常見恒成立問題的解決辦法

1、常見 “恒成立問題” 的解決辦法在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立問題這類問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)下面本人就高考中常出現(xiàn)的恒成立問題談一談自己的解法一 變量分離法變量分離法主要通過兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”思路1、 思路2、例1已知函數(shù)f(x)2x若不等式2t f(2t)+m f(t)0對于t1,2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：本題可通過變量分離來解決當(dāng)時(shí)，即，故的取值范圍是例2設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任

2、意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)有意義，求a的取值范圍解：本題即為對于，有恒成立這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)于是有的最大值為，從而可得如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值二 賦值法利用特殊值求解等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題

3、能很快求得.例3由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D例4如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化

4、思想.三 構(gòu)造函數(shù)法1、一次函數(shù)型若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于 同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0， 則有 例5對于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+

5、x2-2x+1>0在|a|2時(shí)恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.2、二次函數(shù)型若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)大于0恒成立，則有；若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識求解例6 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且注意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)恒成立，所以 當(dāng)此時(shí)當(dāng)有綜

6、上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，例7.已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：要使時(shí)，恒成立，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值為.當(dāng)，即時(shí)， 又 不存在.當(dāng)，即時(shí)， 又 當(dāng)，即時(shí)， 又 綜上所述，.對于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法（如例6），而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題（如例7）四 數(shù)形結(jié)合法若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果例8.設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍 解：若設(shè)，則為上半圓設(shè)，為過原點(diǎn)，a為斜率的直線在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象，依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍為利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.五 換元引參法例9.對于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍 解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組： 解得，即有，易得通過換元引參，把把問題變成熟悉的二次函數(shù)問題，使問題迎刃而解六變更主元法例10.若對于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍 解：此題一