數(shù)學(xué)分析反常積分復(fù)習(xí)自測題

1、第十一章 反常積分復(fù)習(xí)自測題一、體會各類反常積分（無窮積分、瑕積分和混合反常積分）的特點(diǎn)，能準(zhǔn)確地判定所給反常積分的類型；熟習(xí)并熟練掌握各類反常積分收斂和發(fā)散的含義，并用各類反常積分收斂和發(fā)散的含義解決下面的問題：1、正確地判斷下列反常積分的斂散性：（1）（）；（2）（）；（3）（）。2、正確地判斷下列反常積分的斂散性：（1）（）；（2）（）；（3）。3、探索下列反常積分的斂散性，若收斂，并求其值：（1）；（2）；（3）；（4）。4、用定義據(jù)理說明下面的關(guān)系：（反常積分的牛頓萊布尼茨公式、分部積分法、換元法、奇偶函數(shù)的積分特征）（1）若函數(shù)在上連續(xù)，為在上的原函數(shù)，記，則無窮積分收斂存在，且。

2、（2）若函數(shù)在上連續(xù)，為在上的原函數(shù)，記，則無窮積分收斂和都存在，且。（3）若函數(shù)和都在上連續(xù)可微，且存在，則無窮積分收斂收斂，且，其中。（4）若函數(shù)在上連續(xù)，在（其中為有限數(shù)或）上連續(xù)可導(dǎo)，且嚴(yán)格單調(diào)遞增，則無窮積分收斂積分收斂，且。（5）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若為偶函數(shù)，則收斂收斂，且；若為奇函數(shù)，則收斂收斂，且。提示：注意由換元法可得。二、舉例說明下面關(guān)系不一定成立：1、瑕積分收斂不一定能推出瑕積分；無窮積分收斂也不一定能推出無窮積分收斂；注：定積分的乘法性對反常積分不一定成立。2、無窮積分收斂不一定能推出無窮積分收斂；注：注意與定積分的絕對值性質(zhì)的區(qū)別。3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且收斂，則不一定成

3、立；三、通過下面的問題探索的情況：1、設(shè)函數(shù)定義在上，且在任何上可積，收斂，若存在，則；2、利用1探索：（1）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)，且收斂，則；（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)可導(dǎo)，且與都收斂，則；3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且收斂，則在上一致連續(xù)；4、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且收斂，試探索下面的問題：（1）證明：當(dāng)時，（其中為任意給定的正數(shù)），從而；提示：注意到無窮積分的定義即可。（2）利用（1）和積分第一中值公式證明：在中，存在嚴(yán)格遞增的數(shù)列滿足：，；（3）類似于（1）方法證明：若函數(shù)在上單調(diào)遞增（減），且收斂，則還有。注：注意到第三大題的第2小題（1），（3）表明：（）。提示：不妨設(shè)在上單調(diào)遞增，注意到下面的積分不等式以

4、及無窮積分的定義即可：當(dāng)時，。5、若函數(shù)在（）上連續(xù)可微，且單調(diào)遞增（減），則收斂收斂。提示：利用第三大題的第4小題（3）以及反常積分的分部積分公式。四、仔細(xì)體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分的線性性、區(qū)間可加性和絕對值性質(zhì)（注意體會性質(zhì)的內(nèi)容、含義以及在反常積分?jǐn)可⑿耘袆e中的作用）；理解反常積分絕對收斂和條件收斂的含義；用適當(dāng)性質(zhì)解決下面的問題：1、若無窮積分收斂，無窮積分發(fā)散，則無窮積分發(fā)散；提示：反證法。2、判斷的斂散性；3、利用適當(dāng)性質(zhì)說明：在無窮積分中，當(dāng)同號時，收斂等價于與收斂（即絕對收斂），因此，當(dāng)同號時，斂散性的判別等價于斂散性的判別。五、仔細(xì)體會無窮積分和瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則，并

5、用柯西準(zhǔn)則解決下面的問題：設(shè)函數(shù)，和都定義在上，且它們在任何上可積，若對任意，有，則（1）當(dāng)和都收斂時，也收斂；（2）當(dāng)和都收斂，且時，收斂，且。提示：（1）用柯西準(zhǔn)則；（2）可直接用定義和極限的迫斂性。六、仔細(xì)體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分絕對收斂的各種常用判別方法，熟悉柯西判別法中適當(dāng)冪函數(shù)的兩種常見的選擇手段（等價量的代換手段、與冪函數(shù)變化快慢進(jìn)行比較的手段）；養(yǎng)成在選擇判別法之間，先觀察反常積分的類型，被積函數(shù)是否同號的習(xí)慣。試用絕對收斂的判別法解決下面的問題：判斷下列反常積分的斂散性：1、，（），（）；2、（），（），（），（，）；3、，；4、，。七、仔細(xì)體會并熟練掌握無窮積分收斂性

6、的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，理解這兩個判別法之間的內(nèi)在關(guān)系（阿貝爾判別法可用狄利克雷判別法及無窮積分的性質(zhì)導(dǎo)出），熟悉如何選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q將瑕積分轉(zhuǎn)化為無窮積分。試解決下面的問題：1、判斷下面反常積分的收斂性（在收斂的情況下，如有可能，還要盡可能判斷出是絕對收斂，還是條件收斂）（1），（其中，和為常數(shù)）；（2），；提示：利用（1）或變量替換后再用（1）。（3）；提示：作變量替換化為無窮積分后再用（1）。2、設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（注意此條件蘊(yùn)含了，為什么？），則（1）與都收斂；提示：用狄里克雷判別法。（2）若進(jìn)一步有收斂，則與都絕對收斂；若進(jìn)一步有發(fā)散，則與都條件收斂。提示：類似于第七大題第

7、1小題（1）的方法。（3）若把函數(shù)“在上單調(diào)遞減”改為“在上單調(diào)遞增”，上述結(jié)果是否有變化？注：此問題為第七大題第1小題（1）的一般情形。3、設(shè)函數(shù)在（）上連續(xù)，且收斂，探索和的收斂性。提示：用阿貝爾判別法。八、試討論下列反常積分的斂散性（注意：先正確地判斷類型；再注意混合反常積分?jǐn)可⑿缘暮x）：1、；2、；3、（其中）。九、反常積分的典型計算問題：（注意：在反常積分值的計算中經(jīng)常采用線性性、區(qū)間可加性、以及第一大題中涉及的牛頓萊布尼茨公式、換元法和分部積分法）1、計算瑕積分（）的值；提示：先用線性性，對用適當(dāng)換元法和區(qū)間可加性，其中對再用適當(dāng)換元，。2、利用1計算下列反常積分的值：（1）；（2）；（3）；（4）。提示：（1）用適當(dāng)換元和區(qū)間可加性推出。（2）用分部積分法推出，其中，。（3）用線性性及1，并注意到。（4）用換元及（3）。3、通過計算的方法探索無窮積分與的關(guān)系，并計算出它的值。提示：先用區(qū)間可加性得，再用換元得，從而，表明與無關(guān)。4、計算無窮積分和的值，其中。提示：用分部積分法。5、伏如蘭積分問題：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，按下面的步驟探索反常積分（稱為伏如蘭積分）的值：（1）若存在，則