反常積分的審斂法

1、第11章 反常積分§11. 1 反常積分的概念一基本內(nèi)容一、無(wú)窮限反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)在上有定義，且在任意區(qū)間上可積，如果存在，則稱此極限為在上的反常積分，亦稱為在上的無(wú)窮限反常積分，簡(jiǎn)稱無(wú)窮限積分，記作，此時(shí)并稱收斂如果極限不存在，則稱發(fā)散 同理可定義，幾何解釋如圖收斂是指圖中陰影區(qū)域的面積存在二、瑕積分 定義2 設(shè)函數(shù)在上有定義，且在點(diǎn)的任一右鄰域內(nèi)無(wú)界，而在上有界可積，如果存在，則稱此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分，記作，并稱收斂，否則稱其發(fā)散其中稱為瑕點(diǎn)無(wú)界函數(shù)的反常積分亦稱為瑕積分同理可得b為瑕點(diǎn)時(shí)，當(dāng)?shù)蔫c(diǎn)，則定義若都是的瑕點(diǎn)，則定義二習(xí)題解答 討論下列無(wú)窮積分是否收斂

2、？若收斂，則求其值(1) ； 解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(2) ；解：由于而所以該反常積分收斂，且收斂于(3) ； 解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(4) ；解：由于所以該反常積分收斂，且收斂于(5) ； 解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(6) ；解：由于，所以該反常積分收斂，且收斂于(7) ； 解：由于，所以該反常積分發(fā)散(8) 解：由于，所以該反常積分發(fā)散2 討論下列瑕積分是否收斂？若收斂，則求其值(1) ； 解：由于為瑕點(diǎn)，而，所以時(shí)，該瑕積分收斂，且值為；所以時(shí)，該瑕積分發(fā)散(2) ；解：由于為瑕點(diǎn)，而，所以該瑕積分發(fā)散(3) ； 解：由于為瑕點(diǎn)，而，同理，所以

3、該瑕積分收斂，且值為(4) ；解：由于為瑕點(diǎn)，而，所以該瑕積分收斂，且值為(5) ； 解：由于為瑕點(diǎn)，而，所以該瑕積分收斂，且值為(6) ；解：令，則，所以該瑕積分收斂，且值為(7) ； 解：令，則所以該瑕積分收斂，且值為(8) 解：由于，為瑕點(diǎn)，又，而時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以，瑕積分發(fā)散3 舉例說(shuō)明：瑕積分收斂時(shí)，不一定收斂解：例如收斂于，但發(fā)散4 舉例說(shuō)明：積分收斂，且在上連續(xù)時(shí)，不一定有解：例如因令得所以收斂，且在上連續(xù)，但不存在5 證明：若收斂，且存在，則 證：假設(shè)，不妨設(shè)，因，所以，于是，從而此與收斂矛盾，故6 證明：若在上可導(dǎo)，且與都收斂，則 證：因?yàn)?，所以由都收斂知存在，故由上一題知&#

4、167;11. 2 無(wú)窮限積分的性質(zhì)與收斂判別一基本內(nèi)容一、無(wú)窮限積分的性質(zhì) 由無(wú)窮限積分的定義知收斂存在；由極限的柯西收斂準(zhǔn)則知存在定理1 收斂性質(zhì)1 若都收斂，則，也收斂，且性質(zhì)2 若在上可積，則，與同收同發(fā)，且性質(zhì)3 若在上可積，則收斂收斂，且 定義1 如果收斂，則稱絕對(duì)收斂二、比較判別法 比較判別法僅應(yīng)用于絕對(duì)收斂的判別 由于單調(diào)上升，所以，收斂有上界 定理2 若在上可積，且，則 收斂收斂；而 發(fā)散發(fā)散推論 (比較判別法的極限形式)若在上可積，且，則與同收同發(fā)；時(shí)，收斂收斂；時(shí)，發(fā)散發(fā)散當(dāng)選用為比較“尺子”時(shí)，則得下面的柯西判別法定理3 (柯西判別法) 若在上可積，則，且時(shí)，收斂；，且

