什么方法解決例4的問(wèn)題？你能分析一下確定一個(gè)圓的方程的要點(diǎn)嗎？你能利用“坐標(biāo)法”解決例5嗎？活動(dòng)：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問(wèn),學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點(diǎn)撥.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問(wèn)題的思路,要全面考慮,發(fā)散思維.學(xué)生回顧學(xué)習(xí)的直線與圓的位置關(guān)系的種類(lèi)；解決直線與圓的位置關(guān)系,可以采取兩種方法；首先考慮問(wèn)題的實(shí)際意義,如果本題出在初中,我們沒(méi)有考慮的余地,只有幾何法,在這里當(dāng)然可以考慮用坐標(biāo)法,兩種方法比較可知哪個(gè)簡(jiǎn)單；回顧圓的定義

4、可知確定一個(gè)圓的方程的條件；利用“坐標(biāo)法”解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,再利用代數(shù)與幾何元素的相互轉(zhuǎn)化得到結(jié)論.討論結(jié)果：直線與圓的位置關(guān)系有三類(lèi):相交、相切、相離.解決直線與圓的位置關(guān)系,將采用代數(shù)和幾何兩種方法,多數(shù)情況下采用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來(lái)解決.閱讀并思考教科書(shū)上的例4,先用代數(shù)方法及坐標(biāo)法,再用幾何法,作一比較.你能分析一下確定一個(gè)圓的方程的要點(diǎn),圓心坐標(biāo)和半徑,有時(shí)關(guān)于D、E、F的三個(gè)獨(dú)立的條件也可.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,具體解法我們?cè)诶}中展開(kāi).應(yīng)用示例思路1例1 講解課本4.2節(jié)例4,解法一見(jiàn)課本.圖2解法二：如圖2,過(guò)P2作P2HOP.由已知,|OP|=4,|OA

5、|=10.在RtAOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2設(shè)拱圓所在的圓的半徑為r,則有r2=(r-4)2+102.解得r=14.5.在RtCP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.因?yàn)閨P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.514.36-10.5=3.86.所以支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86 cm.點(diǎn)評(píng)：通過(guò)課本解法我們總結(jié)利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟是：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

6、代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.把兩種解法比較可以看出坐標(biāo)法通俗易懂,幾何法較難想,繁瑣,因此解題時(shí)要有所選擇.變式訓(xùn)練 已知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.圖3解:如圖3,以四邊形ABCD互相垂直的對(duì)角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).過(guò)四邊形ABCD的外接圓的圓心O1分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別為線段AC、BD、AD的中點(diǎn),由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得=xm=,=yn

7、=,xE=,yE=.所以|O1E|=.又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.點(diǎn)評(píng):用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí),先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素、點(diǎn)、直線、圓.將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題,最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義,得到幾何問(wèn)題的結(jié)論.例2 有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價(jià)格相同,某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后回運(yùn)的運(yùn)費(fèi)是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍,已知A、B兩地相距10 km,居民選擇A或B地購(gòu)買(mǎi)這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn).活動(dòng)：學(xué)生

8、先審題,然后思考或討論,學(xué)生有困難教師可以提示引導(dǎo),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,這里以AB所在直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系較簡(jiǎn)單,假設(shè)一點(diǎn)距A地近,且費(fèi)用低,列方程或不等式.解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則A(5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x,y),且P地居民選擇A地購(gòu)買(mǎi)商品的費(fèi)用較低,并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/km,則B地運(yùn)費(fèi)為a元/km.由于P地居民購(gòu)買(mǎi)商品的總費(fèi)用滿足條件：價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)價(jià)格+B地運(yùn)費(fèi),即3aa,整理得(x+)2+y2()2.所以以點(diǎn)C(-,0)為圓心,為半徑的圓就是兩地居民購(gòu)貨的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購(gòu)貨費(fèi)用較低,圓外

