數(shù)學建模2011年c試題

1、企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革論文摘要為了適應社會主義市場經(jīng)濟體制改革的需要，同時也是為了應對老齡化社會的風險,本文通過差分阻滯模型，模型對職工未來年平均工資進行預測，并在此基礎上對企業(yè)退休職工養(yǎng)老金的相關數(shù)據(jù)進行計算。 對于問題一，采用符合增長特征的阻滯模型為預測模型，且根據(jù)我國的經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略目標和目前我國職工工資的實際發(fā)放情況以及現(xiàn)階段中等發(fā)達國家的職工年平均工資，利用經(jīng)驗估計方法確定工資最大值=20萬元，再利用差值作圖求出方程系數(shù)0.0000007，即求得差分方程式。利用山東省職工年平均工資的歷史數(shù)據(jù)，matlb，擬合出模型的參數(shù)。最后利用方程式和matlab預測出的20112035年山東

2、省職工歷年平均工資與我國的國情基本吻合。在此模型的檢驗圖中我們可發(fā)現(xiàn)19782010年的工資預測值與實際值無太大差別。對于問題二計算出各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，再使用加權平均得出繳費指數(shù)參考值。對于問題三，利用問題二的結果，發(fā)現(xiàn)該職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領取養(yǎng)老金到65歲、70歲、74歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡，并且出現(xiàn)缺口。參考附錄3的計發(fā)月數(shù)表列出題中所給3種情況，再利用matlab判斷3種情況是否出現(xiàn)缺口并求得缺口及維持養(yǎng)老保險基金收支平衡時的退休年齡。對于問題四，既要達

3、到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，我們提出以下措施:適當增加繳費年限;適當提高征收比例;穩(wěn)定物價，保持工資的平穩(wěn)增長；適當?shù)靥岣吣昀?建立專門部門管理職工上繳個人賬戶養(yǎng)老金，為基金做投資增加基金收益率。關鍵詞：差分阻滯模型 養(yǎng)老金 收支平衡 matlab Excel1. 問題重述養(yǎng)老金也稱退休金，用于保障職工退休后的基本生活需要。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險實行“社會統(tǒng)籌”與“個人賬戶”相結合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按一定比例（8%）繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險基金。個人賬戶儲存額以銀行當時公布的一年期存款

4、利率計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關。近30年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平。問題一，對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出簡化、合理的假設，并通過山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)，預測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二，根據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，并把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，計算該企業(yè)職工自2000年起分別從30

5、歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲）各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三，假設該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。問題四，如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，你認為可以采取什么措施。請給出你的理由。2.問題的分析問題一，先對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出客觀、合理的假設，然后然后利用Excel分別作出1978-2011年份與工資的散點

6、圖及關于差值的散點圖，先求出差分方程，再求出20112035年的工資預測值。問題二，要用各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比作為作職工繳費指數(shù)的參考值，為了讓數(shù)據(jù)更具有合理性，使用加權平均得出繳費指數(shù)參考值，再算出替代率。問題三，結合前兩問，先判斷不同情況下是否會出現(xiàn)缺口，再計算出缺口。問題四，結合問題二和問題三對比不同情況下所求的的數(shù)據(jù)并進行分析，得出會影響替代率的因素，提出合理措施。3.模型假設與符號說明3.1模型的假設根據(jù)前三十年我國經(jīng)濟發(fā)展狀況和經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略目標，我國的經(jīng)濟增長速度在2010年前越來越快，假設2010年后經(jīng)濟增長速度越來越慢，最后趨向平穩(wěn)；假設國家未來宏觀調控政策好，社

7、會因素穩(wěn)定，國家沒有戰(zhàn)爭和暴動，國民經(jīng)濟穩(wěn)步增長；假設工資水平與經(jīng)濟水平呈同方向增長；假設職工在一年內的月工資不會發(fā)生變動；假設個人工資的增長是由于職工個人的特長和經(jīng)驗；銀行利率沒有發(fā)生變化，始終以年利率3%進行計算。3.2符號的說明符號說明表示21世紀中葉平均工資的最大值表示職工第年度的年平均工資表示第+1年度與第年度的年平均工資差值表示（-）的值表示與擬合函數(shù)的斜率表示個人賬戶存儲額表示基礎養(yǎng)老金表示職工退休前職工上年度的年平均工資表4.模型的建立與求解4.1 問題1的模型建立與求解 對年份和平均工資作散點圖：根據(jù)年份和平均工資做出了1978-2025年的散點圖，二者散點圖的曲線關系如下圖

8、，（數(shù)據(jù)見附件1，利用Excel作圖）平均工資0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 197519801985199019952000200520102015年份平均工資平均工資 圖 ：職工年平均繳費工資的基本形狀從散點圖中可以看出，工資的增長速率越來越快，顯然由于差分阻滯不可能越來越快，再根據(jù)我國的經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略目標和過去發(fā)達國家的經(jīng)濟水平和工資水平的增長規(guī)律，未來我國職工工資增長速度會越來越慢最終達到一定速度穩(wěn)步增長。由此，考慮使用差分阻滯增長模型來預測未來工資的數(shù)據(jù)?？梢酝茰y出2010后職工年平均工資增長速率會逐漸趨以穩(wěn)定。因此，我們考慮使用差

