數(shù)學(xué)分析2選講

1、第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)分析選講2教案） 數(shù)學(xué)分析選講2第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念，收斂判別法。教學(xué)目的：(1)掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念； (2)深刻理解掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法。教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法教學(xué)難點(diǎn)：級(jí)數(shù)的斂散性的柯西判別法教學(xué)過(guò)程一、基本概念定義1 對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和或部分和。定義2，設(shè)為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，若數(shù)列收斂，極限為，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，其和為。若數(shù)列發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散。二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理12.1(柯西收斂準(zhǔn)則)級(jí)數(shù)收斂對(duì)于任給的，存在,對(duì)任意的及自然數(shù)，有 。定理12.2 添加、去掉或改變一個(gè)級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)所得到的新

2、級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的斂散性，但收斂時(shí)，和可能會(huì)發(fā)生變化。定理12.3 收斂的必要條件為。定理12.4 收斂的級(jí)數(shù)的項(xiàng)中可以任意加括號(hào)，所得的新級(jí)數(shù)仍收斂，和不變。三、級(jí)數(shù)收斂的判別法1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義3 若，則稱(chēng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理12.5 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件為它的前項(xiàng)和數(shù)列有上界。定理12.6(比較判別法)對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，存在,當(dāng)有。則 (i)若收斂，則也收斂；(ii)若發(fā)散，則也發(fā)散。定理12.7 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，若，則 (i)當(dāng)時(shí)，和有相同的斂散性；(ii)當(dāng)時(shí)，收斂，也收斂。(iii)當(dāng)時(shí)，發(fā)散，也發(fā)散。定理12.8(比式判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在及常數(shù),(i) 當(dāng)時(shí)有 ，則收斂

3、；(ii) 當(dāng)時(shí)有,則發(fā)散。推論、對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若。則 (i)若，則級(jí)數(shù)收斂； (ii)若，則級(jí)數(shù)發(fā)散； (iii)若，則無(wú)法用此定理判斷。定理12.9 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在,(i)存在，當(dāng)有。則收斂；(ii) 當(dāng)有,則發(fā)散。推論、對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則 (i)若，則級(jí)數(shù)收斂； (ii)若，則級(jí)數(shù)發(fā)散； (iii)若，則無(wú)法用此定理判斷。定理12.10 設(shè)函數(shù)在非負(fù)單調(diào)減少，則與積分具有相同的斂散性。定理12.11(拉貝判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在及常數(shù)， (i)對(duì)一切,有不等式，則級(jí)數(shù)收斂。 (ii) 對(duì)一切,有不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散。推論 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則 (i)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； (ii)

4、時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法定義4 若級(jí)數(shù)的項(xiàng)中正負(fù)交錯(cuò)，則稱(chēng)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理12.12(萊布尼茨判別法)對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，若(i)；(ii)。則級(jí)數(shù)收斂。3、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)定義5 對(duì)于級(jí)數(shù)，若收斂，則稱(chēng)絕對(duì)收斂。若收斂而發(fā)散，則稱(chēng)條件收斂。定理12.13 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。定理12.14(阿貝爾判別法)若 (i)級(jí)數(shù)； (ii)單調(diào)有界。則級(jí)數(shù)收斂。定理12.15(狄利克雷判別法)若(i) 的部分和數(shù)列有界；(ii) 單調(diào)趨向于零。則級(jí)數(shù)收斂。四、重要數(shù)列的斂散性1、數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。2、對(duì)于級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。注：要證明一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性1、區(qū)分級(jí)數(shù)的類(lèi)型(1)對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)

5、考慮應(yīng)用定理的順序?yàn)楸仁脚袆e法或根式判別法拉貝判別法比較判別法積分判別法阿貝爾判別法或狄里克雷判別法柯西收斂準(zhǔn)則(2)對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茨判別法阿貝爾判別法或狄里克雷判別法柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則(3)一般級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂判別法柯西收斂準(zhǔn)則阿貝爾判別法或狄里克雷判別法五、習(xí)題例1設(shè)為遞減正項(xiàng)數(shù)列，則與級(jí)數(shù)具有相同的斂散性。 證明：設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為。由條件可知, (1), (2)若收斂，得有界，由(2)知有界，即收斂；若發(fā)散，得無(wú)上界，由(1)zhi1無(wú)上界，即發(fā)散。例2 證明收斂。證明：與之間有個(gè)數(shù)。 ，顯然有： 。所以。令，知。所以 ，又因?yàn)?，所以。?duì)任意的，存在,當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，存在，

