數(shù)學(xué)考研筆記

1、數(shù)學(xué)筆記三角函數(shù)1，2積化和差：，3和差化積：，4倍角公式：，5半角公式：，6萬能公式：設(shè)，則 ，7將次公式：，8其他：，函數(shù)極限的性質(zhì)（1）極限唯一；（反證）（2）有界性：若，則在某個內(nèi)有界；（3）局部保號性；推論1：若，且A>B，則在某個內(nèi)；推論2：若，且在某個內(nèi)，則AB。夾逼定理：若在某個內(nèi)uvw，且，則。Heine定理：對以為極限的數(shù)列且，都有。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理：設(shè)， （1）有界定理：則M>0，st；（2）最值定理：則，st；（3）根值定理：若，則，st；若，則，st；（4）介值定理：且，則對，都，st；Stolz定理：設(shè)且，若(有限值或)，則。推論1：若，則；推

2、論2：若，且，則；推論3：若，且，則（補充首項1）。Cauchy收斂準則：收斂對，當時總有。Cauchy收斂準則：，對，總有。Cauchy收斂準則：收斂，當時，對總有。Cauchy收斂準則：，對，總有對以第一類間斷點：均存在，其中：（或不存在），稱為可去型；。稱為跳躍型。第二類間斷點：至少有一個不存在，其中：若之中有一個為，稱為無窮型。常用極限，令，則，。等價無窮小量。極限趨近速度雙曲函數(shù)（奇），（偶），(奇)，反：，一根兩端固定自然下垂的繩索，如兩根電線桿間的電線，稱為懸鏈線，其方程為：常用導(dǎo)數(shù)高階微分， 不具有形式不變性：為自變量時，；為中間變量時，。誤差估計（1）準確值：A 近似值：a絕

3、對誤差： 相對誤差：。若（最大）絕對誤差： （最大）絕對誤差：。（2），的最大絕對誤差：。常用積分（不定積分已略去常數(shù)C），其中：正交性：廣義積分； 。，。變限積分求導(dǎo)，其中：函數(shù)的極值與最值、駐點與拐點1極值點的必要條件：若是的極值點，則或不存在。充分條件：在，若在內(nèi)，且在內(nèi)，則；在內(nèi)，且在內(nèi)，則；在和內(nèi)正負號相同，則不是極值點。充分條件：設(shè)存在，且，則若，；若，。充引申：設(shè)存在，且，則若為偶數(shù)，當，；當，。若為奇數(shù)，不是極值點。2最值：；。3駐點：，則稱為的駐點。駐點不一定為極值點。4拐點：若在處連續(xù)，且在和內(nèi)正負號相反，則稱為的拐點。或不存在的點和的點可能為拐點。 曲線C在拐點處凹向發(fā)生

4、改變。函數(shù)的凸凹1所謂凸凹是指朝向看去的直觀結(jié)果。2，則：凸函數(shù)向上凹（往上無限）；凹函數(shù)向下凹（往下無限）。3詹生不等式：若在上是凸函數(shù)，則有：，其中 且。漸近線、曲率與漸屈線1漸近線 垂直：或，則直線即為垂直漸近線；斜：，其中；水平：，則直線即為水平漸近線。2弧微分曲率，曲率半徑 曲率中心坐標：，3漸屈線（中心軌跡）：，原曲線為漸開線。函數(shù)作圖基本步驟確定定義域討論對稱性與周期性求出，定出或不存在的點列表確定曲線的升降和凹向，算出極值和拐點討論漸近線描出特殊點，繪出曲線。微分定理1Fermat定理 函數(shù)在內(nèi)有定義，在處可導(dǎo)，且在取局部極值，則。2Roll定理 若函數(shù)，且：，則，。3Lagr

5、ange定理 若函數(shù)，則，；變形則，微分中值定理；變形則，；變形記，則，有限增量公式。推論 若函數(shù)在內(nèi)有，則在內(nèi)為一常數(shù)。推論 若兩函數(shù)及對有，則 （C為一常數(shù)）。推論 若函數(shù)在上存在有界導(dǎo)數(shù)，則在上滿足Lipschitz條件。Lipschitz條件：若函數(shù)在上有定義，且存在常數(shù)， 對有：，則稱在上滿足Lipschitz條件。4Cauchy定理 若函數(shù),且對，則，。微分中值定理的應(yīng)用（輔助函數(shù)的構(gòu)造）Lagrange格式：。Cauchy格式： OR 。格式：其中為關(guān)于的輪換對稱式。分離得到輪換式 ，。E.g 1 欲證：。，。E.g 2欲證：。，。E.g 3欲證：。E.g 4欲證：。 令 ，。函

