微積分期末試卷考試必做

1、一、填空題（每小題2分，共16分）1、 . 2、 .3、設(shè)，則函數(shù)在處的全微分為 .4、D是由所圍成區(qū)域，則 .5、當(dāng)a滿足 時(shí)，條件收斂.6、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.7、交換積分次序后 .8、微分方程 的通解為 .二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1、下列廣義積分收斂的是（ ）.（A） （B） （C） （D）2、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，積分區(qū)域，則可化為（ ）.（A） （B） （C） （D）3、設(shè), 則（ ）.（A）（B）（C）（D）4、極限等于（ ）.（A）1（B）2 （C）4（D）85、微分方程的通解是( ).（A）（B）（C）（D）三、計(jì)算題(一)（每小題5分，共20分）1、已知, 求.2、設(shè)是

2、由方程確定的隱函數(shù)，求.3、判斷的斂散性；若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂.4、求微分方程 的通解. 四、計(jì)算題(二)（每小題7分，共28分）1、求 .2、計(jì)算 .3、求冪級(jí)數(shù) 的收斂域及和函數(shù).4、求微分方程 的通解.五、應(yīng)用題（每小題8分，共16分）1、設(shè)某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷(xiāo)售單價(jià)分別為10萬(wàn)元、9萬(wàn)元。若生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本為 萬(wàn)元。又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，問(wèn)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大？2、經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,該切線與曲線及x軸圍成平面圖形D.求：（1）D的面積；（2）D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 六、證明題（5分）設(shè)在上可微

3、，且，試證存在，使.杭州商學(xué)院08/09第二學(xué)期微積分(下)試卷(A)參考答案一、1、2 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、A三、1、解：1、設(shè)，兩邊從0到2積分, 即,所以 .（5分）2、解：方程兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)， （3分）方程兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)，（5分）3、解： 因?yàn)?，而發(fā)散，故原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 （2分）原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)下降趨向于零，故原級(jí)數(shù)條件收斂.（5分）.4、解法1 分離變量并兩邊積分,得 （2分）（4分）故原方程的通解為（5分） 解法2 原方程寫(xiě)為,是一階線性微分方程,其通解為 （5分）四、1、解：令， .（7分）2、解：交換積分次序， （7分）3、解：收斂半徑端點(diǎn)處, ,收斂；,發(fā)散,收斂域?yàn)?（3分）設(shè),逐項(xiàng)求導(dǎo)得 ,因?yàn)?所以 .（7分）4、解：特征方程 ,特征根為，（2分）對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,（4分）由于不是特征根，故設(shè)原方程的特解為,代入原方程解得，即.所以原方程的通解為 （7分）五、1、解：利潤(rùn)為 約束條件： （2分）設(shè)拉格朗日函數(shù) ，令 ，解得，由實(shí)際問(wèn)題，此時(shí)利潤(rùn)最大。（8分）或解：，代入得：令2、解：設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為 ,因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn),解得，從而，得切點(diǎn)為. （2分）(1) 所求面積為 . （5分）(2) 所求面積為