Monte Carlo模擬法與基坑變形的可靠度分析

1、Monte Carlo模擬法與基坑變形的可靠度分析Monte, 基坑, 模擬法, Carlo將Monte Carlo模擬法與有限元技術(shù)結(jié)合，對基坑變形的穩(wěn)定性進行可靠度分析，并通過重構(gòu)響應面來提高Monte Carlo模擬法的計算效率。研究表明該方法可行，計算結(jié)果較符合實際。關(guān)鍵詞 基坑 ； Monte Carlo模擬 ； 響應面 ； 有限元分類號 TU 433Monte Carlo Simulation and Reliability Analysison the Deformation of Foundation PitYang Linde Xu Chao(Geotechnical Dep

2、artment,Tongji University, Shanghai 200092)Abstract Combining Monte Carlo simulation with finite element method, this paper gives a way to analyze the probability of the deformation stability of foundation pit. Response surface method is employed to improve the calculation efficiency of direct Monte

3、 Carlo simulationtechnique. The application shows that the calculation results could be in accordance with the actual situation.table/tableKey words foundation pit, Monte Carlo simulation, response surface, finite element method1 引言巖土工程問題的可靠度分析通常采用近似概率方法。由于基本變量之間的相關(guān)性及功能函數(shù)的非線性特征，這類問題常很復雜，而當極限狀態(tài)方程中個別不

4、確定性變量無法用顯式表達時，難度將更大。典型情況有： 極限狀態(tài)方程表達式中包含多個相關(guān)基本變量的非線性函數(shù)時，系統(tǒng)失效概率的計算；不存在閉合形式的極限狀態(tài)方程時可靠度的計算。在這些情況下，Monte Carlo模擬法(或稱統(tǒng)計試驗法)將有助于給出較好的近似答案。2 Monte Carlo模擬法的基本原理Monte Carlo模擬法可用于分析確定性問題和隨機問題。采用這種方法分析隨機問題時，工作內(nèi)容可概括為：產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)，并根據(jù)基本變量的概型進行隨機抽樣；進行模擬計算并對結(jié)果進行統(tǒng)計，給出問題的解和精度估計。2.1 隨機抽樣方法先產(chǎn)生(0，1)區(qū)間上均勻分布隨機數(shù)?？刹捎玫姆椒ㄓ谐送喾?/p>

5、、混合同余法等2，其中混合同余法的遞推公式為式中 ,x0,C和M為選定的常數(shù)。公式表示xi-1 C除以M的余數(shù)為xi，將其再除以M即得(0，1)上均勻分布隨機數(shù)ri。將ri轉(zhuǎn)換為(a,b)區(qū)間上的均勻分布隨機數(shù)Ri的計算公式為Ri=a (b-a)ri (2)為將均勻分布隨機數(shù)ri轉(zhuǎn)換為符合某一指定概率分布的隨機數(shù)，作者采用了反函數(shù)法，其前提是經(jīng)驗分布的反函數(shù)存在。設X為具有分布函數(shù)FX(x)，且反函數(shù)F-1X(x)存在的連續(xù)隨機變量，r是均勻分布隨機變量R(分布函數(shù)為FR(r)的值。若給定累積概率FX(x)=r，則有x=F-1X(r) (3)若已得(0，1)上的均勻分布隨機數(shù)序列ri，則可得到

6、符合FX(x)的隨機數(shù)序列：xi=FX-1(ri) (i,1,2,n) (4)2.2 Monte Carlo模擬法的基本步驟將Monte Carlo模擬法與有限元法相結(jié)合，用以分析不確定性問題的一般步驟為：(1) 建立有限元分析的確定性模型，并編制相應程序。(2) 統(tǒng)計確定與可靠度分析有關(guān)的各基本變量(如材料參數(shù)、荷載等)的概率分布模型及其分布參數(shù)。(3) 對所有基本變量按統(tǒng)計特征進行第一次隨機采樣，并將采樣結(jié)果作為有限元分析的已知參數(shù)輸入確定性計算模型(程序)，獲得響應特征量的第一個仿真結(jié)果。(4) 重復n次獨立隨機采樣，并進行n次有限元計算，得到響應特征量的一個容量為n的仿真樣本。(5)

