有限元平面問(wèn)題2

1、即： （由i,j,k輪換性知）同理可證：（作業(yè)：證明：）因此 （2-12）即形函數(shù)在自己節(jié)點(diǎn)上為1，在其余節(jié)點(diǎn)上為0。2. 在單元上任意一點(diǎn)，三個(gè)形函數(shù)之和為1，即。證明： （2-13）由此可見(jiàn)，三個(gè)形函數(shù)中只有2個(gè)是獨(dú)立的，即第三個(gè)可由其余兩個(gè)表示。3. ij邊上的形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)k的坐標(biāo)無(wú)關(guān)（i，j, k輪換），即在ij邊上有： （i，j, k輪換） （2-14）證明：設(shè) 節(jié)點(diǎn)i 坐標(biāo)：,節(jié)點(diǎn)j 坐標(biāo)：。 求：ij 邊的直線方程。 在邊上：由性質(zhì)2 ：即在i ,j 邊上有： （2-15）證畢。同理知：（輪換）在jk邊上有： 在ki 邊上有： 幾何表示：五、三角形單元位移函數(shù)的收斂性（要點(diǎn)提示：

2、單元位移函數(shù)的三條收斂準(zhǔn)則及意義）下面我們來(lái)驗(yàn)證所設(shè)的位移函數(shù) 滿足收斂準(zhǔn)則（三條）。1、 單元的位移函數(shù)解反映單元的剛體位移（包含有）由幾何方程： 尋找物體發(fā)生剛體位移的條件。若物體發(fā)生剛體位移，則有： 由得： 等式兩側(cè)分別為x和y的函數(shù)，要使其相等只有：積分： 式中為積分常數(shù)故位移：即：（不難證明）以上兩項(xiàng)是發(fā)生剛體位移的充要條件。因?yàn)檫@是的情形。故：事實(shí)上，將位移函數(shù)改變形式為：顯然可看出： （其它系數(shù)意義后述）2、 單元位移函數(shù)解反映單元的常應(yīng)變由： 可以得到： 顯然：由此看出，但單元的各應(yīng)變均為常量。故三角形單元在位移函數(shù)：下個(gè)典的各個(gè)應(yīng)變量均為常量。故稱為常應(yīng)變單元。3、 單元的位

3、移函數(shù)在單元內(nèi)部連續(xù)，在邊界與相鄰單元協(xié)調(diào)。顯然，設(shè) 是單元內(nèi)部的連續(xù)函數(shù)。下面考察下邊界上協(xié)調(diào)（一致）的問(wèn)題。由形函數(shù)的第3條性質(zhì)，我們證明：對(duì)于相鄰的兩個(gè)單元為公共邊界。ij邊上的N: 分別寫出兩個(gè)單元在公共邊上的位移表達(dá)式。對(duì)于單元，其位移函數(shù)為： （*）對(duì)于單元，其位移函數(shù)為： （*）Ij為單元，的公共邊界。由形函數(shù)的性質(zhì)3我們知道： 僅與節(jié)點(diǎn) i 有關(guān)。因此，對(duì)于：對(duì)于： 與節(jié)點(diǎn)k,m無(wú)關(guān)，僅與i, j 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及有關(guān)。- 已知常數(shù)- 節(jié)點(diǎn)位移唯一邊界上x唯一確定u,v由和比較及和比較知：在公共邊界上各點(diǎn)，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形單元的位移函數(shù) 滿足收斂性條件。Not

4、e: 用三角形單元計(jì)算則位移是連續(xù)的。而應(yīng)力、應(yīng)變是階梯的。位移法（假設(shè)位移）的結(jié)果位移要好（比應(yīng)力準(zhǔn)確）。2-5 三角形單元的剛度矩陣（單剛）提示：我們已經(jīng)建立了三角形單元的位移函數(shù)；導(dǎo)出了三角形單元的形函數(shù)；并用形函數(shù)來(lái)表示其位移函數(shù)；最后，我們證明了三角形單元位移函數(shù)的收斂性。下面我們要推導(dǎo)三角形單元的單元?jiǎng)偠染仃?。在推?dǎo)單剛前我們還有些準(zhǔn)備工作要做。一、 三角形單元的應(yīng)變矩陣B將位移函數(shù)寫出來(lái)：其中： 把位移函數(shù)u,v代入幾何方程：寫成矩陣的形式就是：（單元上任一點(diǎn)的應(yīng)變） （2-16）或 （2-17）式中： （2-18）或分塊： （2-19）式（2-16）表示單元節(jié)點(diǎn)位移與單元應(yīng)變的

