空氣污染研究的主成分分析

1、空氣污染爭(zhēng)辯的主成分分析一、提出問(wèn)題本文對(duì)于給定的某城市42天中午12點(diǎn)的空氣污染數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，主要解決以下幾個(gè)問(wèn)題：（1） 分別用樣本協(xié)方差矩陣和樣本相關(guān)矩陣作主成分分析，對(duì)比二者的結(jié)果差異；（2） 對(duì)原始數(shù)據(jù)的變化選取三個(gè)或者更少的主成分反映，并對(duì)所選的主成分做出解釋。二、分析問(wèn)題主成分分析旨在利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)。在實(shí)際問(wèn)題爭(zhēng)辯中，為了系統(tǒng)、全面地分析問(wèn)題，我們必需考慮眾多影響因素。由于每個(gè)因素都在不同程度上反映了所爭(zhēng)辯問(wèn)題的某些信息，并且指標(biāo)之間有肯定的相關(guān)性，因而所得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)反映的信息在肯定程度上有重疊。本文中所爭(zhēng)辯的問(wèn)題變量較多，因此利用主成分分

2、析法爭(zhēng)辯本問(wèn)題，削減計(jì)算量和降低分析問(wèn)題的簡(jiǎn)單性。針對(duì)問(wèn)題一，首先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣，然后分別計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣的特征值和特征向量，貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，確定選取成分個(gè)數(shù)，列出主成分方程并解釋主成分意義。針對(duì)問(wèn)題二，考慮主成分的貢獻(xiàn)率，只要主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到80%，就可以反映原始數(shù)據(jù)的變化，并且對(duì)所選取的主成分做出解釋。三、模型假設(shè)1、影響污染程度的變量只有本文中所提到的變量；2、隨機(jī)選取的42天；3、題目中所提到的城市是平衡進(jìn)展，政府對(duì)環(huán)境治理干預(yù)較小，即此城市的環(huán)境不會(huì)消滅猛烈波動(dòng)；4、題目中所給的污染濃度及氣象參數(shù)有效，數(shù)據(jù)都精確牢靠，同時(shí)不考慮人為因

3、素、檢測(cè)儀器精確度不同等影響。四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)符號(hào)含義樣本方差原始變量樣本主成分樣本協(xié)方差樣本相關(guān)矩陣樣本平均值協(xié)方差矩陣特征向量矩陣矩陣的特征值矩陣的特征向量信息提取率五、問(wèn)題求解5.1協(xié)方差矩陣主成分分析設(shè)是的協(xié)方差矩陣，的特征值與正交化特征向量分別為及，且的第個(gè)主成分為 (1)依據(jù)已有數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本的均值向量為依據(jù)協(xié)方差矩陣計(jì)算公式 (2)代入數(shù)據(jù)可求得隨機(jī)變量相應(yīng)的樣本協(xié)方差矩陣為利用特征值計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)可求得的特征值與對(duì)應(yīng)單位正交化特征向量分別為，, 利用第個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率 (3)及前個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率 (4)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得的各標(biāo)準(zhǔn)化主成分的貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率（如表1所示），可以

4、看出，前三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化樣本的累計(jì)貢獻(xiàn)率已經(jīng)達(dá)到98.6968%，故只需提取前三個(gè)主成分即可：表1 的各標(biāo)準(zhǔn)化主成分的貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率貢獻(xiàn)率(%)累計(jì)貢獻(xiàn)率（%）1304.257987.294887.2948228.27618.112795.4075311.46453.289398.696842.52430.724299.421051.27950.367199.788160.52870.151799.939870.20960.0601100.0000記主成分向量為 由 ,知的前三個(gè)主成分分別為因此，用前三個(gè)主成分代替原來(lái)7個(gè)變量，信息損失量較小。進(jìn)一步由與的相關(guān)系數(shù) (5)計(jì)算出前三個(gè)主成分與各原

5、始變量的相關(guān)系數(shù)如下表：主成分相關(guān)系數(shù)原變量表2 前三個(gè)主成分與各原始變量的相關(guān)系數(shù)0.10870.2576-0.0672-0.99940.0357-0.0014-0.1937-0.41810.46750.07400.06260.4111-0.1274-0.23690.9585-0.3521-0.9299-0.1041-0.0613-0.18240.4168由表可看出，與相關(guān)度較高，而由相關(guān)矩陣的主成分權(quán)重系數(shù)（即特征向量中的各個(gè)值）知，太陽(yáng)輻射對(duì)空氣污染的影響最大；與相關(guān)度較高，由相關(guān)矩陣的主成分權(quán)重系數(shù)（即特征向量中的各個(gè)值）知，對(duì)空氣污染的影響較大；與相關(guān)度較高，同理，由相關(guān)矩陣的主成分