7、根據(jù)已有經(jīng)驗和仿真樣本，采用統(tǒng)計推斷方法確定響應特征量的分布模型及其分布參數(shù)。(6) 將所得的響應特征參數(shù)作為基本變量代入相應的極限狀態(tài)方程式，可采用近似概率方法估算失效概率。2.3 Monte Carlo模擬法的結(jié)果與精度在工程可靠度分析中，設極限狀態(tài)方程式為Z=g(x,，xn)，其失效概率為Pf=P(g(x1,，xn)0) (5)借助隨機抽樣對基本變量賦值時，計算結(jié)果只有g(shù)(。)0和g(。)0兩種可能，故可定義指標函數(shù)：并可將由Monte Carlo模擬法得到的失效概率表達為Pf的估計：table/table式中Nf為N次模擬計算中g(shù)(。)0的總次數(shù)。Monte Carlo模擬法不僅可按式

8、(7)計算失效概率，還可根據(jù)模擬計算結(jié)果擬合出功能函數(shù)的分布形式，據(jù)以估計其一、二階矩計算可靠度指標:=z/z (8) z和2z,及按下式近似Monte Carlo模擬法的誤差一般可用z表示。功能函數(shù)值Z越離散，誤差將越大。當模擬次數(shù)充分大時，已經(jīng)證明3由模擬結(jié)果樣本求得的估計值的標準差與模擬次數(shù)的平方根成反比。因此，加大模擬次數(shù)可望提高模擬精度。根據(jù)經(jīng)驗，一般模擬次數(shù)N5 000次時，已能基本滿足精度要求。3 系統(tǒng)響應面的重構(gòu)運用Monte Carlo模擬法分析某一失效模式的失效概率時，達到某一精度所需的模擬次數(shù)，即Monte Carlo模擬法的計算效率，令人關(guān)注。目前，可靠性學科的努力趨勢

9、之一，是通過改進隨機抽樣技術(shù)和統(tǒng)計推斷技術(shù)以提高Monte Carlo模擬法的計算效率。作者擬運用重構(gòu)響應面(Response Surface,簡稱RS)的方法，以減少有限元計算次數(shù)，其特點是通過對有限元分析的響應特征量進行重構(gòu)，用重構(gòu)的RS代替系統(tǒng)的真實響應面，以達到提高計算效率的目的。文中擬采用回歸分析方法重建RS4，并采用內(nèi)插或外推法逼近設計點。 設g(為有限元分析所涉及的基本隨機變量向量，系統(tǒng)的真實響應面為()為真實響應面的近似函數(shù)。Bucher(1990)5采用多項式函)，而數(shù)表示RS，即式中Xi(i=1,2,m)表示X?中的第i個變量，a,bi，ci(i=1,2,m)為可通過回歸分

10、析確定的待定系數(shù)。多項式的內(nèi)插或外推系利用基本變量的均值和標準差，通過擴大抽樣點的搜索范圍以改進息(i和()。具體作法為利用已建立的()和已知基本變量統(tǒng)計信(D)的值后，沿M，即i)對失效模式的設計點D進行估計，得出的均值點到D的直線進行線性內(nèi)插或外推，得出新的抽樣中心點以M為中心在有限的區(qū)域內(nèi)再進行抽樣和模擬運算，重新確定式(9)中的待定系數(shù)，由此使新的抽樣點更靠近真實的響應面。4 計算實例以上海某重力式基坑支護工程為例，采用上述方法分析變形(墻頂位移)穩(wěn)定性問題。基坑平面形狀為多邊形，開挖深度為9.71 m，采用深層攪拌樁支護，樁長19.0 m，插入比近似為1.0。墻體寬8.7 m，墻體內(nèi)

11、外層均插入毛竹加強。有限元分析計算中，圍護結(jié)構(gòu)受力變形按二維平面應變問題分析，地層特性用彈塑性模型描述，屈服準則選用Durcker-prager準則。有限元分析的計算域、初始邊界條件和荷載等的處理與常規(guī)方法相同，并采用ALGOR FEAS(Super SAP91)通用軟件進行模擬計算。分析計算中采用的主要參數(shù)見表1，其中墻體特性參數(shù)取為定值，其余參數(shù)均視為服從正態(tài)分布的隨機變量。表1 有限元分析中主要參數(shù)及概率特征Table 1 Principal parameters and theirprobabilistic features used in FEM 土 體 參 數(shù) 墻體參數(shù) 地表荷 E