5、關(guān)系。矩陣稱為應(yīng)變矩陣。式（2-18）表示應(yīng)變矩陣為常數(shù)矩陣，再次證明三節(jié)點(diǎn)三角形單元為常應(yīng)變單元。二、 三角形單元的應(yīng)力矩陣由物理方程知： 用矩陣表示： （2-20）或縮寫為：（2-21）其中： （2-22）稱為彈性矩陣（僅與彈性常數(shù)有關(guān)）。把代入物理方程，得到：令 （2-23）則有： （2-24）式（2-24）表示應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。由式（2-23）給出，稱為三角形單元的應(yīng)力矩陣。顯然，彈性矩陣及應(yīng)變矩陣都是常量矩陣。故應(yīng)力矩陣也是一個(gè)常量矩陣。因此三節(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)變和應(yīng)力都是常量。三、三角形單元的單剛建立了應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式（2-24），我們就可以推導(dǎo)單剛了。我們用虛功原理來(lái)推

6、導(dǎo)。一般來(lái)說(shuō)，有限元的單剛最普通的方法是用變分原理來(lái)推導(dǎo)。求泛函的變分（functional 泛函的函數(shù)）。（在力學(xué)上就是最小泛解的變分原理）。由于我們尚未解除變分原理且對(duì)于彈力問(wèn)題，用虛功原理推導(dǎo)就可以了。有人證明了用虛功原理推導(dǎo)和用最小泛解的變分原理來(lái)推導(dǎo)單剛，對(duì)于彈性力學(xué)的問(wèn)題結(jié)果是一致的。下面我們用虛功原理來(lái)推導(dǎo)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的單剛。1. 單剛的推導(dǎo)（單元是平衡的：對(duì)其應(yīng)用虛功原理）如圖所示，三角形單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力為：節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)力：給定一組虛位移：（每個(gè)單元都可能有虛位移）（虛位移是人為假設(shè)的任意位移，其唯一的條件就是約束所允許）產(chǎn)生虛應(yīng)變： 則單元的外虛功為：（節(jié)點(diǎn)力）單

7、元的內(nèi)力虛功為：由虛功原理知： 我們?cè)O(shè)法把等式右側(cè)的應(yīng)力和虛應(yīng)變換成位移和虛位移表示：代入虛功方程右側(cè)：及都與x,y無(wú)關(guān)。在有限元中當(dāng)我們研究一個(gè)單元時(shí)單元內(nèi)的任一點(diǎn)位移可由節(jié)點(diǎn)位移表示，是x,y及節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)節(jié)點(diǎn)位移我們認(rèn)為是已知量。故有： 可能是x,y的函數(shù)令： （2-25）則： （2-26）式（2-25）為三角形單元的單剛。式（2-26）為三角形單元的單元?jiǎng)偠确匠?。由于均為常?shù)矩陣。故有： （2-27）書上P72已將各項(xiàng)展開。（把）大家可看一下。2. 單剛的物理意義把單剛分塊，則單元?jiǎng)偠确匠炭蓪懗桑?（2-28）展開得： 顯然：表示當(dāng)時(shí)在i 節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力 表示當(dāng)時(shí)在i 節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的節(jié)

8、點(diǎn)力3. 單元的性質(zhì)（與外力無(wú)關(guān)）1）是的對(duì)稱矩陣，即 （互等定理）且主元非負(fù)，且02）是奇異矩陣：（最簡(jiǎn)單的想法，最笨的做法是證明|=0）是方陣，我們這樣做： 把1）、3）、5）三個(gè)加在一起。（見(jiàn)P123）看第一列相加的結(jié)果： 同理可證： 是奇異的。3）的影響因素A. 單元的幾何參數(shù)：大?。ㄆ骄忂^(guò)渡問(wèn)題），厚度，方位（節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差）B. 單元的材料特性：至此，我們已經(jīng)推出了單剛，并對(duì)進(jìn)行了討論。有了單剛后我們就可以利用平衡條件建立總剛了。36 結(jié)構(gòu)剛度矩陣總剛提示：推導(dǎo)出單元的剛度矩陣，就意味著我們有了單元上節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。與一維的問(wèn)題相同，我們下一步工作就是要找到結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。建

