數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史答案

1、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史復(fù)習(xí)Lecture 0為什么要開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史1. 介紹文藝復(fù)興時(shí)期意大利藝術(shù)大師達(dá)芬奇（L. Da Vinci, 14521519）和 19 世紀(jì)英國(guó)業(yè) 余數(shù)學(xué)家伯里加爾（H. Perigal, 18011898）證明勾股定理的方法。達(dá)芬奇H. Perigal的水車(chē)翼輪法2. 談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)。一門(mén)學(xué)科 一座橋梁一條進(jìn)路一種資源 一組專(zhuān)題對(duì)學(xué)生來(lái)講，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)能力的提高,它不僅使學(xué)生獲得了一種歷史感，而且，通過(guò)從新的角度看數(shù)學(xué)學(xué)科，他們將對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更敏銳的理解力和鑒賞力，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考, 促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，啟發(fā)學(xué)生的人

2、格成長(zhǎng)，有利于激發(fā)學(xué)生的情感、興趣和良好的學(xué)習(xí)態(tài)度,有利于辯證唯物主義世界觀的形成, 有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。對(duì)于教師來(lái)講，要使個(gè)體知識(shí)的發(fā)生遵循人類(lèi)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，那么數(shù)學(xué)史就成為了數(shù)學(xué)教學(xué)的有效工具。將數(shù)學(xué)史作為一種資源運(yùn)用到教學(xué)中，給教學(xué)提供一種新的視角，發(fā)揮其啟發(fā)和借鑒的作用，并豐富課堂教學(xué)，使教學(xué)活動(dòng)變得自然而有趣。這對(duì)數(shù)學(xué)教育改革也具有極其重要的意義。Lecture 2古代數(shù)學(xué)（I）：埃及3. Rhind 紙草書(shū)問(wèn)題 79 是一個(gè)等比數(shù)列求和問(wèn)題，介紹其中蘊(yùn)涵的等比數(shù)數(shù)列求和方法。 4. “埃及幾何學(xué)中的珍寶”是什么？正四棱臺(tái)體積公式： Lecture 3古代數(shù)學(xué)（

3、II）：美索不達(dá)米亞3. 研究古巴比倫時(shí)期的泥版 BM 15285。設(shè)想你是一位祭司，你會(huì)提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？5 古代巴比倫人是如何求平方根近似值的？ 7. 美國(guó)哥倫比亞大學(xué)收藏的 Plimpton 322 號(hào)巴比倫泥版的內(nèi)容是什么？泥版上有15行、4列數(shù)字，原來(lái)人們還以為是一份帳目。但是，奧地利著名數(shù)學(xué)史家諾伊格鮑爾（O. Neugebauer, 18991990）經(jīng)過(guò)研究驚奇地發(fā)現(xiàn)：第3列數(shù)與第2列數(shù)的平方差竟都是平方數(shù)（少數(shù)行不滿(mǎn)足這一規(guī)律，但顯然是抄寫(xiě)錯(cuò)誤所致）！例如（見(jiàn)下表，表中數(shù)字均為60進(jìn)制）：，等等這就表明，它是一張勾股數(shù)表。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家齊曼（C. Zeeman, 1925）指

4、出，如果巴比倫人使用了勾股數(shù)一般公式，那么，滿(mǎn)足，且（是勾所對(duì)的角）為有限小數(shù)的勾股數(shù)只有16組。而Plimpton 322號(hào)泥版給出了其中的15組！其水平之高，令人驚嘆不已。6 古巴比倫時(shí)期的泥版 Str.362 上記載了如下問(wèn)題：“十兄弟分銀邁納，每個(gè)兄弟均比相鄰的弟弟多得若干，已知老八分得 6 斤（1 邁納60 斤）。問(wèn)：各兄弟比相鄰的弟弟多得 幾何？”泥版上給出的解法是：“取十兄弟所得平均數(shù) 10 斤，倍之，得 20 斤；減去老八所得的兩倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差為8/5斤。”用我們今天的代數(shù)符號(hào)來(lái)表達(dá)這一解法，并寫(xiě)出一般公式。Lecture 4古代數(shù)學(xué)（III）：中國(guó)14

