《111分類加法計(jì)數(shù)原理》導(dǎo)學(xué)案

1、1.1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理 導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解分類加法計(jì)數(shù)原理 .2. 能利用分類加法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.3. 過程與方法 :引導(dǎo)學(xué)生形成 “自主學(xué)習(xí) “”合作學(xué)習(xí) ”等良好的學(xué)習(xí)方式， 培養(yǎng)學(xué)生的歸納 概括能力 .重點(diǎn)分類加法計(jì)數(shù)原理的適用范圍 .難點(diǎn)分類加法計(jì)數(shù)原理的準(zhǔn)確理解， 能根據(jù)具體問題的特征， 選擇分類加法計(jì)數(shù)原理解決一 些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 .教學(xué)過程在一次 “非常 6+ 1”節(jié)目中，主持人拿出甲、乙兩個(gè)信箱，其中甲箱存放著5個(gè)、乙箱存放著 4個(gè)在競(jìng)猜中成績優(yōu)秀的選手的姓名，主持人要在兩個(gè)信箱中抽取一名幸運(yùn)選手，有多 少種不同的結(jié)果？要正確回答這個(gè)問題，就要

2、用到我們今天所要學(xué)習(xí)的知識(shí) .問題1:完成一件事有兩類不同方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案 中有n種不同的方法那么完成這件事共有N= m+n 種不同的方法問題2:分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事情，完成它可以有 n類不同的辦法，在第一類辦法中有 mi種不同的方法，在第 二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法那么，完成這件事共 有N= g+m2+mn 種不同的方法問題3:理解分類加法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是 “ 分類 ”問題， 完成一件事要分為若干類， 各類的方法 相互獨(dú)立 ，各類中的各種方法也 相對(duì)獨(dú)立 ，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú) 完成這件

3、事 問題4:利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)要注意的問題(1) 根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一 ，不能遺漏 (2) 分類時(shí)，注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù) 從以下角度理解分類加法計(jì)數(shù)原理 : (1)各類辦法之間相互獨(dú)立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各類辦法相加，所以這個(gè)原理叫作加法原理；(2)分類時(shí)，首先要在問題的條件之下確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn) 行分類；(3) 完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不 同的，要做到不重不漏 .學(xué)習(xí)交流1.一個(gè)三層書架，分別放置語文書 12 本，數(shù)學(xué)書 14本，英語書 1

4、1本，從中取出一本，則 不同的取法共有 ( ).A. 37 種B.1848種C.3 種D.6 種【解析】若取出的書是語文書，有 12種方法；若取出的書是數(shù)學(xué)書，有 14種方法；若取 出的書是英語書，有 11種方法 .根據(jù)加法原理，不同的取法種數(shù)為 12+14+11=37.【答案】 A2有A、B兩種類型的車床各一臺(tái)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會(huì)操作兩 種車床，丙只會(huì)操作 A種車床，現(xiàn)在要從三名工人中選 2名分別去操作以上車床，不同的選 派方法有 ().A.6種 B.5種 C.4種 D.3種【解析】若選甲、乙二人，包括甲操作A車床，乙操作B車床，或甲操作B車床，乙操作 A 車床，共有 2

5、種選派方法；若選甲、丙二人，則只有甲操作 B車床，丙操作A車床這1種選派方法；若選乙、丙二人，則只有乙操作 B車床，丙操作A車床這1種選派方法.故共2+ 1+仁4種不同的選派方法.選C.【答案】 C3. 若x、y N+，且x+y詬，則有序自然數(shù)對(duì)(x, y)共有個(gè).【解析】當(dāng)x=1, 2, 3, 4, 5時(shí)，y值依次有5, 4, 3, 2, 1個(gè)，由加法原理，不同的數(shù)對(duì)(x, y)共有 5+4+3+2+1 = 15個(gè).【答案】 154. 在一次 “非常6+ 1 ”節(jié)目中,主持人拿出甲、乙兩個(gè)信箱,其中甲箱存放著5個(gè)、乙箱存放著 4個(gè)在競(jìng)猜中成績優(yōu)秀的選手的姓名,主持人要在兩個(gè)信箱中抽取一名幸運(yùn)

6、選手,有 多少種不同的結(jié)果？【解析】將選出的幸運(yùn)選手分成兩類:一類來自甲箱中的姓名,有 5種方法；一類來自乙箱中的姓名,有 4種方法 .根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的結(jié)果總數(shù)有5+4=9種.對(duì)分類加法計(jì)數(shù)原理概念的理解在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到A、B、C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)新聞會(huì)計(jì)金融化學(xué)學(xué)學(xué)信息人力醫(yī)學(xué)技術(shù)學(xué)資源學(xué)物理法學(xué)學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？【方法指導(dǎo)】由于這名同學(xué)在 A、B、C三所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè) 專業(yè)，又由于三所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理

