反常積分的審斂法

1、第11章 反常積分§11. 1 反常積分的概念一基本內(nèi)容一、無窮限反常積分 定義1 設函數(shù)在上有定義，且在任意區(qū)間上可積，如果存在，則稱此極限為在上的反常積分，亦稱為在上的無窮限反常積分，簡稱無窮限積分，記作，此時并稱收斂如果極限不存在，則稱發(fā)散 同理可定義，幾何解釋如圖收斂是指圖中陰影區(qū)域的面積存在二、瑕積分 定義2 設函數(shù)在上有定義，且在點的任一右鄰域內(nèi)無界，而在上有界可積，如果存在，則稱此極限為無界函數(shù)在上的反常積分，記作，并稱收斂，否則稱其發(fā)散其中稱為瑕點無界函數(shù)的反常積分亦稱為瑕積分同理可得b為瑕點時，當?shù)蔫c，則定義若都是的瑕點，則定義二習題解答 討論下列無窮積分是否收斂

2、？若收斂，則求其值(1) ； 解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(2) ；解：由于而所以該反常積分收斂，且收斂于(3) ； 解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(4) ；解：由于所以該反常積分收斂，且收斂于(5) ； 解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(6) ；解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(7) ； 解：由于，所以該反常積分發(fā)散(8) 解：由于，所以該反常積分發(fā)散2 討論下列瑕積分是否收斂？若收斂，則求其值(1) ； 解：由于為瑕點，而，所以時，該瑕積分收斂，且值為；所以時，該瑕積分發(fā)散(2) ；解：由于為瑕點，而，所以該瑕積分發(fā)散(3) ； 解：由于為瑕點，而，同理，所以

3、該瑕積分收斂，且值為(4) ；解：由于為瑕點，而，所以該瑕積分收斂，且值為(5) ； 解：由于為瑕點，而，所以該瑕積分收斂，且值為(6) ；解：令，則，所以該瑕積分收斂，且值為(7) ； 解：令，則所以該瑕積分收斂，且值為(8) 解：由于，為瑕點，又，而時，時，時，所以，瑕積分發(fā)散3 舉例說明：瑕積分收斂時，不一定收斂解：例如收斂于，但發(fā)散4 舉例說明：積分收斂，且在上連續(xù)時，不一定有解：例如因令得所以收斂，且在上連續(xù)，但不存在5 證明：若收斂，且存在，則 證：假設，不妨設，因，所以，于是，從而此與收斂矛盾，故6 證明：若在上可導，且與都收斂，則 證：因為，所以由都收斂知存在，故由上一題知&#

4、167;11. 2 無窮限積分的性質與收斂判別一基本內(nèi)容一、無窮限積分的性質 由無窮限積分的定義知收斂存在；由極限的柯西收斂準則知存在定理1 收斂性質1 若都收斂，則，也收斂，且性質2 若在上可積，則，與同收同發(fā)，且性質3 若在上可積，則收斂收斂，且 定義1 如果收斂，則稱絕對收斂二、比較判別法 比較判別法僅應用于絕對收斂的判別 由于單調上升，所以，收斂有上界 定理2 若在上可積，且，則 收斂收斂；而 發(fā)散發(fā)散推論 (比較判別法的極限形式)若在上可積，且，則與同收同發(fā)；時，收斂收斂；時，發(fā)散發(fā)散當選用為比較“尺子”時，則得下面的柯西判別法定理3 (柯西判別法) 若在上可積，則，且時，收斂；，且

5、時，發(fā)散定理(柯西判別法的極限形式) 若在上可積，且，則，且時，收斂；，且時，發(fā)散三、狄立克雷判別法與阿貝爾判別法 此法是對一般無窮限積分的斂散性判別 定理4 (狄立克雷判別法) 若有界，在上單調，且，則收斂定理5 (阿貝爾判別法) 若收斂，在上單調有界，則收斂 二習題解答1 設與是定義在上的函數(shù)，與在上可積，證明：若與都收斂，則與亦收斂證：(1) 因為，從而，即故由判別式為負得即而，收斂，所以收斂又，所以收斂證：(2) 因為與都收斂，所以 收斂而，故絕對收斂，亦收斂又所以由四則運算知收斂2 設、是定義在上的三個連續(xù)函數(shù)，且，證明(1) 若，都收斂，則也收斂；證：因為，所以，而，都收斂，所以，

