人口增長的Logistic模型分析及其應(yīng)用資料講解

1、人口增長的Logi st i c 模型分析及其應(yīng)用人口增長的L o g i s t i c模型分析及其應(yīng)用作者：熊波來源：商業(yè)時(shí)代 2008 年第 27 期中圖分類號：C923文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A內(nèi)容摘要：本文運(yùn)用迭代的方法計(jì)算出人口極限值xm和人口增長率r,用Logistic模型預(yù)測了我國人口未來的發(fā)展趨勢，并根據(jù)預(yù)測的結(jié)果提出了相應(yīng)的對策與建議。關(guān)鍵詞：人口 Logistic 模型 迭代人口增長問題相關(guān)研究最早注意人口問題的是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯，他在 1798 年提出了人口指數(shù)增長模型。這個(gè)模型的基本假設(shè)是：人口的增長率是一個(gè)常數(shù)。記t 時(shí)刻的人口總數(shù)為 x(t) 。初始時(shí)刻 t=0時(shí)的人口為

2、x0o人口增長率為r, r表示單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增量與x(t)的比例系數(shù)。那么，時(shí)刻 t到時(shí)刻t+ A內(nèi)人口的增量為x(t+ A-x(t尸rx(t)。定是x(t)滿足下列微分方程的初值問題，他 的解為 x(t)=x0ert 。在 r>0 時(shí)，人口將按指數(shù)規(guī)律增長。但是不管生物是按算術(shù)級數(shù)、幾何級數(shù)還是按指數(shù)曲線變化，隨著時(shí)間增長生物數(shù)量將趨于無窮大。然而，實(shí)際情況卻不然，實(shí)驗(yàn)指出在有限的空間內(nèi)，一開始生物以較快速度增長， 到一定時(shí)期生物增長量就會減緩，生物數(shù)量趨于穩(wěn)定。歷史上的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也表明，當(dāng)一個(gè)國家的社會穩(wěn)定時(shí)，一定時(shí)期內(nèi)馬爾薩斯模型是符合實(shí)際的，但是如果時(shí)間比較長或社會發(fā)生動

3、蕩時(shí)，馬爾薩斯模型就不能令人滿意了。原因是 隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長開始起阻滯作用，因而人口增長率不斷下降?；谝陨峡紤]荷蘭生物學(xué)家Verhaust對原人口發(fā)展模型進(jìn)行了改造，于 1838年提出了以昆蟲數(shù)量為基礎(chǔ)的 Logistic 人口增長模型。這個(gè)模型假設(shè)增長率r 是人口的函數(shù)，它隨著x 的增加而減少。最簡單的假定是r是x的線性函數(shù)，其中r稱為固有增長率，表示x-0時(shí)的增長率。由r (x)的表達(dá)式可知，x=xm時(shí)r=0。xm表示自然資源條件能容納的最大人口數(shù)。因此 就有，這個(gè)模型就是Logistic 模型。為表達(dá)方便， Logistic 方程常被改寫成：由于 Lo

4、gistic 模型綜合考慮了環(huán)境等因素對人口增長產(chǎn)生的影響，因此是一種被廣泛應(yīng)用的比較好的模型。 本文也將采用 Logistic 模型對我國人口進(jìn)行分析。人口增長模型的建立要預(yù)測未來的人口，就必須先估計(jì)出人口增長率r。 logistic 模型在數(shù)學(xué)上來講是一個(gè)非線性模型，而非線性的方程是無法估計(jì)出 r 值的。在利用 logistic 模型研究人口問題時(shí)，一般運(yùn)用以下方法：先將logistic 模型轉(zhuǎn)化成線性模型，將logistic 模型的解作進(jìn)一步的形式轉(zhuǎn)換得：再兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性形式，便于對 r 進(jìn)行估計(jì)，轉(zhuǎn)化的結(jié)果為：估計(jì)出固定增長率r 后代入到中，代入相應(yīng)的時(shí)間 t 就可以預(yù)測出未來

5、各年的總?cè)丝跀?shù)了。這里為線性方程的前提是：已知人口上限xm 。因此在計(jì)算中會令 xm 為一特定的值(比如我國計(jì)生委認(rèn)為的 16 億人口上限)。而在實(shí)際情況下，人口的上限是隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展與科學(xué)的進(jìn)步是不斷增大的，最后趨近于某一常數(shù)。其次，固定增長率r 是將 Logistic 模型線性化后根據(jù)一元線性回歸才能得到，雖然可以很好的通過T 檢驗(yàn)，但由于其回歸的基礎(chǔ)是確定的人口上限，故仍然存在一定的缺陷。所以本文將用迭代算法對人口上限xm 和人口固定增長率r進(jìn)行計(jì)算。算法基本思想是： 假設(shè) xm 已知， 求得 r 的最優(yōu)估計(jì)， 然后把 r 作為已知， 求出 xm 的最 優(yōu)估計(jì)，這樣交替循環(huán)迭代直到收斂為

