控制系統(tǒng)的采樣與仿真

1、 前言連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真方法是指用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真的方法。采用這種方法時(shí)首先將連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)變?yōu)檫m合在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)的仿真模型，實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變的計(jì)算方法主要有微分方程數(shù)值解法和離散相似法。MATLAB 產(chǎn)品家族是美國(guó) MathWorks公司開發(fā)的用于概念設(shè)計(jì)、算法開發(fā)、建模仿真、實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的理想的集成環(huán)境。是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和SIMULINK兩大部分。MATLAB由于其完整的專業(yè)體系和先進(jìn)的設(shè)

2、計(jì)開發(fā)思路，使得 MATLAB 在多種領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用空間，特別是在科學(xué)計(jì)算、建模仿真以及系統(tǒng)工程的設(shè)計(jì)開發(fā)上已經(jīng)成為行業(yè)內(nèi)的首選設(shè)計(jì)工具，它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。MATLAB軟件工具在自動(dòng)化專業(yè)、測(cè)控技術(shù)與儀器和電氣工程及其自動(dòng)化等專業(yè)的本科生學(xué)習(xí)中，經(jīng)常用來(lái)計(jì)算、仿真和設(shè)計(jì)，尤其是MATLAB軟件的仿

3、真功能，能使我們對(duì)所學(xué)知識(shí)有更加深入的理解和分析。 目錄一、系統(tǒng)分析：31. 繪制碾磨控制系統(tǒng)開環(huán)根軌跡圖、BODE 圖和奈奎斯特圖，并判斷穩(wěn)定性；42.當(dāng)控制器為，試設(shè)計(jì)一個(gè)能滿足要求的控制器（要求用根軌跡法和頻率響應(yīng)法進(jìn)行設(shè)計(jì)）；721進(jìn)行根軌跡校正：82.2頻率校正：123.將采樣周期取為，試確定與對(duì)應(yīng)的數(shù)字控制器（要求用多種方法進(jìn)行離散化，并進(jìn)行性能比較）；174、5、6：連續(xù)，離散單位階躍輸入響應(yīng)比較256.比較并討論4和5的仿真結(jié)果；277.討論采樣周期的不同選擇對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響；288.如控制器改為PID控制器，請(qǐng)確定滿足性能指標(biāo)的PID控制器參數(shù)。338.1用最優(yōu)PID控制

4、法設(shè)計(jì)：339.如希望盡可能的縮短系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的最小拍控制器，并畫出校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。379.1采用無(wú)紋波最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)3710.課程設(shè)計(jì)總結(jié)：3911.參考資料：40一、系統(tǒng)分析：某工業(yè)碾磨系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求用數(shù)字控制器D(z)來(lái)改善系統(tǒng)的性能，使得相角裕度大于，調(diào)節(jié)時(shí)間小于1s(2%準(zhǔn)則)1. 繪制碾磨控制系統(tǒng)開環(huán)根軌跡圖、Bode 圖和奈奎斯特圖，并判斷穩(wěn)定性；2.當(dāng)控制器為，試設(shè)計(jì)一個(gè)能滿足要求的控制器（要求用根軌跡法和頻率響應(yīng)法進(jìn)行設(shè)計(jì)）；3.將采樣周期取為，試確定與對(duì)應(yīng)的數(shù)字控制器（要求用多種方法進(jìn)行離散化，并進(jìn)行性能比較）；4.仿真計(jì)算連續(xù)閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)

5、單位階躍輸入的響應(yīng)；5.仿真計(jì)算數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)；6.比較并討論4和5的仿真結(jié)果；7.討論采樣周期的不同選擇對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響；8.如控制器改為PID控制器，請(qǐng)確定滿足性能指標(biāo)的PID控制器參數(shù)。9.如希望盡可能的縮短系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的最小拍控制器，并畫出校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。1. 繪制碾磨控制系統(tǒng)開環(huán)根軌跡圖、Bode 圖和奈奎斯特圖，并判斷穩(wěn)定性：G=zpk(,0 -5,10);sisotool(G);margin(G);根軌跡圖Bode圖：截止頻率為1.88rad/s,相角裕度為69N=0;R=0;Z=P-R=0;該系統(tǒng)穩(wěn)定。2.當(dāng)控制器為，試設(shè)計(jì)一個(gè)能

6、滿足要求的控制器（要求用根軌跡法和頻率響應(yīng)法進(jìn)行設(shè)計(jì)）：調(diào)節(jié)前Gs=tf(10,1 5 0);Close_S=feedback(Gs,1);Step(Close_S,b);hold on設(shè)計(jì)前調(diào)節(jié)時(shí)間為1.18s設(shè)計(jì)前截止頻率為1.88rad/s,相角裕度為69（第一問中）21進(jìn)行根軌跡校正：要使得根軌跡向左轉(zhuǎn)，要加入零點(diǎn)?？紤]到校正裝置的物理可實(shí)現(xiàn)性，加入超前校正裝置。檢驗(yàn)性能： Ds=tf(10*1 6.512,1 11.499);Gs=tf(10,1 5 0);Close_S=feedback(Ds*Gs,1);Step(Close_S,b);hold on調(diào)節(jié)時(shí)間為0.863s，符合要

