定積分的應(yīng)用[1]

1、第六章 定積分的應(yīng)用（1、2）陳建英 王江順主編第一節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用（1、2）教學(xué)目的：掌握定積分應(yīng)用的微元法，會求在直解坐標下的平面圖形面積教學(xué)重點、難點：用“微元法”確定所求量的“微元”教學(xué)形式：多媒體教室里的講授法教學(xué)時間：90分鐘一、引入新課    回顧     曲邊梯形求面積的問題     曲邊梯形由連續(xù)曲線、軸與兩條直線、所圍成。     面積表示為定積分的步驟如下：     

2、(1)把區(qū)間分成個長度為的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為個小窄曲邊梯形，第個小窄曲邊梯形的面積為，則    (2)計算的近似值.     (3)求和，得A的近似值     (4)求極限，得A的精確值    提示若用表示任一小區(qū)間上的窄曲邊梯形的面積，則，并取于是   二、新授課1元素法的一般步驟：     (1)根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如為積分變量，并確定它的

3、變化區(qū)間；     (2)設(shè)想把區(qū)間分成個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量的近似值。如果能近似地表示為上的一個連續(xù)函數(shù)在處的值與的乘積，就把稱為量的元素且記作，即；     (3)以所求量的元素為被積表達式，在區(qū)間上作定積分，得，即為所求量的積分表達式。    這個方法通常叫做元素法。     應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等。2直角坐標系下的面積計算 (1) 平面圖形

4、由連續(xù)曲線成,并且在區(qū)間a , b上如圖6-1或如圖6-2所示. （圖6-1 ）（圖62） 應(yīng)用  曲邊梯形的面積     （圖63）(2)平面圖形由連續(xù)曲線成，并且在區(qū)間見例1 計算由兩條拋物線和所圍成的圖形面積。 (1) 作圖.利用Mathematica,輸入 Plot輸出圖形  解兩曲線的交點，    選為積分變量，     面積元素     ，    

5、;     例2計算由曲線和所圍成的圖形的面積。 解兩曲線的交點，    選為積分變量，            于是所求面積             說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式。     問題：積分變量只能選嗎？例2 計

6、算由曲線和直線所圍成的圖形的面積。 解兩曲線的交點，選為積分變量，作圖.利有Mathematica,輸入輸出圖形,如圖所示;     注意 對于同一問題,有時可選取不同的積分變量進行計算,計算的難易程度往往不同,因此在實際計算時,應(yīng)選取合適的積分變量,使計算簡化.例 4 解 (1) 求交點的橫坐標.(2) 作圖.作出曲線 與曲線 所圍的平面圖形，輸出求面積.圖6-6輸出1.00751 0.0758192三、本節(jié)小結(jié)：1 微元法的實質(zhì)是什么？ （  微元法的實質(zhì)仍是“和式”的極限。）2求在直角坐標系下平面圖形的面積。(注意恰當

7、的選擇積分變量有助于簡化積分運算)。四、課外作業(yè)：P116習題61 一、求下列各組平面圖形的面積1、與直線及。     2、與直線及 二、求拋物線及其在點和處的切線所圍成的圖形的面積 。     三、求位于曲線下方，該曲線過原點的切線的左方以及軸上方之間的圖形的面積第六章 定積分的應(yīng)用（3、4）第一節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用（3、4）教學(xué)目的：會求在參數(shù)方程、極坐標系下的平面圖形面積教學(xué)重點、難點：處理和使用參數(shù)方程和極坐標方程表示的平面圖形面積的求法，教學(xué)形式：講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課

8、寫出圓的方程在直角坐標系下的方程，參數(shù)方程和極坐標方程二、新授課 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程，曲邊梯形的面積(其中和對應(yīng)曲線起點與終點的參數(shù)值)，在，(或，)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，連續(xù)。    例4求橢圓的面積。 解橢圓的參數(shù)方程    由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積。     設(shè)由曲線及射線、圍成一曲邊扇形，求其面積。這里，在上連續(xù)，且。    面積元素    曲邊扇形的面積&#

9、160;   例5求雙紐線所圍平面圖形的面積。     解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積     ，         例6求心形線所圍平面圖形的面積。 例4 求兩曲線 及 所圍成圖形的公共部分的面積。解 將極坐標方程改寫成參數(shù)方程(1) 作圖利用Mathematica,輸入(圖68)輸入(圖69)輸入三、本節(jié)小結(jié)：參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積四、課外作業(yè)：一、求由下列各曲線所圍成的圖形的

10、面積 1、。   2、擺線及軸。    3、及的公共部分。第六章 定積分的應(yīng)用（5、6）第一節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用（5、6）教學(xué)目的：會用微元法求平行截面的立體體積教學(xué)重點、難點：分析使用平行截面計算的立體圖形，旋轉(zhuǎn)體體積的計算。教學(xué)形式：講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課平行截面體的概念二、新授課1 已知平行截面的立體體積如圖610所示，設(shè)有一立體圖形，其垂直于x軸的截面面積是已知連續(xù)函數(shù)S（x），且位于x = a，x = b 兩點處垂直于x軸的兩個平面之間，求此立體的體積。 ( 圖610)用垂直于軸的截面分割該立體，從

