勾股定理最短距離問題

1、螞蟻爬行的最短路徑正方體4.如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著表面爬行到點(diǎn)上面的 B點(diǎn)處，它爬行的最短路線是（）A? Q? BC . A? R? B DA? S? B解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A.故選A.2.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)最短距離是為第7題解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線.2, BC的中點(diǎn)為 M, 只螞蟻從 A點(diǎn)爬行到 M點(diǎn)的最短距離解：將正方體展開，連接 M D1, 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3MD= MD2 DD12.3222, 13 .B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方

2、體的棱長(zhǎng)為2,B的最短路程是()10 .故選 c.9. 如圖所示一棱長(zhǎng)為 3cm的正方體，把所有的面均分成 3X3個(gè)小正方形.其邊長(zhǎng)都為1cm,的路線.2cm,則它從下底面點(diǎn) A沿表面爬行至側(cè)面的 B點(diǎn)，最少要用 秒鐘.，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最:(1)展開前面右面由勾股定理得AB= -:：':=門 cm;(2)展開底面右面由勾股定理得AB= J- ' I I.J ' =5cm；5.如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn) 螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)所以最短路徑長(zhǎng)為 5cm用時(shí)最少：5十2=秒.長(zhǎng)方體10. (2009?恩施州)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為

3、15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是解：將長(zhǎng)方體展開，連接A、11. 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)Ci處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為.D1A1DC1解：正面和上面沿 Ai B展開如圖,二 ac= Jab2BCi2r連杖AC, ABC是直角三角形,1 22、42 32518.（ 2011?荊州）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從PA=2X（ 4+2） =12, QA=5 PQ=13故答案為：13.19.如圖，一塊長(zhǎng)方體磚寬

4、AN=5cm 長(zhǎng)ND=10cm CD上的點(diǎn) B距地面的高 BD=8cm地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？解：在Rt ABD中，因?yàn)?AD=AN+ND=5+10=15BD=8所以 aB"=A5+bD=152+82=289=172.所以 AB=17cm故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.49、如圖，長(zhǎng)方體盒子(無蓋)的長(zhǎng)、寬、高分別 12cm ,8cm,30cm.(1)在AB中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程 是多少？ 此長(zhǎng)方體盒子(有蓋)能放入木棒的最大長(zhǎng)度是多少？12. 如圖所示：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，

5、一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B路徑一：AB= -：-'： = - :JJ ;路徑二：AB= - -' ' ! ： =5;路徑三：AB= 二= :;>5,5米為最短路徑.13. 如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm,底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形.一只螞蟻從頂點(diǎn) A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn) B.求：(1 )螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2 )螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長(zhǎng)路程.Z;11it暑7A解：（1） AB的長(zhǎng)就為最短路線.然后根據(jù)若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為二-八I（cm）;若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為："-（cm）,或 J I' I

6、 ：-'（cm）所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是#何cm.（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=3Qc最長(zhǎng)路程是 30cm.15.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm, 8cm, 4cm. 只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是 。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm則所走的最短線段是匚匸廠=6江cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是 i "-_' = d cm;第三種情況：把我們所看到的

7、前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm,所以走的最短線段是i - - =2 ； :. cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.51.圓柱形坡璃容器，高 18cm,底面周長(zhǎng)為60cm,在外側(cè)距下底1cm點(diǎn)S處有一蜘蛛，與 蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度。16.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm 3cm 2cm. A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)， 點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物， 則螞蟻沿著臺(tái)階 面爬行到點(diǎn)B的最短路程為cm2C解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方

8、形，長(zhǎng)為20cm,寬為(2+3)x 3cm則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+ ( 2+3)X 3 2=252,解得x=25.故答案為25.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想,17如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于所以 AB=AC+BC=169,所以 AB=13 (cm),所以螞蟻爬行的最短線路為 答：螞蟻爬行的最短線路為cm這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是解：將臺(tái)階展開，如下圖，因

9、為 AC=3< 3+1X 3=12, BC=5,13cm.13cm.圓柱21有一圓柱體如圖，高4cm,底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離解：AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離.C, D分別是BE, AF的中點(diǎn).AF=2tt ? 5=10n. AD=5t.AC= . AD CD 16cm故答案為：16cm.scEz4 D F22. 有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m,高為6m 一只老鼠從距底面 1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為解: AB=.,.52 12213m23. 如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA的端點(diǎn)A到達(dá)Ai,若圓柱底面半