7、求。 G=zpk(-6.512,0,-5,-11.499,10); margin(G); G=zpk(-6.512,0,-5,-11.499,100);margin(G);相角裕度為48，符合要求。2.2頻率校正：詳細(xì)設(shè)計(jì)要求：靜態(tài)速度誤差為20，相角裕度不小于45，調(diào)節(jié)時(shí)間小于1s（2%）。A. 根據(jù)靜態(tài)誤差指標(biāo)確定開環(huán)增益B. 據(jù)確定的增益 K ，畫出如下增益經(jīng)調(diào)整后的未校正系統(tǒng)的Bode圖G=zpk(,0,-5,100);margin(G);校正前的相角裕度為28C. 計(jì)算為滿足設(shè)計(jì)要求所需增加的相位超前角度從圖可知為滿足設(shè)計(jì)要求，還須25度左右的超前相角。即令D. 計(jì)算E. 選定最大超

8、前角發(fā)生頻率因?yàn)樾Ｕh(huán)節(jié)在最大超前相角處有 10log a 的幅值提升，所以把F. 據(jù)式計(jì)算超前環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)因子 T 和校正環(huán)節(jié)的交接頻率H. 對(duì)以上設(shè)計(jì)所得進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否滿足設(shè)計(jì)要求。I性能驗(yàn)證：Ds=tf(24.638*1 7.65,1 18.836);Gs=tf(10,1 5 0);Close_S=feedback(Ds*Gs,1);Step(Close_S,b);hold on調(diào)節(jié)時(shí)間為0.573，滿足設(shè)計(jì)要求。G=zpk(-7.65,0,-5,-18.836,240.638);margin(G);相角裕度為48，滿足設(shè)計(jì)要求。3.將采樣周期取為，試確定與對(duì)應(yīng)的數(shù)字控制器（要求用多

9、種方法進(jìn)行離散化，并進(jìn)行性能比較）：A選用根軌跡所得到的控制器函數(shù)： B采用脈沖響應(yīng)不變法，零階保持器法，一階保持器法，雙線性變渙法，零極點(diǎn)匹配方法確定數(shù)字控制器Gc（z）；Gc=zpk(-6.512,-11.499,10); Gimp=c2d(Gc,0.02,imp)%脈沖響應(yīng)不變法 Gzoh=c2d(Gc,0.02,zoh) %零階保持器Gfod=c2d(Gc,0.02,fod) %一階保持器Gtustin=c2d(Gc,0.02,tustin) %雙線性Gmatched=c2d(Gc,0.02,matched) %零極點(diǎn)匹配方法性能比較：G0=zpk(,0 -5,10);Gc=zpk(-

10、6.512,-11.499,10);G=series(G0,Gc);G1=c2d(G,0.02,zoh);%零階保持器G2=c2d(G,0.02,fod);%一階保持器 G3=c2d(G,0.02,tustin); %雙線性G4=c2d(G,0.02,matched);%零極點(diǎn)匹配方法G5=c2d(G,0.02,imp);%脈沖響應(yīng)不變法Gk1=feedback(G1,1);Gk2=feedback(G2,1);Gk3=feedback(G3,1);Gk4=feedback(G4,1);Gk5= feedback(G5,1);figure;margin(G1);gridfigure;margi

11、n(G2);gridfigure;margin(G3);gridfigure;margin(G4);gridfigure;margin(G5);gridfigure;step(Gk1,Gk2,Gk3,Gk4,Gk5);legend(zoh,fod,tustin,matched,imp);grid零階保持器一階保持器雙線性零極點(diǎn)配置法脈沖響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)各種離散化方法的動(dòng)態(tài)性能比較：離散化方法/()/(rad/s)%tp/sts/sZoh457.78250.3640.88Fod497.76200.340.86Tustin 487.79200.340.86Matched438.15260.375

12、0.86 imp877.4830.060.824、5、6：連續(xù)，離散單位階躍輸入響應(yīng)比較%連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Ds=tf(10*1 6.512,1 11.499);Ghs=tf(100,1 100);%保持器采用一節(jié)慣性環(huán)節(jié)Gs=tf(10,1 5 0);Close_S=feedback(Ds*Ghs*Gs,1);Step(Close_S,b);hold on%離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Ts=0.02;i=100;Dz=c2d(Ds,Ts,tustin);%雙線性變換Gz=c2d(Gs,Ts,zoh);%零階保持器Close_Z=minreal(feedback(Dz*Gz,1);Y=dstep(Clo