11、位于的平面開始，到位于的平面為止。在小區(qū)間 上，將此區(qū)間相應(yīng)的小立體體積用底面積為，高為的扁柱體的體積近似代替，即體積微元于是所求立體的體積為 例1 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底面直徑AB，并與底面交成角，求此平面截圓柱體所得楔形的體積。( 圖611)解法一：如圖6-11所示，取直徑AB所在的直線為軸，底面中心為原點，這時垂直于軸的各個截面都是直角三角形，；它的一個銳角為。這個直角三角形的底邊長度為，高為，這樣截面面積為因此,所求體積為 解法二：垂直于Y軸的各個堆面都是矩形，矩形的兩邊為，這樣截面面積為因此，所求體積為 例2連接坐標原點及點的直線、直線及軸圍成一個直角三角形。將它繞

12、軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為、高為的圓錐體，計算圓錐體的體積。     解直線方程為，取積分變量為，    在上任取小區(qū)間，以為底的窄邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為，    圓錐體的體積。 2。（1）旋轉(zhuǎn)體的概念：旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。 （2）旋轉(zhuǎn)體的體積    一般地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？   &

13、#160; 取積分變量為，。在上任取小區(qū)間，取以為底的窄邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素，旋轉(zhuǎn)體的體積為  類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為  例3求由曲線及所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積。 解取積分變量為。體積元素為    三。小結(jié)平行截面體體積和旋轉(zhuǎn)體體積的計算四。課外作業(yè)P116 習題614平面圖形由和圍成，試求該圖形（1）繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 5平面圖形由和圍成，試求該圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體

14、的體積。第六章 定積分的應(yīng)用（7、8）第一節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用（7、8）教學(xué)目的：會用微元法求平行截面的立體體積教學(xué)重點、難點：處理和使用參數(shù)方程和極坐標方程表示的平面圖形面積的求法，教學(xué)形式：講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課例1分析求解橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。指出微元二、新授課    例2求擺線，的一拱與所圍成的圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積。     解繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積         &#

15、160;     繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖與分別繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差。                   解: 如圖6-13所示，該立體是由圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體，去除由圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體而構(gòu)成的。因此，該立體體積為圖6-13輸出 19.739 2因此,該立體體積為19.739 2   &#

16、160;補充如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為。利用這個公式，可知上例中三、小結(jié)：1 旋轉(zhuǎn)體的體積2。    平行截面面積為已知的立體的體積。四、作業(yè) 1思考題：求曲線，所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積。 思考題解答：    立體體積2。P117第六題6圓的參數(shù)方程為，試用定積分證明圓周長為。第六章 定積分的應(yīng)用（9、10）第一節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用（9、10）教學(xué)目的：會用微元法求平面曲線的弧長教學(xué)重點、難點：處理和使用參數(shù)方程和極坐標方程表

17、示的曲線弧長的求法，教學(xué)形式：講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、 引入新課：設(shè)、是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時，此折線的長的極限存在，則稱此極限為曲線弧的弧長。二、新授課1直角坐標情形設(shè)函數(shù) 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算曲線上相應(yīng)于x 從a到b 的一段弧長。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一個小區(qū)間，與該區(qū)間相應(yīng)的小段弧的長度可以用該曲線在點處的切線上相應(yīng)的一小段長度來近似代替，從而得到弧長元素于是所求弧長解：所求弧長2參數(shù)方程情形計算這段曲線的弧長。 取參數(shù)t為積分變量，糨的變化區(qū)間為，弧長微元于是所求弧長

18、為 因此，所求弧長為(圖6-15)三、小結(jié)用微元法求孤線長四、作業(yè)：P1177求星形線的全長。9求曲線在一段的弧長。11求曲線在 一段的弧長。第六章 定積分的應(yīng)用（11、12）第二節(jié) 定積分在物理上的應(yīng)用（1、2）教學(xué)目的：會用定積分的微元法求一些簡單的實際問題教學(xué)重點、難點：用微元法將問題歸結(jié)為定積分的問題教學(xué)形式：講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：07級機械工程系教學(xué)過程一、引入新課利用微元法解決定積分在物理上的一些應(yīng)用。二、新授課一、 變速直線運動的路程從物理學(xué)知道，若質(zhì)點以常速v沿直線運動了時間t，則所經(jīng)過的路程為如果質(zhì)點以速度作變速直線運動，上面的公式顯然不適用，但當連續(xù)時，可以在時

19、刻t附近將速度近似看作是不變的，因而在時間過程中，路程的微元為因此，從時刻 到時刻 這段時間內(nèi)質(zhì)點所經(jīng)過的路程為二、變力沿直線所作的功 從物理學(xué)知道，若物體在不變的力F的作用下沿直線移動了距離，則此過程式中力F所作的功為 如果力是變力，上面的公式顯然不適用。但當連續(xù)時，可以在點附近將力近似看作是不變的，因而在位移過程中，功的微元為由此可知，在變力作用下物體沿x軸由點a到點b過程中，力F所作的功為解： 我們知道，在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力F 與彈簧的伸長量（或壓縮量）x成正比，即上式中K為比例系數(shù)。 如圖6-16所示，根據(jù)題目意，當 時，故由，得。這樣得到的變力函數(shù)為下面用策元法求此變力所作的功，。(圖616)與它對應(yīng)的變力F所作的