9、立以結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的結(jié)構(gòu)剛度方程。一、節(jié)點(diǎn)的平衡方程（內(nèi)力與外力的平衡）我們?nèi)匀挥靡粋€(gè)簡(jiǎn)單的直觀的例子來(lái)推導(dǎo)總剛度方程，然后不失一般性的推廣到一般的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散如圖所示，取出節(jié)點(diǎn)3來(lái)研究節(jié)點(diǎn)的平衡。首先寫出各單元的單元?jiǎng)偠确匠?。單元?）單元（2）單元（3）單元（4）對(duì)節(jié)點(diǎn)3列出平衡方程外力：內(nèi)力： 由平衡條件： 平衡方程二、總剛的形成（先寫方程，再定義總剛）結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣可由結(jié)構(gòu)全部節(jié)點(diǎn)的平衡方程寫出。我們僅以例中的結(jié)構(gòu)，第3 節(jié)點(diǎn)的平衡方程說(shuō)明如何建立該結(jié)構(gòu)的第三個(gè)方程（子塊）按節(jié)點(diǎn)形式展開節(jié)點(diǎn)3 的平衡方程：注意到： 則（按節(jié)點(diǎn)重排）：把該結(jié)構(gòu)的總剛中第3個(gè)子塊寫出：在總剛度方

10、程中，總剛矩陣的第3行（子塊）的元素為第3 個(gè)節(jié)點(diǎn)全部相關(guān)單元的單剛中對(duì)應(yīng)下標(biāo)的元素（子塊）之和。（相關(guān)節(jié)點(diǎn)若i,j 同屬于e 則i ,j 為相關(guān)節(jié)點(diǎn)；相關(guān)單元與節(jié)點(diǎn)i 相連的單元為i 的相關(guān)單元）同理，由結(jié)構(gòu)其余節(jié)點(diǎn)的平衡方程，可以得到總剛的全部?jī)?nèi)容：桿系結(jié)構(gòu)的總剛中只解來(lái)自某一單剛。而平面問(wèn)題可能來(lái)自兩個(gè)單剛。更一般地，對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)，若將其離散為m 個(gè)單元，n 節(jié)點(diǎn)則有：其子塊 ； 或者寫為：總剛形成方法：1.對(duì)角線子塊為：節(jié)點(diǎn)i 相關(guān)單元（）的單剛中求和。即=2.非對(duì)角線子塊:因此，通俗一點(diǎn)就是：實(shí)際上，程序是按單剛中對(duì)應(yīng)下標(biāo)求和進(jìn)行的。三、總剛度矩陣的性質(zhì)1. 總剛k為對(duì)稱矩陣。（子塊

11、）可由單剛對(duì)稱性及總剛形成的方法看總剛是一個(gè)奇異矩陣明確的物理解釋總剛是一個(gè)稀疏矩陣必然的有許多非相關(guān)節(jié)點(diǎn)有條件的：帶狀稀疏（節(jié)點(diǎn)編號(hào)滿足螺旋法則）總剛度矩陣是奇異的，要進(jìn)行約束處理（代入已知的邊界條件）荷載是節(jié)點(diǎn)載荷，不具一般性約束處理結(jié)構(gòu)總剛度方程中，是奇異的，無(wú)法直接求解，需要進(jìn)行約束處理處理方法與一維問(wèn)題相同載荷處理（載荷移置）等效節(jié)點(diǎn)載荷一、問(wèn)題的提出在有限元法中，結(jié)構(gòu)離散后，單元之間的聯(lián)系及單元間力的傳遞都是通過(guò)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的。在我們推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠碳敖Y(jié)構(gòu)總剛方程時(shí)，我們也都隱含了一個(gè)假設(shè)，那就是：作用于單元上及結(jié)構(gòu)上的載荷為節(jié)點(diǎn)載荷。那么到目前為止，對(duì)于一個(gè)彈性力學(xué)的平面問(wèn)題，如果作用于結(jié)構(gòu)上的所有荷載都是節(jié)點(diǎn)載荷（集中力），我們已經(jīng)可以用有限元法求解問(wèn)題了。但是，在實(shí)際的工程問(wèn)題中，作用一個(gè)結(jié)構(gòu)上的載荷是多種多樣的，也是比較復(fù)雜的。我們只有對(duì)任何種類的荷載都能用節(jié)點(diǎn)荷載來(lái)表示，有限元法才有生命力。對(duì)于一維桿系結(jié)構(gòu)，它只是非常簡(jiǎn)單的一種情況，我們用求解單跨超靜定梁的桿端力的辦法，就可以進(jìn)行荷載處理了。但二維以上的問(wèn)題（彈力）就不能作類似的簡(jiǎn)單處理。例子如下（圖