奧數(shù)專題之遞推

1、奧數(shù)專題之遞推遞推法專題遞推法是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要解題方法，許多問題通過遞推法來解決就顯得精巧簡捷鑒于這一方法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用越來越廣泛，掌握和運(yùn)用這種方法，就顯得更加重要遞推方法問題主要有兩類：一是問題中有明顯的遞推關(guān)系，重點(diǎn)在于遞推關(guān)系的應(yīng)用；二是問題中沒有明顯的遞推關(guān)系，需要對(duì)已有條件進(jìn)行變形或改變問題的有關(guān)形式而建立遞推關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為第一類問題。本文重點(diǎn)探索第二類問題。通過建立、研究遞推關(guān)系Sk+1=f(Sk)，使問題得以解決的方法稱為遞推方法。例1 平面上有n條直線，它們中任意兩條都不平行，且任意三條都不交于一點(diǎn)。這n條直線可以把平面分割成多少個(gè)部分？請(qǐng)看一個(gè)引起普遍關(guān)注的關(guān)于世

2、界末日的問題。例2 有這樣一段關(guān)于“世界末日”的傳說。在印度北部的一個(gè)佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據(jù)說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時(shí)，在其中的一根針上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小時(shí)內(nèi)，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準(zhǔn)移動(dòng)一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當(dāng)所有六十四片金片都從梵天創(chuàng)造世界時(shí)所放的那根針上移到另一根針上時(shí)，世界的末日就要到來。這雖是一個(gè)傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動(dòng)完畢這六十四片金片需要多少時(shí)間。也就是說，人類在這個(gè)世界上還可以生存多少時(shí)間。例

3、3 有10級(jí)臺(tái)階，小王從下向上走，若每次只能跨一級(jí)或兩級(jí)，他走上去共有多少種不同的走法？追問：10級(jí)的情況可以一一列出，臺(tái)階數(shù)比較多的情況，怎么辦？提示：此即為斐波那契數(shù)列 an求通項(xiàng)的問題。例4 同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有( ) （A）6種 （B）9種 （C）11種 （D）23種這里，我們引進(jìn)一個(gè)概念：設(shè)a1,a2,a3,，an 是1，2，3，n的一個(gè)排列,如果aii,(i=1,2,，n),則稱這種排列為一個(gè)錯(cuò)位排列（也稱為更列）。更列問題也可以形象地理解為：將1，2，3，n看成已經(jīng)排好對(duì)的n個(gè)人，重新站隊(duì)時(shí)，各人都

4、不站在原來的位置上。例5 A、B二人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)時(shí)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)就由對(duì)方接著擲，第一次由A開始擲，求第5次仍由A擲的概率。例6 將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使每一條棱的兩端異色。如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)有多少種？ 例7 設(shè)實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足方程組，求的值。例8 設(shè)為下列自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n，且每位數(shù)字只能是1，3或4. 求證a2n是一個(gè)完全平方數(shù)。例9 過平面上兩點(diǎn)A、B分別有m、n條直線，問這m+n條直線最多可以把平面分成多少部分？（m和n均為正整數(shù)）遞推數(shù)

5、列求通項(xiàng)問題一、 引例斐波那契數(shù)列假定一對(duì)兔子每隔一個(gè)月生一對(duì)一雌一雄的小兔子，每對(duì)小兔在兩個(gè)月以后也開始生一對(duì)一雌一雄的小兔子，隔月一次。年初時(shí)兔房里有一對(duì)小兔（一雌一雄），問一年以后，兔房里有多少對(duì)兔子？解：設(shè)第個(gè)月初時(shí)兔房里有兔子對(duì)。易知 (1)第個(gè)月初時(shí)兔房里的兔子可分為兩部分：一部分是第個(gè)月初時(shí)已經(jīng)在兔房里的兔子，共有對(duì)，另一部分是第個(gè)月初時(shí)新出生的小兔，共有對(duì)，于是.(2)這就是為廣大中小學(xué)生所熟悉的斐波那契數(shù)列，它是遞推數(shù)列的一個(gè)典型代表。二、遞推數(shù)列（一）.遞推數(shù)列的定義斐波那契數(shù)列是遞推數(shù)列的典型代表，其中(2)式稱為遞推式，也稱遞推關(guān)系，(1)式是初始條件，這二者是遞推數(shù)列

6、的必要構(gòu)成條件。一般地，我們把滿足. (6)和初始值的數(shù)列稱為階遞推數(shù)列。當(dāng)遞推關(guān)系的形式為(7)時(shí)，數(shù)列稱為階常系數(shù)線性遞推數(shù)列，其中為常數(shù)，且。若函數(shù)，則遞推關(guān)系(7)所確定的數(shù)列稱為階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列；否則，稱遞推關(guān)系(7)所確定的數(shù)列為階常系數(shù)非齊次線性遞推數(shù)列。因此，斐波那契數(shù)列是一個(gè)2階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列。遞推數(shù)列是數(shù)列中的一個(gè)重要類型，數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)列問題多與遞推數(shù)列尤其是其通項(xiàng)有關(guān)，且問題多以遞推式、不等式等形式出現(xiàn)，本文主要探討遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法。（二）遞推數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法常見的求遞推數(shù)列通項(xiàng)的方法有：（1）迭代法：對(duì)所給的遞推式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危员隳苓B續(xù)使用下