9、分阻滯增長模型來預測未來的職工年平均工資。差分阻滯模型的基本模式是： 公式（1）參數(shù)估計根據(jù)我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平，因此對于參數(shù)的估計，通過上網(wǎng)查閱資料，查閱目前中等發(fā)達國家的工資水平可知，現(xiàn)在的中等發(fā)達國家年平均工資約為 2.8萬美元即人民幣20萬元。因此可將20萬元作為本方程中的。由差分阻滯的基本模式： = 公式（2）根據(jù)附件1中1978-2010年的年平均工資及預測的值利用Excel做出與的散點圖如下圖圖2再利用matlab對圖2中的數(shù)據(jù)進行擬合求得斜率 據(jù)所預測的值與得出的值代入差分阻滯模型得： 公式即得出關于的通項公式為：

10、公式 利用matlab對2011-2035年的職工年平均工資進行預測如下表（程序見附錄中問題一）年 份2011201220132014201520162017平均工資35844.2439963.0744439.9649279.1254478.360027.7465909.29年 份2018201920202021202220232024平均工資72095.7778550.7285228.6792075.9399031.98106031.3113005.9年 份2025202620272028202920303031平均工資119887.5126610.6133114.9139347.31452

11、63.5150829.4156020.9年 份2032203320342035平均工資160824165234.3169255.5172898表：20112035年的職工年平均工資預測值根據(jù)各年的職工年平均工資預測值利用matlab擬合得到如下圖的擬合曲線預測的年平均工資的增長0500001000001500002000002500001970198019902000201020202030204020502060年份年平均工資系列1圖 4.2問題二的求解根據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。該企業(yè)平均工資：20-24歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：1726.95

12、/2580.23=0.67;25-29歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2077.00/2580.23=0.80;30-34歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2535.12/2580.23=0.98;35-39歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2752.21/2580.23=1.07;40-44歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：3026.02/2580.23=1.17;45-49歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：3268.04/2580.23=1.27;50-54歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2567.07/2580.23=0.99;55-59歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2980.20/2580.

13、23=1.16;綜上情況得各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比見表3：年齡段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59工資比0.670.800.981.071.171.270.991.16表3 各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值, 該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），職工退休時的養(yǎng)老金由兩部分組成： 養(yǎng)老金（A）=基礎養(yǎng)老金（B）+個人賬戶養(yǎng)老金（D)個人賬戶養(yǎng)老金（D）=個人賬戶儲存額（D）÷計發(fā)月數(shù)（y）基礎養(yǎng)老金（B）=（全省上年度在崗職工

14、月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費工資）÷2×繳費年限×1%本人指數(shù)化月平均繳費工資=全省上年度在崗職工月平均工資×本人平均繳費指數(shù) ；實發(fā)工資，則應發(fā)工資。（1）、30歲繳費到55歲：個人賬戶養(yǎng)老金：30歲到55歲的職工繳費指數(shù)，利用加權平均得：基礎養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率：；編程計算得：=36.38%程序見附錄（3）（2）、30歲繳費到60歲： 個人賬戶儲存額：個人賬戶養(yǎng)老金：30歲到60歲的職工繳費指數(shù)，利用加權平均得：基礎養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率：；同理計算可得：=45.57%（3）、30歲繳費到65歲：個人賬戶儲存額：個人賬戶養(yǎng)老金：

15、30歲到65歲的職工繳費指數(shù)，利用加權平均得：基礎養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率:；同理計算可得：=59.37%（4）、40歲繳費到55歲：個人賬戶儲存額:個人賬戶養(yǎng)老金:40歲到55歲的職工繳費指數(shù)，利用加權平均得： 基礎養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率:；同理計算可得：=24.09%（5）、40歲繳費到60歲：個人賬戶儲存額:個人賬戶養(yǎng)老金:40歲到60歲的職工繳費指數(shù)，加權平均得：基礎養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率；同理計算可得：=32.64%（6）、40歲繳費到65歲：個人賬戶儲存額:個人賬戶養(yǎng)老金:40歲到65歲的職工繳費指數(shù)，加權平均得：基礎養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率；同理計算可

16、得：=44.05%綜上得到所有情況的替代率，如表4個人賬戶儲存額：參保年齡退休年齡55歲60歲65歲30歲36.38%45.57%59.37%40歲24.09%32.64%44.05%表4 各種情況的替代率4.4問題4的求解對于本題所給出的問題既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，我們就必須得考慮影響替代率的因素，因此我們可以根據(jù)問題二求得的結果及在求解過程中所用到的公式來進行分析:從表的數(shù)據(jù)中中我們可以發(fā)現(xiàn)當從三十歲開始繳納保險金時，退休較晚替代率較高；當從四十歲開始繳納養(yǎng)老保險金時，也是如此；而且還可以發(fā)現(xiàn)從三十歲開始交保險金，在每一年齡段所求得的替代率大于從四十歲開始交保險金