5、時(shí)，發(fā)散定理(柯西判別法的極限形式) 若在上可積，且，則，且時(shí)，收斂；，且時(shí)，發(fā)散三、狄立克雷判別法與阿貝爾判別法 此法是對(duì)一般無(wú)窮限積分的斂散性判別 定理4 (狄立克雷判別法) 若有界，在上單調(diào)，且，則收斂定理5 (阿貝爾判別法) 若收斂，在上單調(diào)有界，則收斂 二習(xí)題解答1 設(shè)與是定義在上的函數(shù)，與在上可積，證明：若與都收斂，則與亦收斂證：(1) 因?yàn)椋瑥亩?，即故由判別式為負(fù)得即而，收斂，所以收斂又，所以收斂證：(2) 因?yàn)榕c都收斂，所以 收斂而，故絕對(duì)收斂，亦收斂又所以由四則運(yùn)算知收斂2 設(shè)、是定義在上的三個(gè)連續(xù)函數(shù)，且，證明(1) 若，都收斂，則也收斂；證：因?yàn)?，所以，而，都收斂，所以?/p>

6、都存在，從而存在，故收斂(2) 若，則證：因?yàn)樗?，于是由夾逼性定理得，故3 討論下列無(wú)窮限積分的收斂性：(1) ； 解：因?yàn)?，而收斂，故收?2) ；解：因?yàn)椋諗?，故收?3) ； 解：因?yàn)椋l(fā)散，故發(fā)散(4) ；解：因?yàn)?，而收斂，故收?5) ； 解：當(dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，收斂(6) 解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，收斂4 討論下列無(wú)窮限積分絕對(duì)收斂還是條件收斂：(1) ； 解：因?yàn)?，而發(fā)散，所以發(fā)散又，在時(shí)單調(diào)下降以零為極限，所以由狄氏判別法知收斂綜上可知條件收斂(2) ；解：因?yàn)?，而收斂，所以絕對(duì)收斂(3) ； 解：因?yàn)椋跁r(shí)單調(diào)下降以零為極限，所以由狄氏判別法知收斂又，而發(fā)散，收

7、斂，所以發(fā)散，綜上可知條件收斂(4) 解：因?yàn)?在時(shí)單調(diào)下降以零為極限，所以由狄氏判別法知收斂又，而 發(fā)散，收斂，所以條件收斂5 舉例說(shuō)明，收斂時(shí)，不一定收斂；絕對(duì)收斂時(shí)，也不一定收斂證：例如，收斂，但發(fā)散又如，如圖則，所以收斂且為絕對(duì)收斂但發(fā)散6 證明：若絕對(duì)收斂，且，則必定收斂證：因?yàn)?，所以，于是時(shí)，又收斂，就上述，取，則時(shí)，故收斂7 證明：若是上的單調(diào)函數(shù)，且收斂，則證：不妨設(shè) ，則實(shí)因假設(shè)，則時(shí)，從而，即，此與收斂矛盾又由收斂得，而，所以時(shí)，于是，故8 證明：若在上一致連續(xù)，且收斂，則證：假設(shè)，則，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以，從而于是，此與收斂矛盾，故9 利用狄利克雷判別法證明阿貝爾判別法

8、證：因?yàn)槭諗浚?，即在上有界又單調(diào)有界，所以極限存在設(shè)，則，從而由狄氏差別法知收斂而故收斂§11. 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別一基本內(nèi)容一、瑕積分的性質(zhì) 設(shè)a為瑕點(diǎn)，由瑕積分的定義知收斂存在，由極限的柯西收斂準(zhǔn)則知存在定理1 收斂，性質(zhì)1 設(shè) a 為瑕點(diǎn)，若、都收斂，則，也收斂，且性質(zhì)2 設(shè)a為瑕點(diǎn)，則，與同收同發(fā)，且收斂時(shí)，性質(zhì)3 設(shè) a 為瑕點(diǎn)，若在上可積，則收斂收斂，且 定義1 如果收斂，則稱絕對(duì)收斂 二、比較判別法 比較判別法僅應(yīng)用于絕對(duì)收斂的判別 定理2 設(shè)a為瑕點(diǎn)，若在上可積，且，則 收斂收斂，而 發(fā)散發(fā)散推論(比較判別法的極限形式) 若在上可積，且，則(1) 時(shí)，與同