5、 用出入相補(bǔ)原理證明勾股定理。 16 介紹西漢時(shí)期的“日高公式”。南宋數(shù)學(xué)家楊輝是如何推導(dǎo)這個(gè)公式的？日高公式：楊輝推導(dǎo)日高公式：如圖所示，圖中兩個(gè)黃色的面積是相等的。 as2s1dH根據(jù)上面的原理我們可得：（其中d為兩個(gè)桿子的距離）19 試述劉徽和祖暅的球體積工作。為了證明公式不正確，劉徽在立方體內(nèi)作兩個(gè)相互垂直的內(nèi)切圓柱，并把公共部分立體稱(chēng)作“牟合方蓋”。如下圖 兩個(gè)圓柱面的公共部分（牟合方蓋）正好把半徑為R的球體包含在內(nèi)。劉徽想若用一個(gè)與底面平行的平面去截它們，那么球的截面肯定是圓，而牟合方蓋的截面剛好是一個(gè)正方形 。如右圖正方形與其內(nèi)切圓的面積之比都是：由“截面原理”可得：于是我們只要

6、求出牟合方蓋的體積即可求出球的體積。劉徽：提出從立方體割出牟合方蓋之后所余的“外棋”著手。但是外棋的復(fù)雜難倒了劉徽。祖暅：對(duì)邊長(zhǎng)為D的正方體及其內(nèi)牟合方蓋的八分之一進(jìn)行考察如右圖并將其分解為一個(gè)內(nèi)棋和三個(gè)外棋內(nèi)棋外棋外棋外棋祖暅公理：用平行于底面的平面去截兩個(gè)等高的立體，如果所得的兩個(gè)截面面積處處相等，則這兩個(gè)立體的體積就相等。13. 在直角三角形中，勾、股、弦分別為 a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），試用中國(guó)古代的方法來(lái)證明下面一組公式：， ，則有：此圖是將邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形合在一起的14. 簡(jiǎn)要介紹劉徽的割圓術(shù)。（要求寫(xiě)出相關(guān)公式）圓內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)遞推公式

7、：Lecture 5 古希臘數(shù)學(xué)21 描述希皮亞斯（Hippias, 公元前 5 世紀(jì)）的割圓曲線，并用利用它來(lái)三等分角。17. 用歐幾里得的方法證明勾股定理。得證23. 用歐幾里得的方法證明命題：“素?cái)?shù)無(wú)限多”。答：假設(shè)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)有限，則必有一個(gè)最大的設(shè)最大的素?cái)?shù)是P令n=2*3*5*7*P+1，即把所有的素?cái)?shù)相乘并加上1，顯然nP若因?yàn)镻是最大素?cái)?shù)，所以n是合數(shù)，則n能被2，3，P中至少一個(gè)素?cái)?shù)整除，但用這些數(shù)去除n，都有余數(shù)1，即都不能整除這就有兩種可能(1)n是素?cái)?shù) (2)n是合數(shù)，但他只能被大于P的素?cái)?shù)整除這兩種情況都和P是最大素?cái)?shù)矛盾。所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以素?cái)?shù)是無(wú)限27. 如圖所示，A

8、DBC 是球 O 被紙面所截得的大圓，AB 和 CD 是其相互垂直的兩條直徑。 XVWY 是球 O 的外切圓柱（以 AB 為軸）的相應(yīng)截面。阿基米德通過(guò)力學(xué)方法發(fā)現(xiàn)：球 O 的 體積等于直徑為 CD 且垂直于紙面的大圓為底、以 B 為頂點(diǎn)的圓錐 BCD 的體積的 4 倍。試介紹阿基米德的方法。20. 利用托勒密定理推導(dǎo)和角正弦公式。22. 證明海倫三角形面積公式。 Lecture 6 中世紀(jì)數(shù)學(xué)23. 敘述中國(guó)剩余定理。37 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推導(dǎo)自然數(shù)三次冪和公式的？如下圖所示：39 斐波納契計(jì)算之書(shū)中有如下問(wèn)題：“棋盤(pán)（64 格）上的數(shù)列滿(mǎn)足：任意一項(xiàng)等于它 前面所有各項(xiàng)和的兩倍。已知首項(xiàng)為 1，求棋盤(pán)上數(shù)列各項(xiàng)之和?！痹囉媒裉斓姆椒ㄇ蠼?。41. 在約瑟夫問(wèn)題中，若設(shè)排成一圈的人數(shù)為 n ，并且從 1 號(hào)開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较螯c(diǎn)數(shù)，每