微分中值定理及其應(yīng)用2

1、安陽(yáng)師范學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)論文微分中值定理及其應(yīng)用作 者張慶娜系（院）數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)2006級(jí)學(xué) 號(hào)06081090指導(dǎo)老師姚合軍論文成績(jī)?nèi)?期2010年6月學(xué)生誠(chéng)信承諾書本人鄭重承諾：所成交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作即取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包括其他人已經(jīng)發(fā)表的或撰寫的研究成果，也不包括為獲得安陽(yáng)師范學(xué)院或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所需用過的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所作出的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。簽名：日期：論文使用授權(quán)說(shuō)明本人完全了解安陽(yáng)師范學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即

2、：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。簽名：導(dǎo)師簽名：日期微分中值定理及其應(yīng)用張慶娜（安陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南安陽(yáng)455002）摘要：介紹了使用微分中值定理一些常見方法,討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級(jí)數(shù)的斂散性和求極限等方面的應(yīng)用,最后通過例題體現(xiàn)微分中值定理在具體問題中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：連續(xù)；可導(dǎo)；微分中值定理；應(yīng)用1 引言人們對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)可以上溯到公元前古希臘時(shí)代.古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中,得到如下論：“拋物線弓形的頂點(diǎn)的切

3、線必平行于拋物線弓形的底”,這正是拉格朗日定理的特殊情況.希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用這一結(jié)論,求出拋物弓形的面積.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在不可分量幾何學(xué)(1635年) 的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點(diǎn)也敘述了同樣一個(gè)事實(shí)：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦,這是幾何形式的微分中值定理,被人們稱為卡瓦列里定理.人們對(duì)微分中值定理的研究,從微積分建立之始就開始了.1637,著名法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat) 在求最大值和最小值的方法中給出費(fèi)馬定理,在教科書中,人們通常將它稱為費(fèi)馬定理.1691年,法國(guó)數(shù)學(xué)家羅

4、爾(Rolle) 在方程的解法一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理.1797年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明.對(duì)微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy) ,他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)的推動(dòng)者,他的三部巨著分析教程、無(wú)窮小計(jì)算教程概論 (1823年)、微分計(jì)算教程(1829年),以嚴(yán)格化為其主要目標(biāo),對(duì)微積分理論進(jìn)行了重構(gòu).他首先賦予中值定理以重要作用,使其成為微分學(xué)的核心定理.在無(wú)窮小計(jì)算教程概論中,柯西首先嚴(yán)格地證明了拉格朗日定理,又在微分計(jì)算教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理.從而發(fā)現(xiàn)了最后一個(gè)微分中值定理.近年來(lái)有關(guān)微分中值定理問題的研究

5、非常活躍,且已有豐富的成果,相比之下,對(duì)有關(guān)中值定理應(yīng)用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基本內(nèi)容,而且無(wú)論是對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,無(wú)論是研究生入學(xué)考試還是更深層次的學(xué)術(shù)研究,中值定理都占有舉足輕重的作用,因此有關(guān)微分中值定理應(yīng)用的研究顯得頗為必要.2 預(yù)備知識(shí)由于微分中值定理與連續(xù)函數(shù)緊密相關(guān),因此有必要介紹一些閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、定理.定理2.1 (有界性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上有界.即$常數(shù) ,使得"Î有.定理2.2（最大、最小值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上有最大值與最小值.定理2.3（介值性定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上

6、連續(xù),且.若為介于與之間的任意實(shí)數(shù)(或),則至少存在一點(diǎn)使得 .定理2.4（根的存在定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且與異號(hào)（即）.則至少存在一點(diǎn)使,即方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.定理2.5（一致連續(xù)性定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在閉區(qū)間上一致連續(xù).定理2.6 設(shè)區(qū)間的右端點(diǎn)為；區(qū)間的左端點(diǎn)也為（其中,可分別為有限或無(wú)限區(qū)間）.若分別在和上一致連續(xù),則在上也一致連續(xù).定理2.7（比較原則） 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正數(shù),對(duì)一切都有,則（1）若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂；（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.定理2.8 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.3 相關(guān)的幾個(gè)重要定理定理3.1（費(fèi)馬定理） 設(shè)函數(shù)在