17、所求得的每一年齡段的替代率，所以從中我們可以得出影響替代率的因素之一為繳費年限，我們可以通過適當增加繳費年限來實現(xiàn)目標替代率由題中我們可知替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。從表的數(shù)據(jù)中我們替代率與繳費年限有一定的影響，而替代率越大，缺口越大，因而既要達到目標替代率又要維持養(yǎng)老白線基金的收支平衡可以適當?shù)脑黾永U費年限，從而達到目標替代率，維持養(yǎng)老保險基金的收支平衡。在此公式，個人賬戶存儲額：中，我們可以通過適當?shù)奶岣呃⒖梢蕴岣邆€人賬戶存儲額，從而提高保險金，進而達到目標替代率。在社會統(tǒng)

18、籌基金中，可以通過適當?shù)靥岣哒魇毡壤齺硖岣唣B(yǎng)老保險金，從而達到目標替代率。穩(wěn)定物價，保持職工工資穩(wěn)定增長。6.模型結果的分析與檢驗6.1模型結果的分析問題一，阻滯增長模型的模擬數(shù)據(jù)與2010前的實際數(shù)據(jù)，雖有一定的誤差，但誤差并不大：2010年后預測的工資數(shù)據(jù)也比較符合我國的經(jīng)濟戰(zhàn)略目標和經(jīng)濟發(fā)展現(xiàn)實。模型二中企業(yè)各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資之比采用加權平均法所算的數(shù)據(jù)來作為職工繳費指數(shù)的參考值比較合理。問題三，在問題二的基礎上，根據(jù)附件三再次利用matlab編程求的缺口，很方便，但還是建立在前兩問的基礎上，所以問題一的數(shù)據(jù)處理就顯得至關重要了。問題四，通過分析問題二及問題三中求得的數(shù)據(jù)可以

19、發(fā)現(xiàn)影響替代率的因素，從而可制定出達到目標替代率可實施的適當措施。從養(yǎng)老金計發(fā)模式及替代率計算公式可以看出，在一定個人賬戶記賬利率和社評工資增長條件下，基礎養(yǎng)老金與繳費指數(shù)和繳費年限呈遞增關系，也就是說當繳費指數(shù)與繳費年限確定了，也就確定了基礎養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金水平，進而確定了養(yǎng)老金結構。6.2模型結果的檢驗本題中主要針對問題一建立了差分阻滯模型一個模型，所以在此只需對這個模型進行檢驗即可。根據(jù)所求得的差分方程利用matlab(程序見附錄中問題一)可以重新計算出19782010年間的職工年平均工資預測值，再結合在此期間的實際值我們可以做出職工年平均工資的預測值、職工年平均工資的實際值和以年

20、計時間的擬合圖像如下圖：8.模型的評價優(yōu)點：在模型方面，運用差分阻滯模型既可預測出未來值，又可預測出現(xiàn)階段的值，與現(xiàn)階段已知的值中可以做擬合對比，此后發(fā)現(xiàn)并無太大誤差，可以充分說明預測的未來值的可靠性，因為后邊的幾問求解都是建立在問題一的基礎之上，所以我認為本文中的一大優(yōu)點就是所建立的差分阻滯模型了；在算法方面，從問題一到問題三所有的計算中都是通過matlab程序來實現(xiàn)，結果準確，計算方便。缺點：對于問題二，沒有充分發(fā)揮繳費指數(shù)參考值的作用，僅僅采用了附件三中所給的養(yǎng)老金計算方法求出替代率，如果再利用參考值求解，讓兩者進行對比，更有說服力；對于模型的推廣方面，沒有確切的數(shù)值充分說明可以應用所列

21、舉的例子中。9.參考文獻1 姜啟源. 數(shù)學模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社，1999.2 韓中庚. 數(shù)學建模方法及其應用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2009.3 韓中庚. 長江水質綜合評價與預測的數(shù)學模型J. 工程數(shù)學學報，2005,22（7）：65-75.4CUMCMZU組委會CUMCM問題EB/OLmcm05/Problems2005a.asp，2005-9-175 國務院關于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險制度的決定,20056 姜啟源等，數(shù)學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003附錄：以年計的時間年份工資觀測值預測值11978566112879644665662197

22、963212600057611365031980745148444975107404198175515042997514840519827691532086392095061983789157177479196109071984985196029775125124081985111022076790020314109198613132608760311151610101987142828356081635418301119881782353224476138208012198919203803136002302370131990215042537750014227001419912292453

23、14673630930701519922601513434799548350016199331496198837991189398017199443388487817568074530181995514510030000006645140191996580911280555194325850201997624112092499196136640211998685413238226848027540221999765614725856641116856023200087721677452016123597002420011000719012599511367109902520021137421454321241193124502620031256723554705111765140802720041433226609937762282159202820051661430467750042614179702920061922834758840163616202603020072284440469516643560228103120082640445836287843284256303220092968850562226562386287603320103207432210342011359