大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫(附答案)

1、選擇題（3分10）1 x1.點(diǎn) Mi2,3,1 到點(diǎn) M 2 2,7,4 的距離 M1M2A.3B.4C.5D.62.向量ai 2j k,b則有（A. a / bB.a bC. a,bD. ： a,b3.函數(shù)y的定義域是A. x, y 1B. x,y 1C. x, y 1D x, y 14.兩個(gè)向量a與b垂直的充要條件是（A. a b 0 B. ab 0 C. a bD. a35.函數(shù)z x3xy的極小值是（A.2B.C.1D.6.設(shè)zxsin y1,42A.2B.,22D. 27 .若p級(jí)數(shù)1,4收斂, n 1 npA. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.哥級(jí)數(shù)n的收斂域?yàn)椋ˋ.

2、 1,11,1C. 1,1D.1,19.哥級(jí)數(shù)n在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是1A.B.2C.1 x1D.2 x4x 2z 5 0確定，求一z,-z x y5.求微分方程y 3y e2x在yx 010.微分方程xyyln y 0的通解為（）xx _xcxA. y ce B. y e C. y cxe D. y e二.填空題（4分5）B 2, 1,1，則此平面方程為1 .一平面過點(diǎn) A 0,0,3且垂直于直線 AB,其中點(diǎn)2 .函數(shù)z sin xy的全微分是2 、一 3 2八3,一 Z3 .設(shè) z x y 3xy xy 1 ,貝U x y4 .的麥克勞林級(jí)數(shù)是2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解為三

3、.計(jì)算題（5分6）uz z1 .設(shè) z e sin v,而 u xy, v x y ,求一,.x y2_22 .已知隱函數(shù)z z x, y由萬程x 2y3 .計(jì)算sin v'x2 y2d ,其中 D : 2 x2 y2 4 2.D4 .如圖，求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R為半徑）0條件下的特解四應(yīng)用題（10分2） .3 、.、 .才能使用料最省?1.要用鐵板做一個(gè)體積為 2 m的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),1且曲線過點(diǎn) 1,-32.1. 線y f x上任何一點(diǎn)的切線斜率等于自原點(diǎn)到該切點(diǎn)的連線斜率的2倍,求此曲線方程試卷1參考答案1 .選擇題 CBC

4、AD ACCBD2 .填空題1.2x y 2z 6 0.2. cos xy ydx xdy_ 2_2.3.6x y 9y 14.0 2n1n nrx5. yC1C2x e2x三.計(jì)算題z1.xexyysin xy cos x yz xy,e xsin x y cos x y y2yz 1223. d sin d03x5. y e2xe四應(yīng)用題1 .長、寬、高均為當(dāng)2m時(shí)，用料最省2 .y左3選擇題（3分10）1.點(diǎn) Mi 4,3,1 , M2 7,1,2A. .12B. 132.設(shè)兩平面方程分別為高數(shù)試卷2 （下）的距離M1M 2C. 142y 2zD. 155 0 ,則兩平面的夾角為（A.6

5、B.一4C. 一3D. 一23.函數(shù) z arcsin的定義域?yàn)椋ˋ. x, y 0B.x,y 0y2 1C. x, y 0D.x, y 04.點(diǎn) P 1,2,1到平面x 2y2z0的距離為（A.3B.4C.5D.65.函數(shù)2xy3x2_2 .2y的極大值為（A.0B.1C. 11D.26.設(shè)zA.6B.7xC.81,2D.97.若幾何級(jí)數(shù)ar n是收斂的，則（0A. r 1B. r 1 C. rD.8.哥級(jí)數(shù)1xn的收斂域?yàn)椋ˋ. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.不能確定二.填空題（4分5）3 tt 平行，則直線l的方程為1 2tx1 .直線l過點(diǎn)

6、A 2,2, 1且與直線yz2 .函數(shù)z exy的全微分為.一一 _22.，3 .曲面z 2x 4y在點(diǎn)2,1,4處的切平面萬程為 1 ， 4 .虧的麥克勞林級(jí)數(shù)是 1 x2三.計(jì)算題（5分6）1 .設(shè) a i 2j k,b 2j 3k ,求 a b.2 .設(shè) z u2v uv2 ,而 u xcosy,v xsin y ,求一,一 x y3.已知隱函數(shù)zz x, y 由 x33xyz2確定，求222.222_4.如圖，求球面 x y z 4a與圓枉面x y 2ax ( a0）所圍的幾何體的體積四應(yīng)用題（10分2）1.試用二重積分計(jì)算由 y Vx, y 2Jx和x 4所圍圖形的面積試卷2參考答案

7、一選擇題 CBABA CCDBA.二.填空題x 2 y 2 z 11 .1 12xy2 .e ydx xdy .3 .8x 8y z 4.4.1n 0n 2nx35. y x .計(jì)算題1.8i3j2k .z2. x2z3x sin ycosy cosy sin y , y3 .2x sin y cos y sin ycos y333x sin y cos y .z3.xyz z2 ,xy z yxyxz2 .z324.a四應(yīng)用題16.3 .高等數(shù)學(xué)試卷(下)、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）1、二階行列式 2-3的值為（）A、10 B、 20C、24 D、222、設(shè) a=i+2j-