7、點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn)可導(dǎo),若點(diǎn)為的極值點(diǎn),則必有.定理3.2（羅爾中值定理） 若函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.定理3.4（柯西中值定理） 若函數(shù),滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）,不同時(shí)為零； （4）；則在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn),使得.注 上面各定理的條件是充分的,但不是必要的.4 微分中值定理的應(yīng)用4.1 證明有關(guān)等式在證明一些出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的等式時(shí),進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?

8、考慮應(yīng)用微分中值定理加以證明.還有,就是我們?cè)谧C明一些與中值定理有關(guān)的題目時(shí),構(gòu)造輔助函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.在證明題中巧妙選用和構(gòu)造輔助函數(shù),進(jìn)行系統(tǒng)分析和闡述,從而證明相關(guān)結(jié)論.5是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),若對(duì)任意,有,其中是常數(shù),則是常值函數(shù).證明 對(duì)任意,的改變量為,由條件有,即,兩邊關(guān)于取極限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函數(shù).思路總結(jié) 要想證明一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上恒為常數(shù)一般只需證明該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在同一區(qū)間上恒為零即可.2設(shè),證明：存在,使得.證明 由于在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), .符合羅爾中值定理的條件,故存在,使例4.1.3 若在上有三階導(dǎo)數(shù),且,設(shè),試證在內(nèi)至少存在一個(gè),使.證明

9、由題設(shè)可知,在上存在,又,由羅爾中值定理,使,又可知在上滿足羅爾中值定理,于是,使得,又對(duì)存在,使 .4（達(dá)布定理的推論） 若函數(shù)在內(nèi)有有限導(dǎo)數(shù),且,則至少存在,使得.證明 ,不妨設(shè),因?yàn)橛蓸O限的局部保號(hào)性可知,當(dāng)時(shí), ,即.同樣,當(dāng)時(shí),即.取,于是在,中,分別有和.故,均不是在中的最小值,最小值一定是在內(nèi)部的一點(diǎn)處取得,設(shè)為由費(fèi)馬定理可知,.小結(jié) 證明導(dǎo)函數(shù)方程的根的存在性的證明方法有如下幾種：驗(yàn)證函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個(gè)條件,由此可直接證明.在大多數(shù)情況下,要構(gòu)造輔助函數(shù),驗(yàn)證在上滿足羅爾中值定理的三個(gè)條件,證明,進(jìn)而達(dá)到證明問題的目的.驗(yàn)證為函數(shù)的極值點(diǎn),應(yīng)用費(fèi)馬定理達(dá)到證明問題的

10、目的.例4.1.5 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),試證：使.證明 由于,由于在上滿足柯西中值定理 ,所以使 ,由上面二式可得使得：.例4.1.6 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.試證：對(duì)任意給定的正數(shù)在內(nèi)不同的,使.證明 由于所以.又由于在上連續(xù)且.由介值性定理,使得,在上分別用拉格朗日中值定理有即即于是由上面兩式有將兩式相加得 即.小結(jié) 大體上說(shuō),證明在某區(qū)間內(nèi)存在滿足某種等式的方法是：用兩次拉格朗日中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次羅爾中值定理.兩次柯西中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.4.2 證明不等式在證明不等式時(shí),可以考慮從微分中值定理入手,找出切入點(diǎn),靈活運(yùn)用相關(guān)微分中

