數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的極限答案

1、第十二講：數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的極限知識小結(jié)：4.數(shù)列的極限：一般地，在無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列中的項(xiàng)無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列的極限，或叫做數(shù)列收斂于A，記作。注意點(diǎn)：1）只有無窮數(shù)列，當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，無限趨近于某一常數(shù)；2）對于數(shù)列，當(dāng)無窮增大時(shí)，無限趨近于某一定值時(shí)，是通過無限趨近于零來描述的。這里無限趨近于零，是指不論取一個(gè)值多么小的正數(shù)（可以任意給定），總可以通過取充分大以后，使充分接近于零，如果這個(gè)任意小的正數(shù)用來表示，那么當(dāng)充分大時(shí)，總有。3）極限值只有一個(gè)值，如趨近于兩個(gè)值一定沒有極限。5.極限的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)：2）幾個(gè)重要極限： 6.無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的和的概

2、念：我們把的無窮等比數(shù)列前項(xiàng)和，當(dāng)無窮增大時(shí)的極限叫做無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，并用符號表示，即注意點(diǎn)：1）只有當(dāng)且時(shí)，才能代入上述公式；2）實(shí)際上可推出：；3）化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)可分解成一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)和的形式，或者可直接化為分?jǐn)?shù)：如；例2、求極限： 例4、定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比均為.（1）試求無窮等比子數(shù)列（）各項(xiàng)的和；（2）是否存在數(shù)列的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為： ； （2）解法

3、一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，則，即 而 則 .所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，其通項(xiàng)公式為，.解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.由 又若，則對每一都有 從、得；則；因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無窮等比子數(shù)列，通項(xiàng)公式為，.例5：（1）（03年上海數(shù)學(xué)高考）已知其中為正整數(shù)，設(shè)表示外接圓的面積，則 。解：此題一般地考慮方法是先求出的外接圓的方程，然后得出圓的面積，最后求得的結(jié)果，但整個(gè)過程的計(jì)算比較煩瑣，很容易導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)。但如果從極限的思想出發(fā)，首先考慮的是當(dāng)時(shí)這三個(gè)點(diǎn)的變化的位置，趨于原點(diǎn)，點(diǎn)趨于然

4、后看得圓的半徑為2，從而所求圓的面積為。（2）（07年上海數(shù)學(xué)高考卷（文）第12題）如圖，是直線上的兩點(diǎn)，且兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與相切于點(diǎn)，是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值范圍是 解：當(dāng)兩圓半徑時(shí)，點(diǎn)C趨向直線AB。當(dāng)兩圓相外切時(shí)， ， 例6、（09上海高考題）已知是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列。找出所有數(shù)列和，使對一切，并說明理由；解法一若,即 （*） （i）若，則當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求 （ii）若，（*）式等號左邊取極限和，（*）式等號右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才可能等于1,此時(shí)等號左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1

5、的常數(shù)列，滿足要求 解法二設(shè)若，對都成立，且為等比數(shù)列，則，對都成立，即都成立， （i）若，則， （ii）若，則（常數(shù)）即，則，矛盾。綜上所述，有,使對一切 例7、在數(shù)列中,若是正整數(shù),且則稱為“絕對差數(shù)列”(1) 舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”.(只要求寫出前十項(xiàng));解:(答案不唯一)(2) 若“絕對差數(shù)列”中,數(shù)列滿足分別判斷當(dāng)時(shí),與的極限是否存在,如果存在,求出其極限值;解:因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中,所以自20項(xiàng)開始,該數(shù)列是即自第20項(xiàng)開始,每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值3,0,3所以當(dāng)時(shí),的極限不存在.當(dāng)時(shí),所以例9、如圖，在邊長為的等邊三角形ABC中，圓O1為的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切

6、，且與AB、BC相切，··· ，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限下去，記圓On的面積為.（1） 證明是等比數(shù)列；證明：記為圓On的半徑，例10.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式解：()當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2()由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)n1時(shí)已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，由得Sk1，即Sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知Sn對所有正整數(shù)n都成立于是當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又n1時(shí)，a1，所以an的通項(xiàng)公式an，n1，2，3， 例11、設(shè)曲線上的點(diǎn)在x軸上的射影為，過做斜率為的直線交x軸于，過作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)，再過做斜率為的直線交x軸于，過作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)一般地，過做斜率為的直線交x軸于，過作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)，這樣