8、k,b=2j+3k,則a與b的向量積為（A、i-j+2k B、8i-j+2kC、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、點(diǎn)P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距離為（A、2B、3 C、4 D、54、函數(shù)z=xsiny在點(diǎn)（1, 一）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為4A、C、D、-225、設(shè) x2+y2+z2=2Rx,則,分另1J為（x yA、B、C、D、6、設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R,面密度為的薄板的質(zhì)量為（2)(面積A= R )A、R2AB、2R2AC、3R2AD、2R2 AA、8、A、1)nn的收斂半徑為（n2B、C、1D、3cosx的麥克勞林級(jí)數(shù)為（2nJ)。氤 B、n2nC、1)n2n

9、x(2n)!2n 1D、9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的階數(shù)是（A、一階 B、二階 C、三階D、四階10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根為（A、-2, -1B、2, 1C、-2, 1D、1, -2二、填空題（本題共5小題，每題4分，共20分）1、直線Li：x=y=z與直線L2：3、4、直線L3：重積分212J心z的夾角為21z與平面3x 2y 6z 0之間的夾角為2y2 1的值為n!xn的收斂半徑為n人的收斂半徑為n 0 n!三、計(jì)算題（本題共 6小題，每小題5分，共30分）1、用行列式解方程組-3x+2y-

10、8z=172x-5y+3z=3L x+7y-5z=22、求曲線x=t,y=t2,z=t3在點(diǎn)（1, 1, 1）處的切線及法平面方程3、計(jì)算xyd ,其中D由直線y 1,x 2及y x圍成.D4、問級(jí)數(shù) （1）nsin1收斂嗎？若收斂，則是條件收斂還是絕對收斂？n 1n5、將函數(shù)f（x尸e3x展成麥克勞林級(jí)數(shù)6、用特征根法求 y''+3y'+2y=0的一般解四、應(yīng)用題（本題共 2小題，每題10分，共20分）1、求表面積為a2而體積最大的長方體體積。2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道， 鈾的衰變

11、速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比，（已知比例系數(shù)為 k） 已知t=0時(shí)，鈾的含量為 Mo,求在衰變過程中鈾含量 M （t）隨時(shí)間t變化的規(guī)律。參考答案、選擇題1、D 2、C3、C 4、A 5、B 6、D7、C8、A9、B 10,A、填空題1、ar2 cos 18.8,arcsin - 212、0.96, 0.173653、ji、0,5、x2ce2 ,cx計(jì)算題1、-3 2-8解： =2 -5(-3) X -53 -2(-8)-5 =-1387 -5-5-517 2-8 x=-53 =175 3 -2(-8)-5 =-138同理: y=所以,-37 -517 -83 =2762 -5方程組的

12、解為-5-5 z= 4142,z2、解：因?yàn)?x=t,y=t 2,z=t所以 xt=1,yt=2t,z t=3t2,所以 xt|t=1 =1, yt| t=1 =2, zt| t=1 =3故切線方程為:y 1 _z2法平面方程為:(x-1 )即 x+2y+3z=63、解：因?yàn)镈由直線所以D:1<y< 2+2(y-1)+3(z-1)=0y=1,x=2,y=x 圍成,y<x<2故：D22xyd 11y xydx dy2y31 (2y y)dy184、解:這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)閗xy+2(x+y)=0Vn11sin 0,所以，Vn 1Vn,且limsin-0,所以該級(jí)數(shù)為萊布尼茲

13、型級(jí)數(shù)sin 1發(fā)散。1 n 51 , sin 當(dāng)x趨于0時(shí)，sin x x,所以1 n11sin71發(fā)散，從而一n1,又級(jí)數(shù) nn1n 1所以，原級(jí)數(shù)條件收斂ew 1、解：因?yàn)閤 (12x 2!)1 3x 3!1x n!用2x代x,得:2xe 1(2x)1 2x22 x2!)12(2x) 2!223 3x 3!一 x n!6、解：特征方程為 r2+4r+4=0所以，(r+2) 2=0得重根ri=r2=-2,其對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)解為yi=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解為y=(ci+c2x)e-2x四、應(yīng)用題1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為x, y, z貝U 2 (xy+yz+zx

14、) =a2構(gòu)造輔助函數(shù)F (x,y,z) =xyz+ (2xy 2yz2、2zx a )求其對x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為yz+2(y+z)=0xz+2(x+z)=0與2(xy+yz+zx)-a 2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=zt代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=-6a3366所以，表面積為a2而體積最大的長方體的體積為V xyz2、解：據(jù)題意dM出其中0為常數(shù)初始條件M“工dM.對于 M式dtdM dtM兩端積分得ln M t In C所以，M ce t又因?yàn)镸 t 0 M 0所以，M 0 C所以，M M0e t由此可知，鈾的衰變規(guī)律為：鈾的含量隨時(shí)間

