實對稱矩陣的對角化（課堂PPT）

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011. .1 1一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、向量的長度及性質(zhì)二、向量的長度及性質(zhì)三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法四、正交矩陣四、正交矩陣五、對稱矩陣的性質(zhì)五、對稱矩陣的性質(zhì)六、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法六、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法七、小結(jié)七、小結(jié).Page 2定義定義1 1維向量維向量設(shè)有設(shè)有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx內(nèi)積內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì).Page 3說

2、明說明1 維向量的內(nèi)積是維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義 4 nn ., :, 2 yxyxyxT 為為內(nèi)積可用矩陣記號表示內(nèi)積可用矩陣記號表示向量向量都是列都是列如果如果內(nèi)積是向量的一種運算內(nèi)積是向量的一種運算.Page 4內(nèi)積的運算性質(zhì)內(nèi)積的運算性質(zhì) :,為為實實數(shù)數(shù)維維向向量量為為其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時時有有且且當當.Page 5定義定義2 2 非非負負性性. 1齊齊次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3

3、 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：向量的長度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時時當當時時當當;xx .yxyx 二、向量的長度及性質(zhì)二、向量的長度及性質(zhì)單單位位向向量量：1, .xx 當當時時 稱稱為為單位向量單位向量.Page 6 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當當 正交正交., 0,與與任任何何向向量量都都正正交交則則若若由由定定義義知知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量

4、組量組為正交向量組三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法.Page 7, 0021111 T由由.01 從從而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21線性無關(guān)線性無關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線性無關(guān).線性無關(guān)., , , ,則則非零向量,非零向量,是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理rrn 2121 1.Page 8nnRnR定定義義3 3 歐歐幾幾里里得得空空定定義義了了內(nèi)內(nèi)積積的的實實向向量量空空間間稱稱為為 維維( (E

5、Eu uc cl li id de ea an n s sp pa ac ce e) )，在在間間中中，規(guī)規(guī)( (范范1 1) )正正交交由由單單位位向向組組 量量構(gòu)構(gòu)成成的的正正交交組組叫叫做做( (或或標標準準正正交交組組) )；4 4 規(guī)范正交基規(guī)范正交基12,0,(,)1,nnijijnRijij (2)(2)稱稱含含有有 個個向向量量的的規(guī)規(guī)范范正正交交組組(II)(II) 為為的的一一個個( (或或規(guī)規(guī)范范正正交交基基標標準準正正交交) )，即即 (II) (II)基基滿滿足足. . L L.Page 9.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如

6、例如 . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為所所以以Reeee.Page 10.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基也為也為R.Page 11（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,1112122bbbabab 12,ra aaV若若為為向向量量空空間間 的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組L L5 5 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法1212121212 ,.rrrrrVVe eee ee 設(shè)

7、設(shè)是是向向量量空空間間 的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組 要要求求 的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基 就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的單單位位向向量量使使與與等等價價 這這樣樣一一個個問問題題 稱稱為為把把這這個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組規(guī)規(guī)范范正正交交化化L LL LL LL LL L.Page 12111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等價價與與且且兩兩兩兩正正交交那那么么rrraabbbb（2）單位化單位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer222321

8、113133,bbbabbbbabab .Page 13例例1 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程.Page 142

9、22321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化，再單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe.Page 15.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 例例2解解.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為. 0,

10、 0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程.Page 16把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a.Page 17 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量和的列向量和行向量都是標準（規(guī)范）正交基行向量都是標準（規(guī)范）正交基AA證明證明TAEA E 定義定義4 4 . , 1正正交交矩矩陣陣為為稱稱則則即即滿滿足足階階方方陣陣若若AAAEAAAnTT 定理定理2 211211111211222221222121