6、都存在，從而存在，故收斂(2) 若，則證：因為所以，于是由夾逼性定理得，故3 討論下列無窮限積分的收斂性：(1) ； 解：因為，而收斂，故收斂(2) ；解：因為，而收斂，故收斂(3) ； 解：因為，而發(fā)散，故發(fā)散(4) ；解：因為，而收斂，故收斂(5) ； 解：當時，發(fā)散，當時，收斂(6) 解：因為，所以當時，發(fā)散，當時，收斂4 討論下列無窮限積分絕對收斂還是條件收斂：(1) ； 解：因為，而發(fā)散，所以發(fā)散又，在時單調下降以零為極限，所以由狄氏判別法知收斂綜上可知條件收斂(2) ；解：因為，而收斂，所以絕對收斂(3) ； 解：因為，而在時單調下降以零為極限，所以由狄氏判別法知收斂又，而發(fā)散，收

7、斂，所以發(fā)散，綜上可知條件收斂(4) 解：因為,在時單調下降以零為極限，所以由狄氏判別法知收斂又，而 發(fā)散，收斂，所以條件收斂5 舉例說明，收斂時，不一定收斂；絕對收斂時，也不一定收斂證：例如，收斂，但發(fā)散又如，如圖則，所以收斂且為絕對收斂但發(fā)散6 證明：若絕對收斂，且，則必定收斂證：因為，所以，于是時，又收斂，就上述，取，則時，故收斂7 證明：若是上的單調函數(shù)，且收斂，則證：不妨設 ，則實因假設，則時，從而，即，此與收斂矛盾又由收斂得，而，所以時，于是，故8 證明：若在上一致連續(xù)，且收斂，則證：假設，則，因為在上一致連續(xù)，所以，從而于是，此與收斂矛盾，故9 利用狄利克雷判別法證明阿貝爾判別法

8、證：因為收斂，所以，即在上有界又單調有界，所以極限存在設，則，從而由狄氏差別法知收斂而故收斂§11. 3 瑕積分的性質與收斂判別一基本內(nèi)容一、瑕積分的性質 設a為瑕點，由瑕積分的定義知收斂存在，由極限的柯西收斂準則知存在定理1 收斂，性質1 設 a 為瑕點，若、都收斂，則，也收斂，且性質2 設a為瑕點，則，與同收同發(fā)，且收斂時，性質3 設 a 為瑕點，若在上可積，則收斂收斂，且 定義1 如果收斂，則稱絕對收斂 二、比較判別法 比較判別法僅應用于絕對收斂的判別 定理2 設a為瑕點，若在上可積，且，則 收斂收斂，而 發(fā)散發(fā)散推論(比較判別法的極限形式) 若在上可積，且，則(1) 時，與同

9、收同發(fā)；(2) 時，收斂收斂；(3) 時，發(fā)散發(fā)散 定理3 (柯西判別法) 若在上可積，則(1) 且時，收斂；(2) 且時，發(fā)散定理3 (柯西判別法的極限形式) 若在上可積，且，則(1) 且時，收斂；(2) 且時，發(fā)散二習題解答1 討論瑕積分的收斂性(1) ； 解：瑕點為改寫積分為因為發(fā)散，所以發(fā)散(2) ；解：瑕點為因為，而收斂，所以收斂(3) ； 解：瑕點為因為，而發(fā)散，所以發(fā)散(4) ；解：瑕點為而，又收斂，所以收斂(5) ； 解：瑕點為而，又發(fā)散，所以發(fā)散(6) ；解：瑕點為而，所以當，即時收斂；所以當，即時發(fā)散(7) ； 解：瑕點為而，所以當時，絕對收斂；又時，而發(fā)散，所以此時發(fā)散；

10、當時，條件收斂(8) 解：積分表為就，瑕點為，而，所以收斂；就，因，所以收斂綜上可知收斂2 計算下列瑕積分的值(1) ； 解：設，則，而，所以(2) 解：令，則，于是，于是，而，所以3 證明瑕積分收斂，且，(提示：利用，并將它們相加)證：瑕點為，而，所以收斂令知，于是而令得所以4 利用上題結果，證明(1) ；證：令，則，于是(2) 證：所以總練習題111 證明下列等式(1) ；證：令，則，于是，所以(2) 證：因為，所以為瑕點令，則，于是所以2 證明下列不等式(1)；證：為瑕點而，所以收斂又設，則，于是而，所以(2)證：因為，所以收斂而故結論成立3 計算下列反常積分的值(1) ； 解：所以為所

