微分方程和差分方程

1、第一章 線性微分方程在講這部分之前，我們先來看一個非常熟悉的物理問題。一個一維粒子，初始時刻處于點(diǎn)，初始速度為，受到阻尼作用，求該粒子的運(yùn)動軌跡。解：用表示粒子在任意時刻的位置，根據(jù)牛頓第二定律，有對于阻尼作用，于是，粒子的運(yùn)動方程這是關(guān)于時間t的常微分方程，非常簡單。求解得結(jié)合初始條件，則，代入得粒子的運(yùn)動軌跡這就是這門課程的第二部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程所要討論的內(nèi)容：將物理問題表述成數(shù)學(xué)方程，然后用各種方法來求解方程。1.1 常系數(shù)齊次線性微分方程方程的階：微分方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。線性方程：微分方程中對于未知函數(shù)及其所有導(dǎo)數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上就稱為非線性方程。齊次方

2、程：微分方程不含有不包含未知函數(shù)的項。例如 u = 4 uxx; 二階線性，x2u = uxx; 二階線性，(ux)2 + u2 = 1; 一階非線性。一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解 二階線性微分方程若為齊次，為非齊次。方程y¢¢+py¢+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù)。 能否適當(dāng)選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r 2+pr+q)erx =0由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解。

3、 特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程。特征方程的兩個根r1、r2為特征方程的根與通解：(1)特征方程的實根r1、r2不相等時, 函數(shù)、是方程的兩個線性無關(guān)的解，方程的通解為. (2) 特征方程的實根r1=r2時, 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解，方程的通解為(3) 特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時, 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解。函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解，方程的通

4、解為y=eax(c1cosbx+c2sinbx ). 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解。例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解。 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解。二、線性微分方程的解的疊加(1)定理1 如果函數(shù)y1(x)和y2(x)是方程(1)的兩個解，那么它們的線性疊加也是方程的解，其中和是任意常數(shù)。定理2 如果函數(shù)y1(x)和y2(x)是方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解，那么它們的線性疊加是方程的通解。推論 如

5、果函數(shù)y1(x), y2(x), , yn(x) 是階線性齊次方程的n個線性無關(guān)的解，則是方程的通解，其中c1, c2, , cn為n個任意常數(shù)。(2)定理3 如果二階非齊次線性方程（2）的一個特解，y1(x)和y2(x)是對應(yīng)齊次方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解，那么它們的線性疊加是方程(2)的通解。定理4 如果和分別是二階非齊次線性方程，的特解，那么是方程的特解。1.2 常系數(shù)非齊次線性微分方程二階非齊次方程一、待定系數(shù)法對于特殊類型的f(x)，可寫出特解y*(x)的待定表達(dá)式：f(x)類型特解y*(x)的待定表達(dá)式aemxAemxacosbx + bsinbxAcosbx + Bsinbx

6、a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1emx (acosbx + bsinbx)emx (Acosbx + Bsinbx)emx (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1)emx(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果m, ±b i, 0, m ±b i, m是特征方程的r重根，則在表達(dá)式上再乘以xr。例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一個特解。 例2 求微分方程y¢¢-5

7、y¢+6y=xe2x的通解。二、常數(shù)變易法一階非齊次線性微分方程相應(yīng)齊次方程的通解是設(shè)非齊次方程有一個特解由于，代入非齊次方程，可得，解得因此，常數(shù)變易法得非齊次方程的通解為類似的方法考察二階非齊次方程相應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程有一個特解由于，若附加條件，則代入非齊次方程，可得所以，系數(shù)c1(x), c2(x)滿足方程組：例 二階線性微分方程齊次方程的通解常數(shù)變易法設(shè)特解為其中C1(t)和C2(t)滿足解得則1.3 變系數(shù)線性微分方程一、歐拉型常微分方程形如的方程叫歐拉方程。下面是一個后面課程會遇到的一個歐拉型方程的求解。作變量代換，則，即，即則例1. 求歐拉型方程的通解。答案

8、：通解為。二、常點(diǎn)鄰域上的級數(shù)解法（證明見李政道物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法P280-284）不失一般性，討論復(fù)變函數(shù)w(z)的線性二階常微分方程顯然，方程的性質(zhì)由函數(shù)p(z)和q(z)所確定。定義：如果在點(diǎn)z = z0處，函數(shù)p(z)和q(z)解析，則z = z0稱為方程的常點(diǎn)，否則，z = z0稱為奇點(diǎn)。定理：若z0為方程的常點(diǎn)，則在z0的鄰域內(nèi)存在滿足初始條件的唯一解析解w(z)。級數(shù)解法：基于以上定理，方程的解w(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)解析，則可表示成泰勒級數(shù)形式：其中，a0, a1, a2, . , ak , .是待定系數(shù)。只要能夠確定這些系數(shù)，也就得到了方程的解。由于函數(shù)p(z)和q(z)都是

9、解析函數(shù)，因此也可以表示成泰勒級數(shù)：，再將w(z)、p(z)和q(z)的泰勒級數(shù)形式代入方程和初始條件，并要求等式兩邊同冪次項的系數(shù)相等，就可以確定待定系數(shù)a0, a1, a2, . , ak , .。對于實變函數(shù)y(x)的線性二階常微分方程y(x0) = C0, y(x0) = C1,該定理完全成立，從而可以應(yīng)用級數(shù)解法。這是因為只要將實變函數(shù)p(x)和q(x)在復(fù)平面上進(jìn)行解析延拓，得到p(z)和q(z)，相應(yīng)的解w(z)在實軸上的值w(x)就是原方程的解。例 在的鄰域上求解常微分方程(是常數(shù))。解：顯然，x0 = 0是方程的常點(diǎn)，應(yīng)用常點(diǎn)鄰域級數(shù)解法求解。設(shè)則代入方程，并合并同冪項，得等