11、2nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 四、正交矩陣四、正交矩陣.Page 18 1212,TTnTnE 121111222212TTTnTTTnTTTnnnnE 1,;,1,2,0,Tijijiji jnij 當當當當.Page 19又又由由定定義義知知正正交交正正交交TAA的的列列向向量量組組是是標標準準正正交交基基, ,TA的的行行向向量量組組是是標標準準正正交交基基. .A12,n 是是標標準準正正交交基基，.Page 20定理定理3 3對稱矩陣的特征值為實數(shù)對稱矩陣的特征值為實數(shù). .證明證明, 對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為復(fù)復(fù)向向量量的的特特征征值值為為

12、對對稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx 五、對稱矩陣的性質(zhì)五、對稱矩陣的性質(zhì)說明：以下所提到的對稱矩陣，除非特別說說明：以下所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣明，均指實對稱矩陣, 的的表表示示xx共共軛軛復(fù)復(fù)向向量量.Page 21于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因為但因為 , 0 , 即即.是實數(shù)是實數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以.P

13、age 22定理定理3 3的意義的意義 , ()0,0,.iiiAAE xAE 由由于于對對稱稱矩矩陣陣 的的特特征征值值為為實實數(shù)數(shù) 所所以以齊齊次次線線性性方方程程組組是是實實系系數(shù)數(shù)方方程程組組 由由知知必必有有實實的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 從從而而可可以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特向向量量取取征征實實向向量量.Page 2312121212 ,.Apppp 定定理理4 4設(shè)設(shè)是是對對稱稱矩矩陣陣的的兩兩個個特特征征值值是是對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量 若若則則 與與 正正交交證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對稱對稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 221

14、21211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT.Page 24 , , (), .AnArAER AEnrr 設(shè)設(shè)為為 階階是是 的的特特征征多多項項式式的的 重重根根 則則矩矩陣陣的的秩秩從從而而對對應(yīng)應(yīng)特特征征值值恰恰有有個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的對對稱稱矩矩定定理理5 5特特征征向向量量陣陣1 , .AnPPAPAn 設(shè)設(shè) 為為 階階對對稱稱矩矩陣陣 則則必必有有正正交交矩矩陣陣使使其其中中是是以以 的的個個特特征征值值為為對對角角元元素素的的定定6 6對對角角矩矩陣陣理理證明證明,21s 它們的重數(shù)依次為它們

15、的重數(shù)依次為srrr,21).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理3（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定理理5( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A.Page 25,21知知由由nrrrs 由定理由定理4知知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交， (1,2, ), ,.isriiri 對對應(yīng)應(yīng)特特征征值值恰恰有有個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的把把它它們們即即得得 個個實實特特征征向向量量正正交交單單位位正正交交的的特特化化單單位位化化征征向向量量并并 PPAPP11.,11個個特特征征值值的的是是恰恰個個個個的的對對角

16、角元元素素含含其其中中對對角角矩矩陣陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個個.n故這故這 個單位特征向量兩兩正交個單位特征向量兩兩正交.n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P.Page 26根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：六、利用正交矩陣將對稱矩陣六、利用正交矩陣將對稱矩陣 對角化的方法對角化的方法將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求求出出由由AxEAi 1.;的特征值的特征

17、值求求A.Page 27解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得220212 ,020A 例例3 3 對下列實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣為對角陣.APP1 P第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ).Page 28 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得得由由對對, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對對, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122

18、.Page 29 得得由由對對, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故故它它們們必必兩兩兩兩正正交交的的特特征征向向量量個個不不同同特特征征值值的的是是屬屬于于由由于于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令.Page 30,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則.Page 311 1將一組極大無關(guān)組規(guī)范正交化的方法：將一組極大無關(guān)組規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將極大無關(guān)組正交化，先用施密特正交化方法將極大無關(guān)組正交化，然后再將其單位化然后再將其單位化 ;11TAA ;2EAAT ;3單單位位向向量量的的列列向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A .4單單位位向向量量的的行行向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A七、小結(jié)七、小結(jié)2 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：A.Page 323.對稱矩陣的性質(zhì)：對稱矩陣