9、的居民從B地購(gòu)貨費(fèi)用較低,圓上的居民從A、B兩地購(gòu)貨的總費(fèi)用相等,因此可以隨意從A、B兩地之一購(gòu)貨.點(diǎn)評(píng):在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際,重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活和相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用,解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要明確題意,掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法.思路2例1 求通過(guò)直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn),且面積最小的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生思考或交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程無(wú)非有兩種方法:代數(shù)法和幾何法.解法一:利用過(guò)兩曲線交點(diǎn)的曲線系,設(shè)圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+(2x-y+3)=0,配方得標(biāo)準(zhǔn)式(x+1+)2+(y-2-)2=(1+)2+(2+)2-3-1,r2=2+4=

10、(+)2+,當(dāng)=-時(shí),半徑r=最小.所求面積最小的圓的方程為5x2+5y2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面幾何知識(shí),以直線與圓的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)連線為直徑的圓符合要求.由消去y,得5x2+6x-2=0.判別式0,AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0=-,縱坐標(biāo)y0=2x0+3=,即圓心O(-,).又半徑r=|x1-x2|·=,所求面積最小的圓的方程是(x+)2+(y-)2=.點(diǎn)評(píng):要熟練地進(jìn)行圓的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式之間的互化,這里配方法十分重要,方法二用到求弦長(zhǎng)的公式|AB|=|x1-x2|·對(duì)于圓的弦長(zhǎng),還可以利用勾股定理求得,即|AB|=,其中r為圓半徑,d為圓

11、心到弦的距離.變式訓(xùn)練 設(shè)圓滿足截y軸所得弦長(zhǎng)為2,被x軸分成兩段弧,弧長(zhǎng)之比為31,在滿足條件的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.圖4解:關(guān)鍵確定圓心坐標(biāo)和半徑.如圖4.設(shè)圓心A(a,b),則半徑r=|b|.由截y軸的弦長(zhǎng)為2,知a2+1=r2=2b2,又圓心A到l的距離d=|a-2b|,5d2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.這里由解得圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y是實(shí)數(shù),且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的

12、最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值.活動(dòng)：學(xué)生思考或交流,教師引導(dǎo),數(shù)形結(jié)合,將代數(shù)式或方程賦予幾何意義.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以點(diǎn)C(2,3)為圓心,1為半徑的圓.(1)表示圓C上的點(diǎn)P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)連線的斜率k,故當(dāng)y=kx為圓C的切線時(shí),k得最值.=1,k=2±.的最大值為2+,最小值為2-.(2)設(shè)x2+y2表示圓C上的點(diǎn)P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)連結(jié)的線段長(zhǎng)的平方,故由平面幾何知識(shí),知當(dāng)P為直線OC與圓C的兩交點(diǎn)P1、P2時(shí),OP12與OP22分別為OP2的最大值、最小值.x2+y2的最大值為(+1)2=14+2,最小值為

13、(-1)2=14-2.(3)令x+y=m,當(dāng)直線l:x+y=m與圓C相切時(shí),l在y軸上截距m取得最值.=1,m=5±.x+y的最大值為5+,最小值為5-.(4)令x-y=n,當(dāng)直線l:x-y=n與圓C相切時(shí),l在y軸上截距的相反數(shù)n取得最值.=1,n=-1±.x-y的最大值為-1+,最小值為-1-.點(diǎn)評(píng):從“數(shù)”中認(rèn)識(shí)“形”,從“形”中認(rèn)識(shí)“數(shù)”,數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維的基本方法之一.“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的統(tǒng)一體,它的生命力的一個(gè)必要條件是所有的各個(gè)部分不可分離地結(jié)合.”(希爾伯特)數(shù)形結(jié)合的思維能力不僅是中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要標(biāo)志之一,而且也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代

14、數(shù)學(xué)的基本能力.本題是利用直線和圓的知識(shí)求最值的典型題目.例3 已知圓O的方程為x2+y2=9,求過(guò)點(diǎn)A(1,2)所作的弦的中點(diǎn)的軌跡.活動(dòng)：學(xué)生回想求軌跡方程的方法與步驟,思考討論,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示,本題可利用平面幾何的知識(shí).解法一:參數(shù)法(常規(guī)方法)設(shè)過(guò)A的弦所在的直線方程為y-2=k(x-1)(k存在時(shí)),P(x,y),則消y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.x1+x2=.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及中點(diǎn)在直線上,得(k為參數(shù)).消去k得P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-2y=0,當(dāng)k不存在時(shí),中點(diǎn)P(1,0)的坐標(biāo)也適合方程.P的軌跡是以點(diǎn)(,1)為圓心,為半徑的圓.解法