11、值定理,進(jìn)行系統(tǒng)的分析,從而得以巧妙解決.3 設(shè) 在上連續(xù)；在內(nèi)存在；在內(nèi)存在點(diǎn),使得求證在內(nèi)存在,使.證明 由題設(shè)知存在,使在處取得最大值,且由知,也是極大值點(diǎn),所以.由泰勒公式：.所以.例4.2.2 設(shè),證明.證明 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.下證 當(dāng)時(shí),有作輔助函數(shù),則在上滿足拉格朗日中值定理,則使由于,所以由有,即.小結(jié) 一般證明方法有兩種利用泰勒定理把函數(shù)在特殊點(diǎn)展開,結(jié)論即可得證.利用拉格朗日中值定理證明不等式,其步驟為：第一步 根據(jù)待證不等式構(gòu)造一個(gè)合適的函數(shù),使不等式的一邊是這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的增量；第二步 驗(yàn)證在上滿足拉格朗日中值定理的條件,并運(yùn)用定理,使得等式的另一邊轉(zhuǎn)化為；第三

12、步 把適當(dāng)放大或縮小.4.3 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題例4.3.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)在連續(xù),而當(dāng)時(shí),求 .解 設(shè),則由拉格朗日中值定理有.已知,又在連續(xù),即,所以.例4.3.2 若在內(nèi)可導(dǎo),且,求.分析 由式,引進(jìn)輔助函數(shù),顯然.解 由,知,當(dāng)時(shí),令,對(duì),在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當(dāng)時(shí)有和,于是,使即.小結(jié)方法1 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)及極限的迫斂性求的最終結(jié)果.方法2 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用柯西中值定理結(jié)合具體題意求的最終結(jié)果.4.4 證明零點(diǎn)存在性在證明方程根的存在性時(shí),出現(xiàn)滿足中值定理的相關(guān)條件時(shí),

13、可以考慮運(yùn)用微分中值定理加以解決.從某種意義來(lái)說(shuō),微分中值定理為證明方程根的存在性提供了一種方法.例4.4.1 設(shè)且滿足,證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明 引進(jìn)輔助函數(shù),顯然,又是多項(xiàng)式函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),滿足羅爾中值定理的條件,故存在使而故方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.注 本題構(gòu)造的依據(jù)是使得導(dǎo)數(shù)恰好是所證方程的左邊.例4.4.2 證明：方程有唯一正根.證明 （存在性）令,顯然是連續(xù)函數(shù),取區(qū)間則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理,知存在使即方程有正根.（唯一性）下面用反證法證明正根的唯一性,設(shè)處外還有一個(gè)不妨設(shè)使則在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,于是存在使這與上面的矛盾.所以,方程有唯一的

14、正根.例4.4.3 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明使并由此說(shuō)明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.證明 作輔助函數(shù)由于,由羅爾中值定理知使, 若令,則由式有, 由式可得此即柯西中值定理.若令,由式有, 由可得此即為拉格朗日中值定理.此類型題的一般解題方法小結(jié)證明根的存在性有以下兩種方法（1）構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使；對(duì)使用洛爾定理即可證得結(jié)論存在,使得；（2）對(duì)連續(xù)函數(shù)使用介值定理；證明根的唯一性一般用反證法,結(jié)合題意得出矛盾,進(jìn)而結(jié)論得證.4.5 函數(shù)的單調(diào)性6 證明：若函數(shù)在可導(dǎo),單調(diào)增加,且,則函數(shù)在也單調(diào)增加.證明 對(duì)任意,且,則在與均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,于是分別存在,使,由于單調(diào)

15、增加,且,所以,從而,即函數(shù)在也單調(diào)增加.證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù)一般有兩種方法：（1）利用函數(shù)單調(diào)的定義來(lái)證明；（2）利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)證明.若在該區(qū)間上恒有則為單增函數(shù)；若在該區(qū)間上恒有則為單減函數(shù).4.6 導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)7 設(shè)在上二次可微,則至少存在一點(diǎn),使得.證明 因?yàn)楹瘮?shù)在與上可導(dǎo),所以由中值定理有 （1） （2）,并整理得, （3）又,且在上二次可微,則分別在與內(nèi)至少存在與,使 （4） （5）,并整理得 （6）將（6）式代入（3）式得令,則即,.解題方法小結(jié)選擇適當(dāng)?shù)膮^(qū)間分別利用拉格朗日中值定理并進(jìn)行適當(dāng)處理,再結(jié)合具體題目采用適當(dāng)?shù)氖侄巫罱K證得所求結(jié)論.4.7 證明函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)例4