11、求(2) ；解：方法同上可得(3) ； 解：，就作變換，則，于是所以(4) 解：設，則，于是4 討論反常積分,取何值時絕對收斂， 取何值時條件收斂 解：，就，當時，為瑕點當時，而收斂，所以當時，絕對收斂當時，因為，而收斂，所以當時，絕對收斂當時，因為，而發(fā)散，所以當時，發(fā)散就，當時，發(fā)散當時，在上有界，單調以零為極限，由狄氏判別法知收斂而，所以發(fā)散，故條件收斂當時，因為，而收斂，所以當時，絕對收斂綜上可知，當時，或時，發(fā)散；當時，條件收斂；當時，絕對收斂5 證明：設在上連續(xù)，(1) 若，則；證：令，則，令，則，于是(積分中值定理,) 令得(2) 若收斂，則證：由(1)得因收斂，所以由柯西收斂準

12、則得，即故6 證明下述命題(1) 設，為上的非負連續(xù)函數(shù)若收斂，則也收斂 證：因為收斂，所以所以由柯西收斂準則得，而，于是亦有 故收斂 (2) 設，為上的連續(xù)可微函數(shù)，且當時，遞減地趨于0，則收斂的充要條件為收斂證：設收斂，因而(本章第二節(jié)第8題)所以收斂設收斂，則，因為遞減地趨于0，所以，于是由積分中值定理得，從而又，所以從而，故收斂反常積分無限區(qū)間上的積分或無界函數(shù)的積分，這兩類積分叫作廣義積分,又名反常積分. 1.無限區(qū)間上的積分 一般地，我們有下列定義 定義6.2 設函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，如果極限 （ ）存在，就稱上極限值為 在 上的廣義積分.記作 即 （ 6.24 ） 這時我們說廣義

13、積分 存在或收斂； 如果 不存在，就說 不存在、發(fā)散或不收斂. 類似地，可以定義 在 及 上的廣義積分. （ 6.25 ） 其中 （ 6.26 ） 對于廣義積分 ，其收斂的充要條件是： 與 都收斂. 廣義積分收斂時，具有常義積分的那些性質與積分方法，如換元法、分部積分法以及牛頓萊布尼茲公式等，但有時代數(shù)和運算要注意，不要隨便拆開.在用廣義的牛頓萊布尼茲公式時，無窮遠點應取極限. 為方便起見，引入記號 ， 這樣，若 為 的一個原函數(shù)，則 （ 其中 ） 注意：這里 與 是獨立變化的，不能合并成 . 2.無界函數(shù)的積分 先給出瑕點或奇點的概念，若 （或 ）時， ，則點 （或點 ）稱為無界函數(shù) 的瑕點

14、或奇點. 的無窮間斷點就是 的瑕點. 定義6.3設函數(shù) 在 上連續(xù)，左端點 為 的瑕點，如果 存在，就稱此極限值為無界函數(shù) 在 上的廣義積分.記作 （ 6.27 ） 這時我們說廣義積分 存在或收斂.如果 不存在，就說廣義積分 不存在、不收斂或發(fā)散. 注： 表明 從大于0的方向趨于0，已經(jīng)隱含了 . 類似地，設函數(shù) 在 上連續(xù)，右端點 為 的瑕點，如果 存在，就稱此極限值為無界函數(shù) 在 上的廣義積分.記作 （ 6.28 ） 這時我們說廣義積分 存在或收斂.如果 不存在，就說廣義積分 不存在、不收斂或發(fā)散. 還有，設函數(shù) 在 上連續(xù)，左端點 、右端點 均為 的瑕點，如果 及 均存在，其中 為 內(nèi)的

15、一個確定點，且 與 兩者之間是獨立變化的，就稱 存在或收斂，記作 如果 及 中至少有一個不存在，則稱 不存在、不收斂或發(fā)散. 對于區(qū)間端點 、 均為 的瑕點的廣義積分 有存在 和 均存在. 和 都存在. 其中 為 內(nèi)的一個確定點，且 與 兩者之間是獨立變化的， 另外，設函數(shù) 在 上除一個內(nèi)部點 外連續(xù) ，且內(nèi)部點 為 的瑕點，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 與 兩者之間是獨立變化的，就稱 存在或收斂，記作 （ 6.29 ） 如果 及 中至少有一個不存在，則稱 不存在、不收斂或發(fā)散. 對于內(nèi)部點 為 的瑕點的廣義積分 有 存在和 均存在.和 都存在. 廣義積分收斂時，具有常義積分的那些性質與積分方法，如換元法、分部積分法以及廣義牛頓萊布尼茲公式等，但有時代數(shù)和運算要注意，不要隨便拆開，參見例5與例6.在用廣義的牛頓萊布尼茲公式時，無界點處原函數(shù)應取極限. 為方便起見，引入記號 左端點為瑕點時，記 ，這時廣義的牛頓萊布尼茲公式為 右端點 為瑕點時， 記 ，這時