15、二:代點(diǎn)法(涉及中點(diǎn)問(wèn)題可考慮此法)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2).M、N在圓O上,.相減得(x1+x2)+·(y1+y2)=0(x1x2).設(shè)P(x,y),則x=,y=.M、N、P、A四點(diǎn)共線, =(x1).2x+·2y=0.中點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2-x-2y=0(x=1時(shí)亦正確).點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(,1)為圓心,為半徑的圓.解法三:數(shù)形結(jié)合(利用平面幾何知識(shí))由垂徑定理知OPPA,故P點(diǎn)的軌跡是以AO為直徑的圓.(下略)點(diǎn)評(píng):本題涉及求軌跡方程的三種間接方法.思路一,代表了解析幾何的基本思路和基本方法,即消y(或x)得關(guān)于x(或y)的一元二次方

16、程Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判別式、韋達(dá)定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中點(diǎn)的軌跡方程時(shí),用此法比較簡(jiǎn)便.基本思路是利用弦的兩個(gè)端點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)在已知曲線上,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知方程然后相減,利用平方差公式可得x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2等.再由弦MN的中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足x=,y=,以及直線MN的斜率k=(x1x2)等,設(shè)法消去x1、x2、y1、y2,即可得弦MN的中點(diǎn)P的軌跡方程.用此法對(duì)斜率不存在的情況,要單獨(dú)討論.思路三,數(shù)形結(jié)合,利用平面幾何知識(shí)等,有時(shí)能使求解過(guò)程變得非常簡(jiǎn)潔.學(xué)好解析幾何,要掌握特點(diǎn),注意四個(gè)結(jié)合:

17、數(shù)形結(jié)合:形不離數(shù),數(shù)不離形,依形判斷,就數(shù)論形;動(dòng)靜結(jié)合:動(dòng)中有靜,靜中有動(dòng),幾何條件曲線方程圖形性質(zhì);特殊與一般結(jié)合:一般性寓于特殊性之中,特殊化與一般化是重要的數(shù)學(xué)思維方法;理論與實(shí)際結(jié)合:學(xué)以致用,創(chuàng)造開(kāi)拓.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.拓展提升 某種體育比賽的規(guī)則是:進(jìn)攻隊(duì)員與防守隊(duì)員均在安全線l的垂線AC上(C為垂足),且距C分別為2a和a(a0)的點(diǎn)A和B,進(jìn)攻隊(duì)員沿直線AD向安全線跑動(dòng),防守隊(duì)員沿直線方向向前攔截,設(shè)AD和BM交于M,若在M點(diǎn),防守隊(duì)員比進(jìn)攻隊(duì)員先到或同時(shí)到,則進(jìn)攻隊(duì)員失敗,已知進(jìn)攻隊(duì)員的速度是防守隊(duì)員速度的兩倍,且他們雙方速度不變,問(wèn)進(jìn)攻隊(duì)員的路線AD應(yīng)

18、為什么方向才能取勝?圖5解:如圖5,以l為x軸,C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)防守隊(duì)員速度為v,則進(jìn)攻隊(duì)員速度為2v,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y),進(jìn)攻隊(duì)員與防守隊(duì)員跑到點(diǎn)M所需時(shí)間分別為t1=,t2=.若t1t2,則|AM|2|BM|,即.整理,得x2+(y-a)2(a)2,這說(shuō)明點(diǎn)M應(yīng)在圓E:x2+(y-a)2=(a)2以外,進(jìn)攻隊(duì)員方能取勝.設(shè)AN為圓E的切線,N為切點(diǎn),在RtAEN中,容易求出EAN=30°,所以進(jìn)攻隊(duì)員的路線AD與AC所成角大于30°即可.課堂小結(jié)1.用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.對(duì)于直線和圓,熟記各種定義、基本公式、法則固然重要,但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題,還必須掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化簡(jiǎn)、對(duì)稱(chēng)、直交、平行等特點(diǎn)適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系；(2)善于根據(jù)圖形的已知條件和論證的目標(biāo),恰當(dāng)?shù)厥褂们€的方程；(3)