10、式右邊為零，因此冪級數(shù)各項系數(shù)為零，即從而有如下遞推公式：遞推得，。，于是，方程的解為上述解的收斂區(qū)域為。一般的收斂區(qū)域判斷補(bǔ)充：對于正項級數(shù)，通常用如下兩個方法比值判別法 設(shè)正項級數(shù)，若極限，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。根值判別法 設(shè)正項級數(shù)，若極限，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。應(yīng)用正項級數(shù)收斂判別法，可得到如下冪級數(shù)收斂范圍： 比值判別法 根據(jù)正項級數(shù)收斂的比值判別法，若極限，則當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。引入記號，若存在，則當(dāng) 根式判別法 若極限，則收斂。若存在，則當(dāng)例1 在的鄰域上求解常微分方程(是常數(shù))。方程的解為記，對于應(yīng)用比值判別法，得收斂區(qū)域為。對于應(yīng)用比值判別

11、法，得收斂區(qū)域為。例2 在的鄰域上求解。答案：，。收斂無限大。作業(yè)：1. 求歐拉方程的通解。答案：。2. 用常數(shù)變易法求方程的通解。答案：。3. 用冪級數(shù)法求方程的通解。答案：。1.4 二階常系數(shù)線性差分方程一、齊次差分方程方程： (p ,q是常數(shù)).若為齊次，為非齊次。對于齊次方程的通解，與微分方程類似地有：定理 方程的解為，其中r滿足特征方程。(1)特征方程的實根r1、r2不相等時，方程的通解為 (2) 特征方程的實根r1=r2時，方程的通解為(3) 特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時, 記，即方程的解為，則方程的通解為。例1 求的通解.解 其特征方程, 有根 -1,

12、-3 . 原方程有通解 (是任意常數(shù)) 例2 求的通解.解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . ，則原方程有通解, (是任意常數(shù)).例3 求差分方程的通解.解 其通解為 (C為任意常數(shù)).二、非齊次差分方程對于非齊次方程的通解，與微分方程類似地，可以用待定系數(shù)法求解。f(x)類型特解y*(x)的待定表達(dá)式amxAmxa1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1mx (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1)mx(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果m, 1

13、是特征方程的r重根，則在表達(dá)式上再乘以xr。例4 求的通解.解 前例已知其齊次的通解,故只需求一個特解.令,代入的,所以它的通解為, (是任意常數(shù)).例5 求的通解.解 令, , 所以, 所以其通解, (是任意常數(shù)).例6 求 的通解.解 顯然其齊次方程的通解為(C為任意常數(shù)). 設(shè)其特解為, 所以有, 從而得.因此,原方程的通解為.例7 求 的通解.解 其齊次方程的通解為(C為任意常數(shù)). 設(shè)其特解為, 所以有, 從而得，因此,原方程的通解為.三、差分方程的應(yīng)用例8 某家庭從現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計劃20 年后開始從投資帳戶中每月支取1000 元，

14、直到10 年后子女大學(xué)畢業(yè)用完全部資金。要實現(xiàn)這個投資目標(biāo)，20 年內(nèi)共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%。解：設(shè)第n個月投資帳戶資金為Sn元，每月存入資金為a元。于是，20 年后關(guān)于Sn的差分方程模型為Sn+1 = 1.005Sn 1 000并且S120 = 0, S0 = x。解得x = 90 073.45。從現(xiàn)在到20年內(nèi)，Sn滿足的差分方程為Sn+1 = 1.005Sn + a且S0 = 0, S240 = 90 073.45。解得a = 194.95。例9 動態(tài)供需均衡模型(蛛網(wǎng)定理) 設(shè)Dt表示t期的需求量,St表示t期的供給量,Pt表示商品t期價格

15、,則傳統(tǒng)的動態(tài)供需均衡模型為： 其中a,b,a1,b1均為已知常數(shù)。(1)式表示t期(現(xiàn)期)需求依賴于同期價格；(2)式表示t期(現(xiàn)期)供給依賴于(t-1)期(前期)價格；(3)式為供需均衡條件。解：若在供需平衡的條件下，而且價格保持不變，即。靜態(tài)均衡價格。動態(tài)供需均衡模型的等價差分方程 齊次方程通解，非齊次方程特解，方程的通解為。若初始價格已知時，將其代入通解可求得任意常數(shù)，則通解為 如果初始價格，那么。這表明沒有外部干擾發(fā)生，價格將固定為常數(shù)值，即靜態(tài)均衡。如果初始價格，那么價格將隨t的變化而變化。如果，則表明動態(tài)價格隨著t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價格。例10 凱恩斯(Keynes.J.M)乘數(shù)動力學(xué)模型 設(shè)Yt表示t期國民收入，Ct為t期消費(fèi)，It為t期投資，I0為自發(fā)(固定)投資，DI為周期固定投資增量.凱恩斯國民經(jīng)濟(jì)收支動態(tài)均衡模型為：(1)式為均衡條件，即國民收入等于同期消費(fèi)與同期投資之和；(2)式為消費(fèi)函數(shù),即現(xiàn)期消費(fèi)水平依賴于前期國民收入(消費(fèi)滯后于收入一個周期)，a(0)為基本消費(fèi)水平，b為邊際消費(fèi)傾向(0b1)；(3)式為投資函數(shù),這里僅考慮為固定投資。在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一階常系數(shù)非齊次線性差分方程：方程的一個特解，則方程的通解為 其中A為任意常數(shù)。稱系數(shù)為凱恩斯乘數(shù)。例11 在種群生態(tài)學(xué)中，考慮像蠶、蟬這種