9、收同發(fā)；(2) 時(shí)，收斂收斂；(3) 時(shí)，發(fā)散發(fā)散 定理3 (柯西判別法) 若在上可積，則(1) 且時(shí)，收斂；(2) 且時(shí)，發(fā)散定理3 (柯西判別法的極限形式) 若在上可積，且，則(1) 且時(shí)，收斂；(2) 且時(shí)，發(fā)散二習(xí)題解答1 討論瑕積分的收斂性(1) ； 解：瑕點(diǎn)為改寫(xiě)積分為因?yàn)榘l(fā)散，所以發(fā)散(2) ；解：瑕點(diǎn)為因?yàn)椋諗?，所以收?3) ； 解：瑕點(diǎn)為因?yàn)?，而發(fā)散，所以發(fā)散(4) ；解：瑕點(diǎn)為而，又收斂，所以收斂(5) ； 解：瑕點(diǎn)為而，又發(fā)散，所以發(fā)散(6) ；解：瑕點(diǎn)為而，所以當(dāng)，即時(shí)收斂；所以當(dāng)，即時(shí)發(fā)散(7) ； 解：瑕點(diǎn)為而，所以當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；又時(shí)，而發(fā)散，所以此時(shí)發(fā)散；

10、當(dāng)時(shí)，條件收斂(8) 解：積分表為就，瑕點(diǎn)為，而，所以收斂；就，因，所以收斂綜上可知收斂2 計(jì)算下列瑕積分的值(1) ； 解：設(shè)，則，而，所以(2) 解：令，則，于是，于是，而，所以3 證明瑕積分收斂，且，(提示：利用，并將它們相加)證：瑕點(diǎn)為，而，所以收斂令知，于是而令得所以4 利用上題結(jié)果，證明(1) ；證：令，則，于是(2) 證：所以總練習(xí)題111 證明下列等式(1) ；證：令，則，于是，所以(2) 證：因?yàn)?，所以為瑕點(diǎn)令，則，于是所以2 證明下列不等式(1)；證：為瑕點(diǎn)而，所以收斂又設(shè)，則，于是而，所以(2)證：因?yàn)?，所以收斂而故結(jié)論成立3 計(jì)算下列反常積分的值(1) ； 解：所以為所

11、求(2) ；解：方法同上可得(3) ； 解：，就作變換，則，于是所以(4) 解：設(shè)，則，于是4 討論反常積分,取何值時(shí)絕對(duì)收斂， 取何值時(shí)條件收斂 解：，就，當(dāng)時(shí)，為瑕點(diǎn)當(dāng)時(shí)，而收斂，所以當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋諗?，所以?dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而發(fā)散，所以當(dāng)時(shí)，發(fā)散就，當(dāng)時(shí)，發(fā)散當(dāng)時(shí)，在上有界，單調(diào)以零為極限，由狄氏判別法知收斂而，所以發(fā)散，故條件收斂當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而收斂，所以?dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂綜上可知，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，條件收斂；當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂5 證明：設(shè)在上連續(xù)，(1) 若，則；證：令，則，令，則，于是(積分中值定理,) 令得(2) 若收斂，則證：由(1)得因收斂，所以由柯西收斂準(zhǔn)

12、則得，即故6 證明下述命題(1) 設(shè)，為上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)若收斂，則也收斂 證：因?yàn)槭諗?，所以所以由柯西收斂?zhǔn)則得，而，于是亦有 故收斂 (2) 設(shè)，為上的連續(xù)可微函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，遞減地趨于0，則收斂的充要條件為收斂證：設(shè)收斂，因而(本章第二節(jié)第8題)所以收斂設(shè)收斂，則，因?yàn)檫f減地趨于0，所以，于是由積分中值定理得，從而又，所以從而，故收斂反常積分無(wú)限區(qū)間上的積分或無(wú)界函數(shù)的積分，這兩類積分叫作廣義積分,又名反常積分. 1.無(wú)限區(qū)間上的積分 一般地，我們有下列定義 定義6.2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，如果極限 （ ）存在，就稱上極限值為 在 上的廣義積分.記作 即 （ 6.24 ） 這時(shí)我們說(shuō)廣義

