遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的基本類型及其對(duì)策

1、遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的基本類型及其對(duì)策高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，在高考中婁見(jiàn)不鮮，其豐富的內(nèi)涵及培養(yǎng)學(xué)生思維邏輯性具有較高的價(jià)值，同時(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力也具有十分重要的意義，下面就遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本類型作一個(gè)歸納，以供讀者參考。類型一、對(duì)策：利用迭加或迭乘方法，即：或例1、（2006年山東高考文科）已知數(shù)列中，）在直線y=x上，其中n=1,2,3. ()令()求數(shù)列解析：（I）在直線y=x上 得： 又 而得數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）得，即由： =類型二、對(duì)策：巧用例2、（2007年福建高考文科）數(shù)列an的前N項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=2Sn (nN*)

2、.求數(shù)列an的通項(xiàng)an。解析：（I）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1a1=1,數(shù)列Sn是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(nN*).當(dāng)n2時(shí)，an-2Sn-1=23n-2(n2),an=類型三、對(duì)策：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：從而化為等比數(shù)列，并且該數(shù)列以為首項(xiàng)，公比為p例3、（2006年福建高考理科）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即變式1：對(duì)策：（1）若p=q，則化為，從而化為以為首項(xiàng)，公差等于r的等差數(shù)列（2）若pq，則化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型三求通項(xiàng)例4、已知數(shù)列滿足求及.解析： 令，則+1是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列得數(shù)列的通項(xiàng)公

3、式為變式2：對(duì)策：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：，再化為，對(duì)照系數(shù)，解出x，y，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型三例5、題見(jiàn)例1（2006山東高考文科）解析：）在直線y=x上 令，可化為：與比較系數(shù)得 可化為：變式3、型對(duì)策：取倒數(shù)后得，化為類型三例6、已知數(shù)列滿足a1=1，求解析：由，得即：，以下請(qǐng)讀者解決。變式4：若p=1，則等式兩邊取常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，化為：，得到首項(xiàng)為，公比為r的等比數(shù)列，所以=，得若p1，則等式兩邊取以p為底的對(duì)數(shù)得：，轉(zhuǎn)為類型三求通項(xiàng)。例7、（06年石家莊模擬）若數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 解析：及知，兩邊取對(duì)常用對(duì)數(shù)得： 是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列。 變式5、對(duì)策： 兩端除以得：（1）若，

4、則構(gòu)成以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；例8、（07保定摸底）已知數(shù)列滿足時(shí)，求通項(xiàng)公式。解：，數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列（2）若，轉(zhuǎn)化為類型三求解。變式6：對(duì)策：等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用與恒等求出x,y得到一等比數(shù)列，得=f(n)，進(jìn)而化為變式2類型例9、題見(jiàn)例1（2006山東高考文科）解析：）在直線y=x上 得： 數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列以下同例1（II）求通項(xiàng)類型四、奇偶項(xiàng)型對(duì)策一：求出奇數(shù)項(xiàng)（或偶數(shù)項(xiàng)）的遞推關(guān)系，再對(duì)應(yīng)以上方法求解。例10（2005年高考北京卷改編）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，求解：若n為偶數(shù)，則即若n為奇數(shù)，則即，對(duì)策二：，這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列。例11、在數(shù)列中，解：由，得兩式相除得：，與均為公比為2的等比數(shù)列，易求得：類型