6、權(quán)重系數(shù)（即特征向量中的各個(gè)值）知，對(duì)空氣污染的影響較大。考慮前三個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率依次降低，得出結(jié)論：影響空氣污染的最重要因素為太陽(yáng)輻射。由于的方差較大，第一主成分主要由變量把握，所以所得結(jié)論與實(shí)際不符。5.2樣本相關(guān)矩陣主成分分析利用標(biāo)準(zhǔn)化公式對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得到一組新的數(shù)據(jù)：即令 (6)其中為的平均值，為的方差。此時(shí)，由于的協(xié)方差矩陣即為的相關(guān)矩陣其中 (7) 為的協(xié)方差。代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到樣本相關(guān)矩陣為利用特征值計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)可求得的特征值與單位正交化特征向量分別為利用第個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率 (8)及前個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率 (9)其中。計(jì)算的各標(biāo)準(zhǔn)化主成分的貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率（如表3所

7、示）。表3 的各標(biāo)準(zhǔn)化主成分的貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率貢獻(xiàn)率(%)累計(jì)貢獻(xiàn)率（%）12.336833.382433.382421.386019.799753.182131.204117.201270.383340.727110.387080.770350.65359.335690.105960.53677.667097.772970.15592.2271100.00可以看出，當(dāng)特征值大于1時(shí)，提取前三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化樣本的累計(jì)貢獻(xiàn)率為70.3833%。記主成分向量為 由 ,則的前三個(gè)主成分分別為由與的相關(guān)系數(shù) (10)計(jì)算出前三個(gè)主成分與各原始變量的相關(guān)系數(shù)如表：主成分相關(guān)系數(shù)原變量表4 前三個(gè)主成分與各原

8、始變量的相關(guān)系數(shù)-0.36810.32550.69360.3145-0.62020.25020.8307-0.0046-0.14670.59270.5123-0.43730.74520.23050.23500.4922-0.67140.17450.48840.35530.6072由表4可看出，與、相關(guān)度較高，近似是7個(gè)變量的等權(quán)重之和，反映了空氣質(zhì)量的綜合指標(biāo)，值越大，空氣質(zhì)量越差。與相關(guān)度較低，由相關(guān)矩陣的主成分權(quán)重系數(shù)（即特征向量中的各個(gè)值）知，CO對(duì)空氣污染指標(biāo)y2的影響較小；與、相關(guān)度較高，同理，由相關(guān)矩陣的主成分權(quán)重系數(shù)（即特征向量中的各個(gè)值）知，風(fēng)速和HC對(duì)空氣污染的影響較大?？紤]

9、前三個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率之和達(dá)到70.3833%，因此綜合考慮來(lái)，和來(lái)評(píng)判影響空氣污染的重要指標(biāo)。5.3差異性從協(xié)方差矩陣動(dòng)身，對(duì)全部變量進(jìn)行主成分分析，何從相關(guān)矩陣動(dòng)身做主成分分析，兩個(gè)方向得出的結(jié)果顯示，原變量在第一主成分和其次主成分中的相對(duì)重要性，由于標(biāo)準(zhǔn)化而有很大變化。從協(xié)方差矩陣的角度進(jìn)行主成分分析，所得第一主成分中，權(quán)重系數(shù)分別為-0.01、0.9922、0.941、-0.0047、0.0243、0.1124、0.0023，二重相對(duì)矩陣的角度進(jìn)行主成分分析，所得的第一主成分分析，權(quán)重系數(shù)為-0.238、0.2056、0.5511、0.3776、0.4980、0.3246、0.3194。

10、兩者差距很大，并且在其次主成分中的兩個(gè)系數(shù)相差更遠(yuǎn)。因此，由協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣所得的主成分一般是不同的。為了滿足樣本主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到80%以上，從相關(guān)矩陣動(dòng)身做的主成分分析應(yīng)保留4個(gè)主成分，而從協(xié)方差矩陣來(lái)看，只保留1個(gè)主成分即可。由此可知，用協(xié)方差矩陣進(jìn)行主成分分析更能簡(jiǎn)化運(yùn)算。本文中，由于設(shè)計(jì)的各變量的變化范圍差異不大，因此應(yīng)從先關(guān)矩陣動(dòng)身求主成分比較合理。近似是7個(gè)變量的等權(quán)重之和，反映了空氣質(zhì)量的綜合指標(biāo)，值越大，空氣質(zhì)量越差。綜合考慮來(lái)，和來(lái)評(píng)判影響空氣污染的重要指標(biāo)。六、模型評(píng)價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)：（1） 用主成分分析方法能夠較好地揭示污染物于污染程度之間的關(guān)系；（2） 該模型所用工具較易操作；（3） 主成分分析法是從定量的角度動(dòng)身，充分利用全部數(shù)據(jù)當(dāng)中所包含的信息。所確定的指標(biāo)權(quán)數(shù)是基于數(shù)據(jù)分析而得到的指標(biāo)間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系，具有較好的客觀性；能有效消退不相關(guān)指標(biāo)的影響，從而可進(jìn)行有針對(duì)性的定量化評(píng)價(jià)；得到的綜合指標(biāo)之間相互獨(dú)立，不僅簡(jiǎn)化了評(píng)價(jià)系統(tǒng)，還削減了信息的交叉和冗余。（4） 方法計(jì)算簡(jiǎn)便，數(shù)學(xué)物理意義明確，有較強(qiáng)的可操作性和肯定的推廣應(yīng)用。模型缺點(diǎn)：（1） 尚未考慮到其他變量的影響，存在猜測(cè)誤差；（2） 該模型未給出圖像，難以反映各變量對(duì)空氣污