10、徑為 -,A最短距離為解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2 nX =12,高為5,所以將側(cè)面展開為一長(zhǎng)為 12,寬為5的矩形, 根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為'!- ' =13.故螞蟻爬行的最短距離為13.由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24. 如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高AB為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)24cm,則 AD=24X 1 =12cm.2又因?yàn)?CD=AB=9cm 所以 AC= . '=15cm.故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm.故答案為：15.25. （ 2006?荊州）有一圓柱體高為 10cm底面圓的半徑為 4cm, AA

11、, BB為相對(duì)的兩條母 線.在AA上有一個(gè)蜘蛛 Q QA=3cm在BB上有一只蒼蠅 P，PB=2cm,蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm（結(jié)果用帶 n和根號(hào)的式子表示）QA(1)可設(shè)計(jì)AB+AC路徑;(2)可設(shè)計(jì)AD+BD+C路徑;(3)可設(shè)計(jì)AE+EB+E（路徑。解：QA=3 PB=2，即可把PQ放到一個(gè)直角邊是 4n和5的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：QP= 最短路線問題通常是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”為原則引申岀來的們?cè)谂．a(chǎn)、?；顚?shí)踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡(jiǎn)單談一下初中數(shù)學(xué)中遇到的最短路線問題。' 對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問

12、題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線 問題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫岀方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。I .求三點(diǎn)距離相等時(shí)，一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離最短設(shè)計(jì)方案例1.為改善白銀市民吃水質(zhì)量，市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。已知 A、B C之間的距離相等，為了節(jié)約成本降低造價(jià)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最優(yōu)方案，使鋪設(shè)的輸水管道最短，在圖中用實(shí)線畫 岀你所設(shè)計(jì)方案的線路圖。解析：可根據(jù)三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形形狀及三線合一的性質(zhì)，可求最短路線及設(shè)計(jì)圖。應(yīng)用：已知三角形 ABC中，/ A= 20度，AB= AC= 20cm, M N分別為AB AC上兩點(diǎn)，求BN+ MN

13、 MC的最小值。山。求圓上點(diǎn)，使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)例3.已知圓形花壇以及花壇外一居民區(qū)，要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一 點(diǎn)，使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析：在此問題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。應(yīng)用：一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為 9,最短距離為1,則圓的半徑為多少？關(guān)于立體圖形表面的最短路徑問題 ，又稱“繞線問題”是幾何中很富趣味性的一類向題 .它牽涉的知 識(shí)面廣，溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系，能訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力。 而且，也很富有技巧 性.在此討論幾個(gè)問題，僅供參考。I。在圓柱中，可將其側(cè)面展開求岀最短路程H。在長(zhǎng)方

14、體(正方體)中，求最短路程例5.在長(zhǎng)方體盒子的 A點(diǎn)有一昆蟲，在B點(diǎn)有它最喜歡吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得 所爬路程最短，如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c.則最短路程為多少.解析：將其中含有一點(diǎn)的面展開，與含另一點(diǎn)的面在同一平面內(nèi)即可，主要可以分為三種情形：Si(1) 將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，可得其路程為:(2) 將前表面展開與上表面在同一平面內(nèi)，可得其路程為:(3) 將上表面展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，可得其路程為:然后比較Si、S2、S3的大小，即可得到最短路程.應(yīng)用：一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)Ci處。蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長(zhǎng)方體的表面向上爬，它要從A點(diǎn)爬到Ci點(diǎn)，它應(yīng)沿著怎樣的路線爬行，才能在最短的時(shí)間內(nèi)捉住蒼蠅？山。在圓錐中，求最短路徑問題例6在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從A點(diǎn)岀發(fā)，在其表面繞一周又回到 A點(diǎn),如果繞行所走的路程最短，畫岀設(shè)計(jì)方案圖。解析：將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)用：如圖，一直圓錐的母線長(zhǎng)為 QA=8底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā),繞圓錐的側(cè)面