專(zhuān)題復(fù)習(xí)(六)

1、專(zhuān)題復(fù)習(xí)（六）求最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題在四川省的中考中出現(xiàn)的頻率很高，這類(lèi)問(wèn)題一般與垂 線(xiàn)段最短、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短關(guān)系密切.類(lèi)型1利用“垂線(xiàn)段最短”求最短路徑問(wèn)題EH如圖所示，是一條河流，要鋪設(shè)管道將河水引到C, D兩個(gè)用水點(diǎn)，現(xiàn)有兩種鋪設(shè)管道的方案. 方案一：分別過(guò)C D作的垂線(xiàn)，垂足分別為E F,沿，鋪設(shè)管道；方案二：連接交于點(diǎn)P,沿、鋪設(shè)管道.問(wèn)：這兩種鋪設(shè)管道的方案中哪一種更節(jié)省材料，為什么？【思路點(diǎn)撥】方案一管道長(zhǎng)為+,方案二管道長(zhǎng)為+,利用垂線(xiàn)段最短即可比較出大小.【解答】按方案一鋪設(shè)管道更節(jié)省材料.理由如下：丄，丄，而與不垂直，二根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”，可知v,v,.+v + ,沿

2、、鋪設(shè)管道更節(jié)省材料.本題易錯(cuò)誤的利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決，解答時(shí)需要準(zhǔn)確識(shí)圖，找 到圖形對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn).1. （2015 保定一模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1, 0），點(diǎn)B（a , a），當(dāng)線(xiàn)段最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. （0 ， 0）B. （，-）C （ 一，一 ）D.（-,-）2. （2015 杭州模擬）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P落在直線(xiàn)x 2y + 6= 0上，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）B. 33. （2013 內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn) A（13 ,0），直線(xiàn)y= 3k + 4與00交于B、C兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)的最小值為.4. （2015 碑林區(qū)期中）如圖，平原上有

3、 A, B, C, D四個(gè)村莊，為解決當(dāng) 地缺水問(wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池.（1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫(huà)圖確定蓄水池 H點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最?。?2) 計(jì)劃把河水引入蓄水池 H 中，怎樣開(kāi)渠最短并說(shuō)明根據(jù)類(lèi)型2利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”求最短路徑問(wèn)題（2015 樂(lè)陵模擬）（1）如圖1，直線(xiàn)同側(cè)有兩點(diǎn)A, B,在直線(xiàn)上求一點(diǎn)C,使它到A B之和最??；（保留作圖痕跡不寫(xiě)作法）（2）知識(shí)拓展：如圖2,點(diǎn)P在/內(nèi)部，試在、上分別找出兩點(diǎn)E、F,使周長(zhǎng)最短；（保留作圖痕跡不寫(xiě)作法）（3）解決問(wèn)題：如圖3,在五邊形中，在，上分別找一點(diǎn) M N使得 周長(zhǎng)最小；（保留作圖痕跡不寫(xiě)作法）若/=

4、 125,/ B=Z E= 90,=,=,/ + / 的度數(shù)為.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，作A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E, 連接交直線(xiàn)于C,即可解決；（2）作P關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D,連接交、于E、F,此時(shí)周長(zhǎng)有最小 值；（3）取點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q連接與相交于點(diǎn) M 與相交于點(diǎn)N,的長(zhǎng)度即為的周長(zhǎng)最小值；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180求出/ P+/ Q再根據(jù)三角形的外角以及三角形內(nèi)角和知識(shí)運(yùn)用整體思想解決.【解答】（1）作A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E ,連接交直線(xiàn)于C,連接，則此時(shí)C點(diǎn)符合要求.A方形內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)上有一點(diǎn)P,使+最小，則這個(gè)最小值為（）M I /C N z圖1作圖如

5、圖.（3）作圖如圖./= 125,/ P+Z Q= 180 125= 55/ P+Z = 2Z P,Z = Z Q+Z = 2Z Q.Z + Z= 2（ Z P+Z Q）= 2X 55= 110 .“兩點(diǎn)（直線(xiàn)同側(cè)）一線(xiàn)型”在直線(xiàn)上求一點(diǎn)到兩點(diǎn)的和最短時(shí)，利用 軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)作一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)與直線(xiàn)的交 點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；“一點(diǎn)兩線(xiàn)型”求三角形周長(zhǎng)最短問(wèn)題，作點(diǎn)關(guān)于兩直 線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與兩直線(xiàn)分別有兩個(gè)交點(diǎn)，順次連接所給的 點(diǎn)與兩交點(diǎn)即可得三角形；“兩點(diǎn)兩線(xiàn)型”求四邊形的周長(zhǎng)最短類(lèi)比 “一點(diǎn) 兩線(xiàn)型”即可.I針對(duì)訓(xùn)練I1. （2015 內(nèi)江）如圖，正方形的面積為

6、 12, 是等邊三角形，點(diǎn)E在正C. 2B. 22. （2015 遵義）如圖，在四邊形中，/ C= 50,/ B=Z 90, E、F分別是、上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，/的度數(shù)為（）A. 50B. 60C. 70D. 803. （2015 攀枝花）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，D為的中點(diǎn)，E是邊上 一點(diǎn)，則+的最小值為.AB D C4. （2015 鄂州）如圖，/= 30,點(diǎn) M N分別是射線(xiàn)、上的動(dòng)點(diǎn)，平分/,且=6,當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的面積為.5. （2015 涼山）菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示， 頂點(diǎn)B（2 , 0）, / = 60,點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E（0 , - 1），