6、使得。對(duì)于任意的自然數(shù)， 。得收斂。例3 證明：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且單調(diào)，則。證明：由于非負(fù)單調(diào)知，單調(diào)減小。對(duì)任給的，存在，當(dāng)時(shí)有。又由于 。，所以。 19第十三章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)分析選講2教案）第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，一致收斂判別法。教學(xué)目的：(1) 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念； (2)理解掌握函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法教學(xué)難點(diǎn)：狄里克雷和阿貝爾判別法的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程 一、函數(shù)列1、函數(shù)列的定義下列形式稱(chēng)為一個(gè)函數(shù)列其中叫做函數(shù)列的第項(xiàng)。此函數(shù)列可簡(jiǎn)記為2、函數(shù)列的收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn) 設(shè)函數(shù)列的定義域的

7、交集為,對(duì)于,若數(shù)列收斂，則稱(chēng)為函數(shù)列的一個(gè)收斂點(diǎn)。的所有收斂點(diǎn)的集合叫做的收斂域。 設(shè)的收斂域?yàn)?定義函數(shù). ， .稱(chēng)函數(shù)為的極限函數(shù)，記為 ，例1 ，。知當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不存在。故收斂域?yàn)?，極限函數(shù)為 3、函數(shù)列的一致收斂性 定義1 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)均在數(shù)集上有定義，若對(duì)任給的，總存在,當(dāng)時(shí)，對(duì)中所有均有 。記為。 顯然若，則。4、一致收斂判別法 定理1（柯西收斂準(zhǔn)則）在區(qū)間上一致收斂的充要條件為：若對(duì)任給的，總存在,當(dāng)時(shí)，對(duì)中所有均有 。 定理2在區(qū)間上一致收斂于的充要條件為： 推論：在區(qū)間上不一致收斂于的充要條件為：存在點(diǎn)列,使得 。 定義2 若在區(qū)間的任意一個(gè)閉區(qū)間上一致收斂

8、，稱(chēng)在上內(nèi)閉一致收斂。5、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì) 定理3若函數(shù)列滿(mǎn)足 (i) 在區(qū)間上連續(xù)； (ii) 在上一致收斂于，則在上連續(xù)。 定理4若函數(shù)列滿(mǎn)足 (i) 在區(qū)間上連續(xù)； (ii) 在上一致收斂于，則在上的任何一個(gè)閉區(qū)間可積，且。即 。 定理5若函數(shù)列滿(mǎn)足 (i) 在區(qū)間上有收斂點(diǎn)； (ii) 在區(qū)間上連續(xù)； (iii) 在上一致收斂，則在上收斂，極限函數(shù)在上可導(dǎo)，且。6、函數(shù)列一致收斂和非一致收斂的證明方法主要用定理2步驟：(1)、求極限函數(shù)，在求極限時(shí)，看做定值，是變量。(2)、求，這里看做定值，為變量。若的最大值易求為，則判斷是否為0，若的最大值難求或無(wú)法求出，可將放大或縮小。想證明

9、一致收斂，放大；若想證明非一致收斂，縮小。 比如想證明一致收斂，此時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：(i) 的最大值易求，設(shè)，(ii) 證明非一致收斂方法在不一致收斂于，對(duì)任意,存在，使得例1設(shè)。證明在上一致收斂。證明：，（）。，所以，在上一致收斂于。 例2證明在上非一致收斂。證明：，存在，對(duì)任意，取.得,所以在上非一致收斂。例3 確定函數(shù)列在上的一致收斂性。解：， 。得：，且為最大值點(diǎn)。 ，而，所以在上的一致收斂。例4 當(dāng)為何值時(shí)，在上一致收斂。 解：，當(dāng)時(shí)，所以。，可得：時(shí)，時(shí)，即在點(diǎn)取最大值 。所以當(dāng)時(shí)函數(shù)列一致收斂。例5、若在上可積，則在上一致收斂。證明：因?yàn)樵谏峡煞e，故在有界，設(shè). ， ，得 。即極限函數(shù)為。 。所以在上一致收斂。例6（Dini定理）設(shè)函數(shù)列在上單調(diào)且收斂于連續(xù)函數(shù)，若中的每一個(gè)函數(shù)在上收斂，證明在上一致收斂于。證明：不妨設(shè)在上單調(diào)減小，即，有。令，則。 若不