16、.7.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),有,證明：在內(nèi)一致連續(xù).證明 由函數(shù)極限的局部有界性知,存在和,使于是,且不妨設(shè)由柯西中值定理,有即故,當(dāng),且時(shí),由上面兩式得到于是知在上一致連續(xù),由于在上連續(xù),所以在上一致連續(xù),由定理知在內(nèi)一致連續(xù).證明函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)解題小結(jié)：利用一致連續(xù)的定義并結(jié)合有關(guān)一致連續(xù)的定理即可證得結(jié)論成立.4.8 用來(lái)判定級(jí)數(shù)的斂散性例4.8.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證絕對(duì)收斂.證明 由且在可導(dǎo),知故在點(diǎn)處的一階泰勒公式為：,因,故.取有由于收斂,由比較判別知絕對(duì)收斂.定理8 已知為定義在上的減函數(shù),為定義在上的連續(xù)函數(shù),且,.當(dāng)極限存在時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)收

17、斂,設(shè)其和為,則；當(dāng)極限時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.證明 下面只證定理的前半部分.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上滿足中值定理的條件（其中）,所以在內(nèi)至少存在使得成立,又為減函數(shù),故有.將上述個(gè)不等式相加得.令,則,（1）因極限存在,為減函數(shù),從而數(shù)列有界,所以數(shù)列單調(diào)遞增且有上界,故極限存在,即級(jí)數(shù)收斂.從而,由（1）可得.例4.8.2 判定級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂,請(qǐng)估計(jì)其和.解 令,則,故當(dāng)時(shí),此時(shí)為減函數(shù),又,由定理知級(jí)數(shù)收斂,且,所以即.判定級(jí)數(shù)的斂散性的一般解題方法方法一 一般先運(yùn)用泰勒定理并結(jié)合題意,再運(yùn)用比較判別法即可得到所要證明的結(jié)論；方法二 先驗(yàn)證級(jí)數(shù)滿足相關(guān)定理的條件,即可得到相應(yīng)結(jié)論；5 總結(jié)人們對(duì)

18、微分中值定理的認(rèn)識(shí)可以上溯到公元前古希臘時(shí)代,對(duì)微分中值定理的研究從微積分建立之始就開始了.至今有關(guān)微分中值定理問題的研究非?；钴S,且已有豐富的成果,相比之下,對(duì)有關(guān)中值定理應(yīng)用的研究尚不是很全面.討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級(jí)數(shù)的斂散性和求極限等方面的應(yīng)用,最后通過例題體現(xiàn)微分中值定理在具體問題中的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社第三版,2001.2孫清華,孫昊編. 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）M. 武漢:華中科技出版社, 2003.3錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹第二版M. 武漢: 湖北長(zhǎng)江出版集團(tuán),2009.4鄧樂斌編. 數(shù)學(xué)分析的理論、方法與技巧M. 武漢:華中科技出版社,2005.5 王寶艷.微分中值定理的應(yīng)用J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,2：5961.6賈田田,劉偉偉,霍麗元.微分中值定理的應(yīng)用及其在特定條件下問題的思路分析J.工程科技Engineering Technolofy,2009,2下：182.7羅群.微分中值定理及其應(yīng)用J.肇慶學(xué)院學(xué)報(bào),2003,24（5）：3136.8劉章輝.微分中值定理及其應(yīng)用J.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,2（27）:981.The Differential Mean-value