微分的概念教案首頁

1、微分及其運算教案 首頁課 次課 型理 論 課章節(jié)§2-2微分及其運算教學目的1、掌握微分的概念和微分的運算2、理解微分的幾何意義教學重 點求解函數(shù)的微分教學難 點理解微分的概念教學方 法課堂講授教 具掛 圖PPT授 課班 級授 課日 期相 關(guān)素 材華師大數(shù)學分析，劉傳寶主編高等數(shù)學教學后記1. 作為微積分的首要知識，微分是重中之重，但是由于它與導數(shù)密切相關(guān)，所以它學習的難易程度很大取決于對導數(shù)的掌握程度。2. 微分概念理解和推導過程較繁瑣，從課堂情況來看，學生對于定義理解也較為吃力，這就需要與導數(shù)概念多作比較說明。3. 微分本身定義較難理解，但是微分計算簡單，只是在求導基礎上稍微變形

2、，但是由于大家對微分定義不熟，所以導致對它的計算畏懼心理較強。4. 本節(jié)整體思維與第一節(jié)相似，所以應在比較類別的基礎上教學，才能起到舉一反三的效果。微分及其運算教案 續(xù)頁教學過程一、新課導入（5分鐘）；已知，在時，？二、新課講授函數(shù)的導數(shù)表示函數(shù)在點處的變化率，它所描述的是函數(shù)在點處變化的快慢程度。在工程技術(shù)中，有時還需要了解當自變量取一個微小的增量時，函數(shù)取得相應增量的大小。一般說來，計算函數(shù)增量的精確值較繁，有時是相當困難的。所以，往往需要找出簡便的計算方法計算它的近似值。為此，我們引出微分學中的另一個重要概念微分。1、微分的概念（40分鐘）先看一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的

3、影響，其邊長由變到，如圖2-5所示，問此金屬薄片的面積改變了多少？ 圖2-5設薄片的邊長為，面積為，則。薄片受溫度變化的影響，面積的改變量可以看成是當自變量在有增量時，函數(shù)相應的增量，即可以看出，由兩部分組成，第一部分(圖中陰影部分兩個矩形面積之和)是的線性函數(shù)，且，第二部分(圖中右上角處的小正方形)當時，是的高階無窮小。由此可見；如果邊長改變很微小，即很小時，面積的改變量可以近似地用第一部分代替，且越小，近似程度越好，這無疑給近似計算提供了極大的方便。微分及其運算教案 續(xù)頁教學過程撇開這個例子的實際意義，對于一般可導函數(shù)而言，我們可以聯(lián)想到兩個問題：(1)與自變量的增量相對應的函數(shù)增量，是否

4、也可表示為的線性函數(shù)(其中不依賴于)與的高階無窮小兩部分之和；(2)其中線性函數(shù)部分的系數(shù)，是否恰好是函數(shù)在該點的導數(shù)。設函數(shù)在點處可導，即存在，顯然可得由無窮小的概念，即得（其中）于是有 從上式可看出，我們的聯(lián)想是正確的。同時我們還能證明，如果函數(shù)當自變量在有增量時，相應的函數(shù)增量可表示為，且的系數(shù)一定就是。由此，我們引出下面的概念。定義1：如果函數(shù)在點處可導，則稱為函數(shù)在點處的微分，記作，即此時我們稱函數(shù)在點處可微。以上的分析及定義說明，函數(shù)在點處可導與它在該點可微是等價的。特別地，當時，因此我們可以得到自變量的微分等于自變量增量，由此函數(shù)在點處的微分又記作微分及其運算教案 續(xù)頁教學過程如

5、果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點都可微，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)可微，并稱函數(shù)為該區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任一點處的微分記為 上式又可寫成即函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之商，所以導數(shù)又稱微商。例1：求函數(shù)當由1變到1.0l時的微分。解：函數(shù)的微分為由條件知，所以。例2：半徑為r的球，其體積為，當半徑增大時，求體積的增量及微分。解：體積的增量：體積的微分為：。2、微分運算（25分鐘）由可知，求微分只要計算出函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分即可。例3：求函數(shù)的微分。解：.例4：求函數(shù)的微分。解：.課堂練習：求函數(shù)在處的微分，并求在時的微分（記作）。3、微分的幾何意義（10分鐘） 設函數(shù)的圖像如圖2-6所示，過曲線上點作曲線的切線MT，切線的傾斜角為。則。由圖可知，當有微小增量時，相應地切線的縱坐標也有增量QP。微分及其運算教案 續(xù)頁教學過程因此，函數(shù)在點處的微分就是曲線上點處切線MT的縱坐標的增量。圖2-6對圖形的觀察分析，我們還發(fā)現(xiàn)：(1)當很小時，也很小，即可用函數(shù)的微分來近似替代函數(shù)的增量。 (2)當很小時，即在