6、數(shù)的一致性連續(xù)Def設(shè)在上有定義，若對，總存在只與有關(guān)而與內(nèi)的無關(guān)的，當，恒有，則稱函數(shù)在上一致連續(xù)，否則稱非一致連續(xù)。PS 若要證函數(shù)在上非一致連續(xù)，只證：，對，總，雖然，但?；蛴梅醋C法推出矛盾。Cantor定理設(shè)，則在閉區(qū)間上一致連續(xù)。判定對滿足Lipschitz條件：為常數(shù)，則在上一致連續(xù)。函數(shù)可積條件定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的。定理在閉區(qū)間上除去有限個點外都連續(xù)的有界函數(shù)（即具有有限個第一類間斷點）是可積的。推論閉區(qū)間上的分段連續(xù)函數(shù)是可積的。定理閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。定積分中值定理第一定理：設(shè)，且在上不變號，則，。推論 設(shè)，則，。性質(zhì) 設(shè)在上可積，則也可積，且。第二定理：設(shè)，

7、且在上不變號，則，。Taylor公式1多項式;2函數(shù)，Peano余項;3函數(shù)，Lagrange余項，其中；注：具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和階導(dǎo)數(shù)，所以證明時只可以用次L'Hospital法則，最后一步用Lagrange定理：。4Maclaurin公式：，在。5高階微分形式：，()。 其中，僅適用于為自變量的情況。關(guān)于積分的處理令，則：尤拉變換：令，。函數(shù)序列的一致收斂性Def 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)序列，若對，收斂，則稱在上逐點收斂。：對，當時有：，則：。Def 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)序列，若有定義在上的函數(shù)，滿足：，總，當時，對一切都有： 則稱在上一致收斂。定理(Cauchy一致收斂準則)在區(qū)間

8、上一致收斂，總，當時，對一切都有：。又敘述為：在上一致收斂，總，當時，有：，。 定理設(shè)，且在上一致收斂于，則有：；。定理 設(shè)在上收斂于，且在上一致收斂，則有：；。無窮級數(shù)定理 若級數(shù)收斂，則不改變項的順序，而對任意有限項求和后得到的新級數(shù)仍收斂，且和數(shù)相同。Def 條件收斂：級數(shù)收斂但發(fā)散；絕對收斂：收斂。性質(zhì)收斂收斂。反之不成立；若用比值判別法證明發(fā)散，則也發(fā)散；若收斂，則絕對收斂。令，則絕對收斂。在時收斂，在是發(fā)散。函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，總，當時，有：，。M判別 存在收斂級數(shù)，在區(qū)間上有，則在區(qū)間上一致收斂。關(guān)于冪級數(shù)1冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂域，收斂區(qū)間為不包括端點的開區(qū)間，收斂域可能為閉

9、區(qū)間。2冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)一致收斂，在收斂域內(nèi)收斂，但在半徑點收斂性不定（絕對or條件or發(fā)散）。3常用冪級數(shù)公式，；，F(xiàn)ourier級數(shù)1，其中：。2正弦級數(shù)（奇式延拓）。需給出間斷點和端點收斂值，其中端點收斂于0。余弦級數(shù)（偶式延拓）。只給出間斷點收斂值即可。3周期函數(shù) 以為周期的F-級數(shù)為：；。4將展成F-級數(shù)得：，。進一步可得：，。F-級數(shù)的復(fù)數(shù)形式，；。微分方程1分離變量型 ；齊次型 ；，其中：，2高階微分方程 ；3一階線性；(1) （齊次）(2) (3) Bernoulli：4二階常系數(shù)線性 ；(1) 齊次特征方程：(2) 非齊次情形一即若為的重根，則方程特解。采用待定系數(shù)法求得。

10、(3) 非齊次情形二 OR Step1求的特解：若為的重根，則；Step2原方程特解 OR。非齊次方程通解，其中為對應(yīng)齊次方程的通解。(4) 一般情況常數(shù)變易法，設(shè)。5Euler方程，；。6一階線性方程組 ，特征方程：（齊次）；對于非齊次用消元法。7R-C回路由于R-C-L回路其中：，。多元函數(shù)微分學(xué)1。2隱函數(shù)求導(dǎo)：，其中；，。3方向?qū)?shù)：，其中：。4空間曲線的切線方程：，切向量：，其中法平面方程：。5空間曲面的法線方程：，法向量：，切平面方程：。多元函數(shù)的極值定理 設(shè)，令，當時，若，則為極大值點；若，則為極小值點。時，則不是極值點。時，則不確定是否是極值點。Lagrange法求約束型極值Obj：St：，構(gòu)造輔助函數(shù)求導(dǎo)：，；，求得上述(m+n)元方程組的解代入目標函數(shù)驗證。坐標變換1極坐標系；2廣義極坐標系 ；3柱面坐標系表示半徑為C的圓，表示過z軸且與+x方向成角的半平面，表示平行于xoy面的平面，；4球面坐標系表示以原點為圓心半徑為C的球面，表示過z軸且與+x方向成角的半平面，表示以原點為頂點，以與+z方向成角的射線為母線的半圓錐面，（范圍可由x、y和z的取值范圍確定），；5廣義球面坐標系 ；6一般坐標變換 ，其中Jacobi行列式；。幾種曲線圖形極坐標 表示半徑為的圓； 表示心形線； 表示圓心在x軸上且直徑為的圓；