13、se_Z.num1,Close_Z.den1,i);plot(Ts*(1:i),Y,-.r);hold off藍(lán)色為連續(xù)系統(tǒng)，紅色為離散系統(tǒng)。6.比較并討論4和5的仿真結(jié)果:繪制連續(xù)閉環(huán)系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)的曲線圖；根據(jù)曲線圖比較兩系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和峰值時(shí)間。所得結(jié)果繪制成表格如下：%tp/sts/s校正250.360.893校正250.380.9連續(xù)閉環(huán)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)性能幾乎一樣，差距不大，但得選合適的離散化方法才行，上圖是用雙線性變換法。7.討論采樣周期的不同選擇對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響:Ds=tf(10*1 6.512,1 11.499);Gs=tf

14、(10,1 5 0);%離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Ts=0.02;i=100;%把Ts=0.02,0.04,0.06,0.08分別代入Dz=c2d(Ds,Ts,tustin);%雙線性變換Gz=c2d(Gs,Ts,zoh);%零階保持器Close_Z=minreal(feedback(Dz*Gz,1);Y=dstep(Close_Z.num1,Close_Z.den1,i);plot(Ts*(1:i),Y,-.r);hold offTs=0.02sTs=0.04sTs=0.06sTs=0.08s將上述結(jié)果繪制成表格如下：采樣周期/s超調(diào)量%峰值時(shí)間tp/s調(diào)節(jié)時(shí)間ts/sTs=0.02250.380.

15、9Ts=0.0430.40.40.92Ts=0.0636.70.420.96Ts=0.0842.70.450.98根據(jù)表格可知，采樣時(shí)間越短，性能越好。8.如控制器改為PID控制器，請(qǐng)確定滿足性能指標(biāo)的PID控制器參數(shù)。8.1用最優(yōu)PID控制法設(shè)計(jì)：性能驗(yàn)證：K1=20.5;K2=100;K3=1.25;G0=zpk(,0 -5,10);Gc=tf(K3 K1 K2,1 0);Gp=tf(80,1 16.4 80);sys0=feedback(Gc*G0,1);%無(wú)前置濾波器時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)sysn=feedback(G0,Gc);%擾動(dòng)端傳遞函數(shù)sys=series(sys0,Gp);%加入前置

16、濾波器之后的閉環(huán)系統(tǒng)figure(1);subplot(2,1,1);step(sys0);grid;%繪制無(wú)前置濾波器的單位階躍輸入響應(yīng)曲線subplot(2,1,2);step(sysn);%繪制無(wú)前置濾波器的單位階躍擾動(dòng)響應(yīng)曲線axis(0,1.2,0,1.5);grid;figure(2);subplot(2,1,1);step(sys);grid;%繪制帶前置濾波器的單位階躍輸入響應(yīng)曲線subplot(2,1,2);step(sysn);%繪制帶前置濾波器的單位階躍擾動(dòng)響應(yīng)曲線axis(0,0.8,0,1.5);grid;無(wú)前置濾波單位階躍響應(yīng)：調(diào)節(jié)時(shí)間為0.656s，滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。

17、有前置濾波單位階躍響應(yīng)：調(diào)節(jié)時(shí)間為0.564s，滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。9.如希望盡可能的縮短系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的最小拍控制器，并畫出校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線：9.1采用無(wú)紋波最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)概述：無(wú)紋波條件詳細(xì)設(shè)計(jì)：Gc=zpk(,0 -5,10);Gzoh=c2d(Gc,0.02,zoh) 0.001935 (z+0.9672)- (z-1) (z-0.9048)具體程序： Gc=zpk(,0 -5,10);Gzoh=c2d(Gc,0.02,zoh);Gs=zpk(,0 -5,10);Ts=0.02;Gz=c2d(Gs,Ts,zoh);Z=0.9048;P=-0.491;K=262.53;D

18、z=zpk(Z,P,K,Ts,0.02);Close_Z=feedback(Dz*Gz,1);step(Close_Z);axis(0,0.12,0,10);grid;有圖可知，用兩拍就可實(shí)現(xiàn)誤差為零，調(diào)節(jié)時(shí)間為0,。04s，滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。10課程設(shè)計(jì)總結(jié)：本實(shí)驗(yàn)以自控原理為基礎(chǔ)，進(jìn)行綜合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，對(duì)相關(guān)知識(shí)的要求較高。一、首先需要判斷其穩(wěn)定性，可根據(jù)奈奎斯特圖，進(jìn)行判定，其原理為：ZP-2N Z是閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程在右半s平面上根的個(gè)數(shù)。Pz是開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)。 N是當(dāng)角頻率由0變化到+時(shí) G（j）的軌跡沿逆時(shí)針方向圍繞實(shí)軸上點(diǎn)(-1，j0)的次數(shù)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)還指出：Z0時(shí)，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；Z0時(shí)，閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、根據(jù)bode圖進(jìn)行截止頻率及相角裕度的讀取，可以節(jié)省不少計(jì)算量，也可以是系統(tǒng)性能好壞的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。三、