7、的條件【解析】這名同學(xué)可以選擇 A、B、C三所大學(xué)中的一所在A大學(xué)中有5種專業(yè)，在 B大學(xué)中有4種專業(yè)，在C大學(xué)中有3種專業(yè).由于沒有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是任何兩所大學(xué)共有 的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4+3=12種.【小結(jié)】解決這類問題的關(guān)鍵是弄清分類加法計(jì)數(shù)原理的定義6分類加法計(jì)數(shù)原理的初步應(yīng)用若自然數(shù)n使得作豎式加法n+(n + 1)+(n+2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱 n為 良數(shù)”例如:32 是 良數(shù)”因?yàn)?2+ 33+ 34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是 良數(shù)”因?yàn)?3+24+ 25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象求小 于100的良數(shù)”的個(gè)數(shù)【方法指導(dǎo)】分一位數(shù)、兩位數(shù)兩類，分別找出各類

8、中良數(shù)”的個(gè)數(shù)【解析】一位數(shù)的 良數(shù)”有0, 1，2,共3個(gè)；兩位數(shù)的 良數(shù)；它的十位數(shù)字可以是1, 2，3,則兩位數(shù)的 良數(shù)”有10，11，12，20, 21， 22， 30， 31， 32,共9個(gè)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 12個(gè)小于100的 良數(shù)”【小結(jié)】解題時(shí)先確定分幾類，然后計(jì)算每類良數(shù)”的個(gè)數(shù)，再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求出良數(shù)”的總個(gè)數(shù)7分類加法計(jì)數(shù)原理的提升應(yīng)用射擊8槍，其中4槍命中，恰有3槍連中的情形有多少種？【方法指導(dǎo)】分類討論3槍連中的情形，從前到后依次類推，注意不重不漏【解析】若第1、2、3槍連中，則命中的另一槍應(yīng)處于第5、6、7、8槍的位置，有4種情況，如下表：VVVVV

9、VVVVVVVVVVV6、7、8槍的位置，有3種情況；1、7、8槍的位置，有3種情況；1、2、8槍的位置，有3種情況；1、2、3槍的位置，有3種情況；1、2、3、4槍的位置，有4種情況.同時(shí)，特別要注意分類的情況不能重若第2、3、4槍連中，則命中的另一槍應(yīng)處于第 若第3、4、5槍連中，則命中的另一槍應(yīng)處于第 若第4、5、6槍連中，則命中的另一槍應(yīng)處于第 若第5、6、7槍連中，則命中的另一槍應(yīng)處于第 若第6、7、8槍連中，則命中的另一槍應(yīng)處于第 故共有4+3+3+3+3+4=20種情形.【小結(jié)】在情況比較少時(shí)，應(yīng)注意列舉法的應(yīng)用 復(fù)也不能遺漏.分類時(shí)，首先要確定一個(gè)適合于問題的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在此

10、標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次要注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法 是不同的方法.只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理例題應(yīng)用某班有男三好學(xué)生5名，女三好學(xué)生4名，從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)， 有多少種不同的選法?【解析】完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事，共有兩類辦法第-類,從男三好學(xué)生中任選-人，共有m1 = 5種不同的方法;第二-類,從女三好學(xué)生中任選-人，共有m2=4種不同的方法根據(jù)加法原理，共有 N=5+4=9種不同的選法一螞蟻沿著長方體的棱，從它一個(gè)頂點(diǎn)A爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)C1的最近路線共有多少 條?【解析】如圖所示，螞蟻從頂點(diǎn) A爬到頂點(diǎn)Ci有三類

11、方法，從局部上看每類又有2條路徑，所以，根據(jù)加法原理，螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)&的最近路線共有N=2+2+2=6條.高三班有學(xué)生50人，男生30人，女生20人；高三 班有學(xué)生60人，男生30人，女生3 0人；高三 班有學(xué)生55人，男生35人，女生20人.（1）從高三（1）班或（2）班或（3）班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？（2）從高三（1）班、（2）班男生中，或從高三（3）班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長，有 多少種不同的選法？【解析】（1）完成這件事有三類方法：第一類，從高三（1）班任選一名學(xué)生共有50種選法；第二類，從高三（2）班任選一名學(xué)生共有60種選法；第三類，從

12、高三（3）班任選一名學(xué)生共有55種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，任選一名學(xué)生任校學(xué)生會(huì)主席共有50 + 60+ 55=165種選法（2）完成這件事有三類方法：第一類,從高三（1）班男生中任選名共有30種選法;第二-類,從高三班男生中任選名共有30種選法;第三類，從高三班女生中任選名共有20種選法綜上所述，共有30+ 30+20 = 80種選法.課堂練習(xí)1從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法種數(shù)為（）.A.1+1 + 1 = 3B. 3+4+2=9C. 3X4X2=24 D.以上都不對(duì)【答案】B2若三個(gè)