7、當(dāng)+最短時(shí)，點(diǎn)P的坐 標(biāo)為.6. （2015 廣元改編）如圖，已知拋物線(xiàn) y = （x + 2）（x -m）（m0）與x軸相交于點(diǎn)A, B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).(1) 若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)G(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值;(2) 在(1)的條件下，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)H,使+最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo).7. (2015 成都改編)如圖，一次函數(shù) y= x + 4的圖象與反比例 y = (k 為常數(shù)，且kz0)的圖象交于A, B兩點(diǎn).在x軸上找一點(diǎn)P,使+的值最 小，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).8. 如圖所示，已知點(diǎn) A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是的中點(diǎn)，P是直徑上的 一動(dòng)點(diǎn)，O O的半徑為1,請(qǐng)

8、問(wèn)：P在上什么位置時(shí)，+的值最小？并給出 +的最小值.9. (2015 達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸的正半 軸上，在x軸的正半軸上，/的平分線(xiàn)交于點(diǎn) D, E為的中點(diǎn)，已知 A(0 , 4)、C(5, 0)，二次函數(shù)y = x2+ + c的圖象拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò) A, C兩點(diǎn).(1) 求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2) F、G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接 D E、F、G構(gòu)成四邊形, 求四邊形周長(zhǎng)的最小值；(3) 拋物線(xiàn)上是否在點(diǎn)P,使的面積為12?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案類(lèi)型1利用“垂線(xiàn)段最短”求最短路徑問(wèn)題1. D 23. 24 提示：直線(xiàn) y =-3

9、k + 4 必過(guò)點(diǎn) D(3, 4),二當(dāng)過(guò)點(diǎn)D且丄時(shí)最小.點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(3 , 4)，二=5. v = = 13,二根據(jù)勾股定理可得=12. 的長(zhǎng)的最小值為24.4. (1) v兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，連接，交于H,則H為蓄水池位置，它到四個(gè)村莊距離之和最小.(2)過(guò)H作丄，垂足為G.則沿開(kāi)渠最短，根據(jù)垂線(xiàn)段最短.類(lèi)型2利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”求最短路徑問(wèn)題1. B 23提示：作B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,連接、B D,交于E,此時(shí)+= B E+ = B D,根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知 BD就是+的最小 值，v B、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)，、互相垂直平分.四邊形是平行四邊形./ 三角形是邊長(zhǎng)為2,v D為的中點(diǎn)，丄.

10、= ,= 1,= 2= 2,作B G丄的延長(zhǎng)線(xiàn)于B G= = ,在厶 B中,=3. . = = 3 1 = 2.在AB中，B D= = =.故+的最小值為.4. 36 54 5. (2 3, 2 )6. (1)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn) G(2, 2)時(shí)，一(2 + 2)(2 m) = 2, 即卩 m= 4. V m 4,二 y = - (x + 2)(x - 4).令 y = 0,則(x + 2)(x - 4) = 0，解 得 Xi= 2, X2 = 4.-A( 2, 0) , B(4, 0).二拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = 1.令x = 0,則y = 2,-C(0, 2).VB點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，二連接，

11、與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)便為所求點(diǎn) H.V B(4, 0) , C(0, 2),二求得線(xiàn)段所在直線(xiàn)為y =- x + 2.當(dāng)x= 1時(shí)，y =,-H(1 ,).7. 聯(lián)立解得或 A(1 , 3) , B(3, 1) . B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(3 , - 1), 連接交x軸于點(diǎn)P,連接.設(shè)直線(xiàn)為y =+ b,聯(lián)立得解得二 y =- 2x + 5.令 y = 0, 得 x =. Pf ( , 0).即滿(mǎn)足條件的P的坐標(biāo)為(，0).8. 作A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，則A必在圓上，連接交于P,連接，則+最小，此時(shí)+ =+ = A B.連接、，：=,./ = / A = 605./ = /= 30

12、 . A = 90.A B= = = ,即+的最小值是.9. (1)將A(0, 4)、C(5, 0)代入二次函數(shù)y = x2 + c,得解得二二次函數(shù)的表達(dá)式 y = x2 x + 4.延長(zhǎng)至E,使 E C=，延長(zhǎng)至 D ,使 D A=，連接 D E,交x 軸于F點(diǎn)，交y軸于G點(diǎn)，連接，=,=E F,( + + + )最小=D E+,由 E 點(diǎn)坐標(biāo)為(5 , 2) , D(4, 4)，得 D ( 4, 4) , E (5 , 2).由勾股 定理，得=,D E，= 3,. ( +I+ )最小 = D E+= 3+,即四邊形周長(zhǎng)的最小值為3+ .(3) 如下圖：=4.Sa = 12.點(diǎn)P到的距離=3.過(guò)點(diǎn)O作丄，取=3，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)/,交y軸于G點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1,AP2,刁在中，=6.二直線(xiàn)的解析式為y = x 6將y = x- 6代入y = x2 x + 4得:+ 4.2x 6= x x解得 xi =, X2=.將 xi, X2 的值代入 y = x 6 得：yi =, y2=.二點(diǎn) Pi(, ), R(, ) 過(guò)點(diǎn)o作丄，取=3,=6.x + 6= x2 xy2 = X2 + 6 =或(001),8),過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)，交y軸于G點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于Ps, P4,