15、的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減高數(shù)試卷4 (下)一.選擇題：3 10 301 .下列平面中過點(diǎn)(1, 1 ,1)的平面是 .(A) x+y + z= O (B) x + y + z = l (C) x = l (D) x = 32 .在空間直角坐標(biāo)系中，方程x2 y2 2表示(A)圓 (B)圓域 (C)球面 (D)圓柱面3 .二元函數(shù)z (1 x)2 (1 y)2的駐點(diǎn)是(A) (0 ,0)(B) (0,1)(C) (1,0)(D) (1,D4 .二重積分的積分區(qū)域 D是1 x2 y2 4,則 dxdy . D(A)(B) 4(C) 3(D) 155 .交換積分次序后0dx j f (x y)dy .

16、11111 yx 1(A)0cly yf(x，y)dx (B)0dy0f(x,y)dx©0dy0f(x,y)dx)ody of(x,y)dx6 . n階行列式中所有元素都是1 ,其值是 (A) n (B) 0(C) n !(D) 1 8 .下列級(jí)數(shù)收斂的是 .(D)(A) n1(1)(B)nW © nWUn和Vn滿足關(guān)系式Unn 1 n 1(A)若 Un收斂，則Vn收斂n 1n 1(B)若 Vn收斂，則Un收斂n 1n 1(C)若 Vn發(fā)散，則Un發(fā)散n 1n 1(D)若 Un收斂，則 Vn發(fā)散n 1n 1,1.1 0 .已知：1 x x21 x(A) 1 x2 x4(B)

17、,則的哥級(jí)數(shù)展開式為1 x21 x2 x4(C) 1 x2 x4(D)1 x2x4.填空題：4 5 201 . 數(shù)z Jx2 y2 1 ln(2 x2 y2)的定義域?yàn)? .若 f (x,y) xy ,則 f (-,1) x3 .已知(x0, y0)是 f (x,y)的駐點(diǎn),若 fxx(x0, y0) 3,fyy(x0,y0)12, fxy(x0, y°)a 則 當(dāng) 時(shí)，(x°, v。) 一定是極小點(diǎn).5 .級(jí)數(shù)Un收斂的必要條件是 n 1三.計(jì)算題(一)：6 5 301 . 已知：z xy,求：,.x y計(jì)算二重積分n14 x2d ,其中 D (x, y)|0 y v4

18、x2,0 x 2.xn4 .求哥級(jí)數(shù)（1）n 1二的收斂區(qū)間.n 1n5 .求f （x） e x的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間）.四.計(jì)算題（二）：10 2 201 .求平面x2 y+z = 2和2 x+y z = 4的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案1 . C; 2 . D; 3 . D; 4 . D; 5 . A; 6 . B ; 7 . B ; 8 . C;6a 64.275 . lim Un 0n二. 1 .(x,y) |1 x2 y2 22 . 3 .x四. 1 .解：yxy 1 xylny xy2112.解：44 x2dD24-x2'0dx 04 x2dy2°0(4 x

19、2)dx4xx31633.解：B127012 ,AB00110224 15R 1,當(dāng)|x|1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng) x=1時(shí)，得 （爐1收斂,n 1 n當(dāng)x 1時(shí)，得n 1 nn5 .解：.因?yàn)閑x n 0 n!發(fā)散，所以收斂區(qū)間為（1,1.n 1 nx （,），所以 e x 口n 0 n! n 0 n!).i四.1.解：.求直線的方向向量：s 1j k21 i 3j 5k，求點(diǎn)：令 z=0,得 y=0,x=2,即交點(diǎn)為(2,0.0)，所以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2.解:110(1)(2) 12 時(shí)，r(A)2,(A)3，無解；(2)1,2 時(shí),r(A)（A） 3,有唯一解：x12""1

20、 時(shí)，r(A)(A)x1，有無窮多組解：yzC1C2C1C2高數(shù)試卷、選擇題（3分/題）1、2、3、4、5、6、空間直角坐標(biāo)系中二元函數(shù)（C1,C2為任意常數(shù)1表不（Bsin xy圓面交換積分次序后1dx0圓柱面球面0）點(diǎn)處的極限是（不存在1x f(x,y)dy =11dy 0 f (x,y)dx01dy01f(x,y)dxy重積分的積分區(qū)域D是n階行列式中所有元素都是11dy0 f(x,y)dx1dy01,y0 f(x,y)dxdxdy (4)n!7、若有矩陣A3 2, B23, C33,下列可運(yùn)算的式子是（A ACB CB9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式（A 必等于零C可以等于零，也可以不等于零10、正項(xiàng)級(jí)數(shù)Un和 Vn滿足關(guān)系式n 1n 1A若 Un收斂，則Vn收斂n 1n 1C 若 Vn發(fā)散，則 Un發(fā)散n 1n 1C ABC D AB AC）B 必不等于零D 不會(huì)都不等于零Un Vn,則（）B若 Vn收