13、平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成（）.A.5部分B.6部分1+ 1 + 1+ 1+1 + 1 +仁7個(gè)部分（個(gè)部C.7部分D.8部分【解析】如圖所示，可知這三個(gè)平面把空間分成 分），故選C.3.8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠亞軍， 敗者角逐第3、4名，則大師賽共有場(chǎng)比賽【解析】每個(gè)小組賽有 6場(chǎng)比賽，兩個(gè)小組有6+6=12場(chǎng)比賽，半決賽和決賽共有 2+2=4 場(chǎng)比賽，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有12+4=16場(chǎng)比賽.【答案】164如右圖，電路中共有3個(gè)電阻與一

14、個(gè)電燈 A，若燈A不亮，分析因電阻斷路的可能性共 有多少種情況【解析】每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，燈A不亮可按以下三種情形分類討論 ：(1)1個(gè)電阻斷路時(shí)只有1種情況：R3斷路；(2)2個(gè)電阻斷路時(shí)有3種情況：尺和R2,尺和R3，R2和R3 斷路；(3)3個(gè)電阻斷路時(shí)只有1種情況：R1、R2和R3斷路根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知燈 A不亮 的情況共有1 + 3+ 1 = 5種5. (2012年 四川卷)在方程ay=b2x2+c中，a、b 1、2、3，且a、b互不相同，在 所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有().A.4條B.6 條 C.7 條D.8 條【解析】由方程ay=b2x2+c變

15、形得x2=y-，則要表示拋物線，分b=1、2、3三種情況，當(dāng)b =1時(shí)，則a=2或3，分別對(duì)應(yīng)2條拋物線；同理當(dāng)b=2或3時(shí)，也分別對(duì)應(yīng)2條拋物線.綜上所述，共有不同的拋物線 2+ 2+2=6種.【答案】B課后練習(xí)1某省高中數(shù)學(xué)夏令營活動(dòng)定在首都北京舉行，路線方案：坐汽車有10個(gè)班次，列車5個(gè)班次，飛機(jī)2個(gè)航班，則到達(dá)首都的方法有()A.10 種B.7 種C.15 種D.17 種【解析】到達(dá)首都的方法可以分三類，共有10 + 5+2=17種【答案】D2件工作可以用2種方法完成，有3人會(huì)用第1種方法完成，另外5人會(huì)用第2種方法完 成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是（）A.8B.15

16、C.16D.30【解析】若工作用第1種方法完成，有3種不同選法；若工作用第2種方法完成，有5種不 同選法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同選法的種數(shù)為N=3+5=8.【答案】A3如圖，在城市中，M、N兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從 M到N不同的走法共有種【解析】第一次向北走出現(xiàn)在第1步時(shí)，有5種走法；第一次向北走出現(xiàn)在第 2步時(shí)，有4 種走法；第一次向北走出現(xiàn)在第3步時(shí)，有3種走法；第一次向北走出現(xiàn)在第 4步時(shí)，有2種走 法；第一次向北走出現(xiàn)在第 5步時(shí)，只有1種走法；綜上，一共有 5+4+3+2+仁15種走法【答案】154三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三

17、角形的個(gè)數(shù)是多少？【解析】設(shè)較小的兩邊分別長為x、y，且x號(hào)，則當(dāng) x= 1 時(shí)，y=11 ；當(dāng) x=2 時(shí)，y= 10, 11 ；當(dāng) x= 3 時(shí)，y=9, 10, 11；當(dāng) x=4 時(shí)，y= 8, 9, 1 0, 11 ；當(dāng) x=5 時(shí)，y=7, 8, 9, 10, 11 ；當(dāng) x= 6 時(shí)，y=6, 7, 8, 9, 10, 11 ；當(dāng) x=7 時(shí)，y=7, 8, 9, 10, 11；當(dāng)x=11時(shí)，y=11.所以不同三角形的個(gè)數(shù)為 1+2+3+ 4+5+6+5+4+3+2+1 = 36.5在1, 2, 3,，200中，能被5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)是 （）A.20 B40C50 D.80【解析】分

18、二類，一類是末位數(shù)為0的數(shù)，分別為10, 20,，200共20個(gè)；另一類是末位數(shù)為5的數(shù)，分別為5, 15,，195，共20個(gè).根據(jù)加法原理，共有20 + 20=40個(gè)【答案】B6從集合1 , 2, 3,，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣 的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【解析】以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1 , 2, 4； 1 , 3, 9;以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2, 4, 8； 以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4, 6, 9,共4個(gè)把這四個(gè)數(shù)列順序顛倒，又得到4個(gè)數(shù)列，故所求數(shù)列有8個(gè)選D【答案】D7已知集合M=1 , -2, 3, N=-4, 5, 6,-7，從M , N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分 別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、 縱坐標(biāo)， 則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、 第二象限內(nèi)不同的 點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.【解析】分兩類：第一類，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，有 2X2=4個(gè)；第二類，第二象限內(nèi)的點(diǎn)，有 1X2=2個(gè)故不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有4+2=6個(gè).【答案】 68從1到20這20個(gè)正整數(shù)中，每次取 3個(gè)，它們可以組成多少組不同的等差數(shù)列？【解