7、標(biāo)較小的項(xiàng)代替某些下標(biāo)較大的項(xiàng)，最后在一般項(xiàng)與初始項(xiàng)之間建立某種練習(xí)，從而求通項(xiàng)。（2）化歸法：把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題解決是數(shù)學(xué)中處理問題的常用策略，最常見的是轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列來解決問題。（3）累加法：形如的遞推式，其通項(xiàng)求法多采用累加法，具體操作見例題3。（4）累乘法：形如的遞推式，其通項(xiàng)求法多采用累乘法，具體操作見例題4。（5）代換法：包括代數(shù)代換、對(duì)數(shù)代換、三角代換等。代換的優(yōu)點(diǎn)在于可以使用一些原本并不明顯的性質(zhì)和運(yùn)算。比如三角代換，代換后就可以使用三角函數(shù)的有關(guān)變換和性質(zhì)。（6）數(shù)學(xué)歸納法：在遞推公式比較復(fù)雜，一般情形較難處理時(shí)，可以通過一般問題特殊化的思想，先通過簡單情況

8、的研究提出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。（7）不動(dòng)點(diǎn)法：形如（其中，）的遞推式，其通項(xiàng)求法可采用不動(dòng)點(diǎn)法。不妨稱的根為上述數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)， 若該數(shù)列有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和，則可令（其中為待定常數(shù)），代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是可求得。 若該數(shù)列只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是可求得。（8）特征根方法引例中求斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的方法稱為特征根法。這是一種解常系數(shù)齊次線性微分方程時(shí)常用的方法，在求解線性遞推數(shù)列通項(xiàng)時(shí)也經(jīng)常使用。其中方程（8）稱為數(shù)列(7)的特征方程，對(duì)應(yīng)的根稱為數(shù)列的特征根。對(duì)階常系數(shù)齊次線性遞

9、推數(shù)列(7)，設(shè)其特征根為，對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)為，則數(shù)列的通項(xiàng)為這里都是常數(shù)，它們由初始值可以確定。 特征根方法使用較多的是求二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題。若遞推數(shù)列的特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根（稱為特征根），則遞推數(shù)列的通項(xiàng)，其中由數(shù)列的初始值唯一確定。若特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則遞推數(shù)列的通項(xiàng)，其中由數(shù)列的初始值唯一確定。三、例題精講例1 已知數(shù)列中， ，求此數(shù)列的通項(xiàng)。例2 已知，求.例3 在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.例4 設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式。例5 數(shù)列與定義如下：證明：對(duì)每一個(gè)，有例6 數(shù)列滿足遞推式，試求的通項(xiàng)公式。例7 在數(shù)列中，1，求通項(xiàng)例8 數(shù)列滿足且，求通項(xiàng)公式。解析幾何專題講座一

10、 知識(shí)補(bǔ)充（部分）1直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式及其應(yīng)用，（t為參數(shù)）注意：t的幾何意義2圓錐曲線的焦半徑公式及其應(yīng)用3 圓錐曲線的統(tǒng)一定義及其應(yīng)用平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡。這里e（0，1）時(shí)軌跡是橢圓；e=1時(shí)軌跡是拋物線；e（1，+）時(shí)軌跡是雙曲線。4 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程二 幾個(gè)問題問題1：已知Q為拋物線 上的動(dòng)點(diǎn)，M（m , 0）為其對(duì)稱軸上的點(diǎn)，試討論|QM|的最小值，并指出何時(shí)取得該最小值。變式：橢圓E：+=1 ( )上的點(diǎn)Q到其長軸上的點(diǎn)N（m ,o）的最小距離。問題2 AB是過拋物線（p>0）的焦點(diǎn)F的動(dòng)弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，

11、求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。并將問題作進(jìn)一步的推廣。推廣：AB是過拋物線（p>0）的點(diǎn)（m,0）的動(dòng)弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。問題3 直線 上任意一點(diǎn)引拋物線 的兩條切線，切點(diǎn)分別為，問：直線是否過定點(diǎn)？問題4 求證橢圓的一條弦的兩端與焦點(diǎn)所在的軸的端點(diǎn)連線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上的充要條件是該弦過橢圓焦點(diǎn)問題5 過拋物線（p>0）的焦點(diǎn)F的弦AB，A在準(zhǔn)線上的射影為E，求證：BE過頂點(diǎn)O；并請(qǐng)將該命題推廣到橢圓和雙曲線情形推廣： 問題6 圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的一些性質(zhì)例題 分別是橢圓E：+=1 ( )的左右焦點(diǎn)，P是E上的動(dòng)點(diǎn)，I是三角形的內(nèi)心，PI與x軸的交點(diǎn)為E，求的值。請(qǐng)

12、把該結(jié)果推廣到雙曲線。推廣：對(duì)于雙曲線三 經(jīng)典題型1. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為與，點(diǎn)P在直線l：上. 當(dāng)取最大值時(shí)，比的值為 .2 已知點(diǎn)P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,bR+,則a+b的最小值為_.3. 在Rt中，. 如果橢圓經(jīng)過兩點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)為，另一個(gè)焦點(diǎn)F在邊上. 如圖，以CF所在直線為x軸，CF中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.（）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（）設(shè)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓，使得以PC為直徑的圓始終內(nèi)切于圓，若存在，求出圓的方程，若不存在，說明理由.4. A、B為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足。（1）求證：為定值；（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，滿足，求證：點(diǎn)P在定圓上.5（2015全1-20）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=與直線(0)交與M,N兩點(diǎn)，（）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPM=OPN？說明理由。2016年高校自主招生模擬試題一、填空題1. 函數(shù)與其反函數(shù)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的值為 2. 實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 3. 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)球O的球面上，是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且,則此三棱錐的體積是 4集合的交集所表示的圖形面積為 5在圓周上隨機(jī)取四點(diǎn)A