13、積分 存在或收斂； 如果 不存在，就說(shuō) 不存在、發(fā)散或不收斂. 類似地，可以定義 在 及 上的廣義積分. （ 6.25 ） 其中 （ 6.26 ） 對(duì)于廣義積分 ，其收斂的充要條件是： 與 都收斂. 廣義積分收斂時(shí)，具有常義積分的那些性質(zhì)與積分方法，如換元法、分部積分法以及牛頓萊布尼茲公式等，但有時(shí)代數(shù)和運(yùn)算要注意，不要隨便拆開(kāi).在用廣義的牛頓萊布尼茲公式時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)取極限. 為方便起見(jiàn)，引入記號(hào) ， 這樣，若 為 的一個(gè)原函數(shù)，則 （ 其中 ） 注意：這里 與 是獨(dú)立變化的，不能合并成 . 2.無(wú)界函數(shù)的積分 先給出瑕點(diǎn)或奇點(diǎn)的概念，若 （或 ）時(shí)， ，則點(diǎn) （或點(diǎn) ）稱為無(wú)界函數(shù) 的瑕點(diǎn)

14、或奇點(diǎn). 的無(wú)窮間斷點(diǎn)就是 的瑕點(diǎn). 定義6.3設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，左端點(diǎn) 為 的瑕點(diǎn)，如果 存在，就稱此極限值為無(wú)界函數(shù) 在 上的廣義積分.記作 （ 6.27 ） 這時(shí)我們說(shuō)廣義積分 存在或收斂.如果 不存在，就說(shuō)廣義積分 不存在、不收斂或發(fā)散. 注： 表明 從大于0的方向趨于0，已經(jīng)隱含了 . 類似地，設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，右端點(diǎn) 為 的瑕點(diǎn)，如果 存在，就稱此極限值為無(wú)界函數(shù) 在 上的廣義積分.記作 （ 6.28 ） 這時(shí)我們說(shuō)廣義積分 存在或收斂.如果 不存在，就說(shuō)廣義積分 不存在、不收斂或發(fā)散. 還有，設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，左端點(diǎn) 、右端點(diǎn) 均為 的瑕點(diǎn)，如果 及 均存在，其中 為 內(nèi)的

15、一個(gè)確定點(diǎn)，且 與 兩者之間是獨(dú)立變化的，就稱 存在或收斂，記作 如果 及 中至少有一個(gè)不存在，則稱 不存在、不收斂或發(fā)散. 對(duì)于區(qū)間端點(diǎn) 、 均為 的瑕點(diǎn)的廣義積分 有存在 和 均存在. 和 都存在. 其中 為 內(nèi)的一個(gè)確定點(diǎn)，且 與 兩者之間是獨(dú)立變化的， 另外，設(shè)函數(shù) 在 上除一個(gè)內(nèi)部點(diǎn) 外連續(xù) ，且內(nèi)部點(diǎn) 為 的瑕點(diǎn)，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 與 兩者之間是獨(dú)立變化的，就稱 存在或收斂，記作 （ 6.29 ） 如果 及 中至少有一個(gè)不存在，則稱 不存在、不收斂或發(fā)散. 對(duì)于內(nèi)部點(diǎn) 為 的瑕點(diǎn)的廣義積分 有 存在和 均存在.和 都存在. 廣義積分收斂時(shí)，具有常義積分的那些性質(zhì)與積分方法，如換元法、分部積分法以及廣義牛頓萊布尼茲公式等，但有時(shí)代數(shù)和運(yùn)算要注意，不要隨便拆開(kāi)，參見(jiàn)例5與例6.在用廣義的牛頓萊布尼茲公式時(shí)，無(wú)界點(diǎn)處原函數(shù)應(yīng)取極限. 為方便起見(jiàn)，引入記號(hào) 左端點(diǎn)為瑕點(diǎn)時(shí)，記 ，這時(shí)廣義的牛頓萊布尼茲公式為 右端點(diǎn) 為瑕點(diǎn)時(shí)， 記 ，這時(shí)