導數(shù)的概念經(jīng)典

1、教學內(nèi)容一：導數(shù)的概念教學目的：使學生在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率，建立導數(shù)的概念；掌握用導數(shù)的 定義求導數(shù)的一般方法教學重點：導數(shù)的概念是本節(jié)的重點和難點教學過程：一、復習(導數(shù)定義的引入)1瞬時速度：非勻速直線運動的物體在某一時刻t0的速度2怎樣求非勻速直線運動在某一時刻t0的速度？在高臺跳水運動中，如果我們知道運動員相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在關(guān)系，那么我們就會計算任意一段的平均速度，通過平均速度來描述其運動狀態(tài)，但用平均速度不一定能反映運動員在某一時刻的瞬時速度，那么如何求運動員的瞬時速度呢？問題：2秒時的瞬時速度是多少？二、新課 我們現(xiàn)在會算任意一段的

2、平均速度，先來觀察一下2秒附近的情況。先計算2秒之前的時間段內(nèi)的平均速度，請同學們看下面的表格表格1問題：1你能描述一下你算得的這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律嗎？（表格2）關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對嗎？2當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值-13.1。3 靠近-13.1且比-13.1大的任何一個數(shù)都可以是某一段上的平均速度；4 靠近-13.1且比-13.1小的任何一個數(shù)都可以是某一段上的平均速度；5 -13.1表示在2秒附近，運動員的速度大約是-13.1。 這樣，我們就得到了2秒時的瞬時速度是-13.1，現(xiàn)在我們一起回憶一下是如何得到的： 首先，算

3、出上的平均速度=，接著觀察當趨近于0時，上式趨近于一個確定的值-13.1，這個值就是運動員在2秒時的瞬時速度。為了表述方便，我們用 表示“當，趨近于0時，平均速度趨近于確定值-13.1”。 結(jié)論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值三函數(shù)在處的瞬時變化率如何表示？導數(shù)的定義：函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即=。 例如：2秒時的瞬時速度可以表示為或。 附注：導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率；定義的變化形式：=； =；=；，當時，所以 求函數(shù)在處的導數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”。四典例分析：例1

4、（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù). 分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2, 再求再求 解：（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù) 解： 例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義 解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導數(shù)定義，所以；同理可得: 意義：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升 注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況五課堂練

5、習1質(zhì)點運動規(guī)律為，求質(zhì)點在的瞬時速度為2求曲線y=f(x)=x3在時的導數(shù)3.若（ ） A 2k B k C ½k D 以上都不是六、小結(jié)1導數(shù)就是瞬時變化率；2導數(shù)的計算公式：=。3. 求函數(shù)在處的導數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”教學內(nèi)容二：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則及導數(shù)的幾何意義教學重點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的應(yīng)用教學過程：一、導函數(shù)：如果在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都是可導的，則稱在區(qū)間(a,b)可導。這樣，對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導數(shù)、于是，在區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導函數(shù)，記為

6、 導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)，如果不特別指明求某一點的導數(shù)，那么求導數(shù)指的就是求導函數(shù)。2、 1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù)2、 導數(shù)的運算法則導數(shù)運算法則1233、推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）三、導數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)的圖像如圖所示，AB為過點與的一條割線，由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率。當?shù)桶築沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的最終位置為直線AD，這條直線AD叫做此曲線過點A的切線，即=切線AD的斜率由導數(shù)意義可知，曲線過點的切線的斜率等于練習題：1、求切線方程(1)求曲線x2-y=0在點（2，4）處的切線的方程. (2)曲線y

7、=x2在點P的切線斜率是-4,求點P的坐標.(3)求曲線y=在點（3，）處的切線斜率.(4)求過點P（3，5）且與曲線y=x2相切的直線方程.(5)求曲線y=x3在點（1，1）處的切線與x軸、x=2所圍成的三角形的面積。2.用導數(shù)公式表求下列函數(shù)的導數(shù)： y=x4 y=e5 y=5x y=tan x f(x)=3-2x H(t)=-2t2+6t-5 g(x)=3x2 - F(u)=u 3.設(shè)曲線上的點處的切線平行于直線.（1）求切點；（2）求切線的方程4. 若，則= ， = ， = ， = 。5.已知曲線上一點，求：（1）點A的切線的斜率（2）點A處的切線方程6.設(shè)函數(shù)在點處可導，試求下列各極

8、限的值1；2 3若，則等于（ ） A1 B2 C1 D教學內(nèi)容三：導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性教學目的：能夠運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解決相關(guān)習題教學重點：掌握導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系教學過程： 1問題：如圖（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：4. 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)相應(yīng)地，5. 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)相應(yīng)地，2函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖

