第3章 §1 1.1　歸納推理

1、.1歸納與類(lèi)比11歸納推理1了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理(重點(diǎn))2了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理歸納推理閱讀教材P53P55“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題1歸納推理的定義根據(jù)一類(lèi)事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類(lèi)事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，這種推理方式稱為歸納推理2歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，這種估計(jì)屬于歸納推理()(2)由個(gè)別到一般的推理稱為歸納推理()(3)由歸納推理所得到的結(jié)論一定是正確的(

2、)【答案】(1)(2)(3)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型,數(shù)式中的歸納推理(1)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28B76C123 D199(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，則f3(x)的表達(dá)式為_(kāi)，猜想fn(x)(nN)的表達(dá)式為_(kāi).【精彩點(diǎn)撥】(1)記anbnf(n)，觀察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之間的關(guān)系，再歸納得出結(jié)論(2)寫(xiě)出前n項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納猜

3、想結(jié)果【自主解答】(1)記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表達(dá)式，歸納fn(x)(nN)【答案】(1)C(2)f3(x)fn(x)(nN)已知等式或不等式進(jìn)行

4、歸納推理的方法：(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論再練一題1應(yīng)用歸納推理猜測(cè)_. 2n個(gè)1n個(gè)2【解析】n1時(shí)，有3，n2時(shí)，有33，n3時(shí)，有333；猜想：【答案】n個(gè)3,數(shù)列中的歸納推理(1)在數(shù)列an中，a11，an1，則a2 017等于()A2BC2 D1(2)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，如圖311: 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720191】圖311由于圖中1,3,6,10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試

5、結(jié)合組成三角形數(shù)的特點(diǎn)，歸納第n個(gè)三角形數(shù)的石子個(gè)數(shù)【精彩點(diǎn)撥】(1)寫(xiě)出數(shù)列的前n項(xiàng)，再利用數(shù)列的周期性解答(2)可根據(jù)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律歸納出三角形數(shù)的形成規(guī)律，如11,312,6123；也可以直接分析三角形數(shù)與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而歸納出第n個(gè)三角形數(shù)【自主解答】(1)a11，a2，a32，a41，數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，2 01767231，a2 017a11.【答案】D(2)法一：由11，312，6123，101234，可歸納出第n個(gè)三角形數(shù)為123n.法二觀察項(xiàng)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系特點(diǎn)如下：項(xiàng)數(shù)1234對(duì)應(yīng)項(xiàng)分析：各項(xiàng)的分母均為2，分子分別為相應(yīng)項(xiàng)數(shù)與相應(yīng)項(xiàng)數(shù)加1的積歸納：第n個(gè)三角形數(shù)的

6、石子數(shù)應(yīng)為.數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問(wèn)題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和(1)通過(guò)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式再練一題2已知數(shù)列an滿足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可歸納猜想出an2n1(nN)探究共研型,幾何圖形中的歸納推

7、理探究1在法國(guó)巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2,3,4，堆最底層(第一層)分別按圖312所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，試求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值圖312【提示】觀察圖形可知，f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20.探究2上述問(wèn)題中，試用n表示出f(n)的表達(dá)式【提示】由題意可得：下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3

8、)10；f(n)f(n1).將以上(n1)個(gè)式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n).有兩種花色的正六邊形地面磚，按圖313的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()圖313A26 B31C32 D36【精彩點(diǎn)撥】解答本題可先通過(guò)觀察、分析找到規(guī)律，再利用歸納得到結(jié)論【自主解答】法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65(61)31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無(wú)紋正六邊形需6個(gè)有紋正六邊形圍繞

9、(圖案1)外，每增加一塊無(wú)紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每?jī)蓧K相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為65(61)31.【答案】B歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略：通過(guò)一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需把形狀問(wèn)題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理解答該類(lèi)問(wèn)題的一般策略是：再練一題3根據(jù)圖314中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為_(kāi).圖314【解析】分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想，圖形到中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因?yàn)?223,5233,13243,29253

10、，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為2813509.【答案】509構(gòu)建體系1用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖315所示：圖315按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2B8n2C6n2 D8n2【解析】a18，a214，a320，猜想an6n2.【答案】C2若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A至多等于3B至多等于4C等于5 D大于5【解析】n2時(shí)，可以；n3時(shí)，為正三角形，可以；n4時(shí)，為正四面體，可以；n5時(shí)，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)相等，不可能【答案】B3經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：2，2，2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：_.【答案】當(dāng)ab20時(shí)，有2，a，bR4觀察下列等式：11；2349；3456725；4567891049.照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi).【解析】由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281.【答案】5678910111213815有以下三個(gè)不等式：(1242)(9252)(1945)2，(6282)(22122)(62812)2，(202102)(102272)(20102107)2.請(qǐng)你觀察這三個(gè)不等式，猜想出一個(gè)一