12、 kPa CkPa /弧度EkPa載qkPa 平均值 7 710 0.41 8.65 0.213 3 21 000 0.25 10.0 標準差 1 542 0.034 1.21 0.029 9 2.0 變異系數(shù) 0.20 0.08 0.14 0.14 0.2 模擬計算中，為全面反映各變量對圍護結(jié)構(gòu)變形的影響，引入了正交設計試驗方法4。根據(jù)模擬計算結(jié)果，由回歸分析法建立的墻頂位移的響應面()為上式的復相關(guān)系數(shù)=0.9774297，相對誤差為0.1302579。假設基坑圍護墻頂水平位移的允許值y0為墻體高度的1%1.5%，得y0=25 cm，則基坑位移控制失效的極限狀態(tài)方程式為 y0-()=0 (

13、12)table/table以驗算點法進行可靠度分析，可得設計點的估計：D=(9.9482,7486.116,0.4054078,8.64718,0.2132715)，與基本變量的均值點(見表1)比較，二者差別不大。由線性內(nèi)插得下一次模擬抽樣的中心點X?M，并以X?M為新的抽樣中心點，進行新的模擬運算，通過回歸分析重新建立墻頂位移的近似響應面為式(13)的復相關(guān)系數(shù)為0.97624，相對誤差為0.1244737。以式(13)的近似響應面代替基坑支護系統(tǒng)的真實響應面，按Monte Carlo模擬法的原理重復進行抽樣和模擬運算6000次。通過對運算結(jié)果進行統(tǒng)計分析，可得基坑墻頂不同位移值的保證率(

14、見表2)。表2還有進行1萬次抽樣與模擬運算的統(tǒng)計分析結(jié)果，可見二者已十分接近。實測結(jié)果表明，墻頂位移值為25.2 cm，而根據(jù)模擬計算結(jié)果的統(tǒng)計分析，墻頂位移超過25.0 cm的概率為53.88%，可見與實測值相比計算結(jié)果偏大。其原因是模擬計算中尚難考慮具體施工措施和現(xiàn)場條件的影響，如本實例中，坑內(nèi)土體注漿、基礎(chǔ)工程樁的存在、挖土順序及降水措施的影響等。如能根據(jù)工程實際情況適當調(diào)整表1所列的參數(shù)，采用這一方法可望得出更為合理的結(jié)果。 表2 模擬運算6 000次和10 000次的位移保證率統(tǒng)計表Table 2 Statistical table of assurance probability

15、of displacement with6000 and 10000 simulation calculation operations 墻頂位移 /cm 保 證 率 /% 墻 頂 位 移 /cm 保 證 率 /% 6000次 1000次 6000次 1000次 6000次 1000次 5.0 0.217 0.250 30.0 30.0 75.033 75.000 10.0 2.167 2.190 35.0 35.0 93.150 93.200 15.0 8.667 8.690 40.0 40.0 99.117 99.030 20.0 23.550 23.400 45.0 45.0 99.96

16、7 99.950 25.0 46.100 46.120 50.0 50.0 100.00 100.00 5研究表明：可采用Monte Carlo模擬法解決復雜的巖土工程可靠度分析問題；可采用重構(gòu)響應面的方法提高Monte Carlo模擬法的計算效率。 結(jié)束語計算結(jié)果與實測值相比偏大，是由于在計算中尚未兼容考慮現(xiàn)場實際條件的影響。在工程實踐中借助反分析方法1定量確定現(xiàn)場條件下施工措施對變形的影響，并與本文所述的方法相結(jié)合，將是一個新的研究方向。Monte Carlo模擬法與基坑變形的可靠度分析 國家自然科學基金資助課題(批準號： 59478043)。楊林德，男，58歲，教授，博導，長期從事地下結(jié)構(gòu)工程和巖土工程的理論研究與教學。 作者單位：(同濟大學地下建筑與工程系，上海 200092)參考文獻1 楊林德等. 巖土工程問題的反演理論與實踐. 北京：科學出版社，1996. 148155 2 黃克中等