9、像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關(guān)系結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)3求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間二、典例分析例1已知導函數(shù)的下列信息：當時，；當，或時，；當，或時，試畫出函數(shù)圖像的大致形狀例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間； ； 例3如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找

10、出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快反映在圖像上，（A）符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況 思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢結(jié)合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些例4求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)說明：證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結(jié)

11、論：為增函數(shù)，為減函數(shù)例5已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍例6已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3、 課堂練習1.若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且x(a,b)時，f(x)>0,又f(a)<0,則A.f(x)在a,b上單調(diào)遞減，且f(b)>0B.f(x)在a,b上單調(diào)遞增，且f(b)<0C.f(x)在a,b上單調(diào)遞減，且f(b)<0D.f(x)在a,b上單調(diào)遞增，但f(b)的符號無法判斷2.函數(shù)y=3xx3的單調(diào)增區(qū)間是A.(0,+)B.(,1) C.(1,1)D.(1,+)3.f(x)=x+ (x>0)的單調(diào)減區(qū)間是A.

12、(2,+) B.(0,2) C.(,+) D.(0, )4 若函數(shù)的減區(qū)間為，則的范圍是A B C D 5 定義在R上的函數(shù)的導數(shù)，其中常數(shù)，則函數(shù)A 在上遞增 B 在上遞增 C 在上遞增 D 在上遞減6 函數(shù)的圖象過原點且它的導函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線, 則的圖象的頂點在 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限7.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，yf(x)的圖象如右圖，則導函數(shù)f(x)的圖象可能是(）8.三次函數(shù)f(x)=x33bx+3b在1，2內(nèi)恒為正值，求b的取值范圍.9.已知函數(shù)，.（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍教學內(nèi)容四：

13、導數(shù)的極值與最值教學目的：能夠運用導數(shù)相關(guān)知識解決極值與最值問題教學重點：掌握解決極值與最值問題的技巧教學過程：一、創(chuàng)設(shè)情景，導入新課1觀察圖1.3.8 表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)=-4.9t2+6.5t+10的圖象，回答以下問題（1）當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數(shù)在t=a處的導數(shù)是多少呢？（2）在點t=a附近的圖象有什么特點？ （3）點t=a附近的導數(shù)符號有什么變化規(guī)律？共同歸納: 函數(shù)h(t)在a點處h/(a)=0,在t=a的附近,當ta時,函數(shù)單調(diào)遞增, 0;當ta時,函數(shù)單調(diào)遞減, 0,即當t在a的附近從小到大經(jīng)過a時, 先正后負,且連續(xù)變化,于

14、是h/(a)=0. 當x變化時, ,f(x)的變化情況如下表:x(-,a)a(a,+)+0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減二、探索研討1、觀察1.3.9圖所表示的y=f(x)的圖象，回答以下問題：（1）函數(shù)y=f(x)在a.b點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?（2） 函數(shù)y=f(x)在a.b.點的導數(shù)值是多少?（3）在a.b點附近, y=f(x)的導數(shù)的符號分別是什么，并且有什么關(guān)系呢?2、極值的定義: 設(shè)函數(shù)f（x）在a附近有定義，如果對a附近的所有的點，都有f（x）>f（a），則我們把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；如果對a附近的所有的點，

15、都有f（x）<f（a），則我們把點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。極大值點與極小值點稱為極值點, 極大值與極小值稱為極值.3、通過以上探索，你能歸納出可導函數(shù)在某點x0取得極值的充要條件嗎？ 充要條件：且點x0的左右附近的導數(shù)值符號要相反4、引導學生觀察圖1.3.10，回答以下問題：（1）找出圖中的極點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點？（2）極大值一定大于極小值嗎？5、隨堂練習: 如圖是函數(shù)y=f(x)的圖像,試找出函數(shù)y=f(x)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.如果把函數(shù)圖象改為導函數(shù)y=的圖象?三、講解例題例1：求函數(shù)

16、的極值歸納：求函數(shù)y=f(x)極值的方法是: 1.求, 2.解方程=0,當=0時: 3.（1）如果在x0附近的左邊0,右邊0,那么f(x0)是極大值. （2）如果在x0附近的左邊0,右邊0,那么f(x0)是極小值例2：求函數(shù)在0,3上的最大值與最小值。練習題：1函數(shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍是（ ）A B C D 2函數(shù)的最小值是（ ）A 0 B C D 3給出下面四個命題：（1）函數(shù)的最大值為10，最小值為；（2）函數(shù)的最大值為17，最小值為1；（3）函數(shù)的最大值為16，最小值為16；（4）函數(shù)無最大值，無最小值。其中正確的命題有A 1個 B 2個 C 3個 D 4個4函數(shù)的最大值是_，最小值是_。5函數(shù)的最小值為_。6已知為常數(shù)），在2，2上有最大值3，求函數(shù)在區(qū)