6、止。記，于是有： (1)代入得： (2)因存在模型誤差， 應(yīng)以下述帶誤差的方程代替式(2)得：(3)從而在 xm 已知條件下， 利用最小二乘法估計(jì)參數(shù)r ，令，當(dāng)最小時(shí)，即： (4)由式(4)得：(5)由式(5)得參數(shù)r 的最小二乘估計(jì)(6)同理，由于存在模型誤差，應(yīng)以下述帶誤差的方程代替得： (7)式中e為獨(dú)立、均值為0、等方差的隨機(jī)變量，記則式(7)變?yōu)?，在r 已知的情況下可以得到 xm 的最小二乘估計(jì)： (8)這里b中含有被估計(jì)參數(shù)xm,在迭代解法中，我們可以用上一次的迭代估計(jì)值xm*代替它。最優(yōu)估計(jì)x* 、 r* 具體估計(jì)步驟如下：取初值 xm(0),然后將 xm(0)代入(6)求得

7、r(0)。令 k=1 , a=xm(0), b=r(0) ; b 代入(8)式, 求得 xm(k) ， xm(k) 代入(6)求得r(k) 。若，則停止，此時(shí)有x*=xm(k) ， r*=r(k) ； a=xm(k) ，b=r(k) ， k=k+1 轉(zhuǎn) “ 2?！庇缮鲜隼碚?，本文取 xm(0)=15 ，參數(shù)估計(jì)樣本為 1978 年至 2004 年的人口數(shù)。依照上述迭代的三個(gè)步驟，得到迭代結(jié)果如表1 所示。經(jīng)過五次迭代，不難看出第四次迭代的結(jié)果最理想，因此，我們?nèi)?x*=16.28 ，r*=0.0401。這里xm(0)的取值不會影響x*與r*,它僅僅影響迭代的次數(shù)。比如當(dāng) xm(0)取值為14

8、的時(shí)候得迭代結(jié)果如表2，可以看出此時(shí)只是增加了一次迭代的過程。我們將 x*=16.28 ， r*=0.0401 代入 Logistic 方程得最終模型如下：，將時(shí)間 t 代入模型中就可以求出各年的人口了。人口增長 Logistic 模型的應(yīng)用模型假設(shè)：假設(shè)中國的人口政策自 1978 年開始不再變化；假設(shè)中國的人口是一個(gè)封閉的人口，即不考慮遷入遷出；不考慮自然災(zāi)害等非正常因素的影響。(一)數(shù)據(jù)分析1978 年以后，中國進(jìn)行過3 次人口普查，分別是在1982 年、 1990 年和 2000 年。此時(shí)時(shí)間 t 相應(yīng)為 4、 12、 22，代入模型得結(jié)果見表3。由表 3可以看出模型計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際人

9、口數(shù)的誤差還是很小的，應(yīng)該說模型具有較強(qiáng)的預(yù)測能力。另外，從預(yù)測結(jié)果的誤差可以看出，在 2000 年之前，年份越往后誤差越小，甚至為負(fù)數(shù)。也就是說隨著人口數(shù)量的增大，人口越來越接近人口極限。此時(shí)實(shí)際人口的增長要快于模型的估計(jì)值。這很可能是因?yàn)樵谶@一時(shí)期內(nèi)計(jì)劃生育政策的實(shí)施有所放松，導(dǎo)致人口增長過快。那么 2001-2005 年的情況又如何呢？運(yùn)用同樣的方法求得見表4。由表 4 的數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出 2000 年以后至 2005 年，實(shí)際人口的增長要慢于模型的增長，但是這一時(shí)期恰恰又是第四次人口生育高峰期的開始。導(dǎo)致這一反?，F(xiàn)象的原因在于政府對人口政策有所抓緊。為了防止在人口生育高峰期人口過快的增

10、長，政府對計(jì)劃生育政策的實(shí)行加大了力度，促成了人口增長的減緩。由模型知道當(dāng)人口越接近人口極限，人口增長的阻滯作用越大。很大程度上需要政府制定相應(yīng)的人口政策，限制人口的自然增長。所以人口政策的實(shí)行實(shí)際上就是人口增長阻滯作用的執(zhí)行方式，對人口增長具有極其重要的影響。而人口政策的實(shí)行往往跟人口數(shù)量有密切的關(guān)系，會伴隨著人口的變動而具有一定的波動性，人口的增長率也會隨著人口政策的波動而相應(yīng)的有一些起伏。但是人口的整體增長情況仍將符合模型的預(yù)測。利用模型可以估計(jì)出未來各年的人口數(shù)量如表5。由表5 可知，到 2035 年中國的人口將達(dá)到 15.21 億，雖然還沒有到達(dá)理論上的人口上限，但是在現(xiàn)實(shí)社會中，為

11、了保證社會的穩(wěn)定，政府絕對不會讓人口數(shù)量達(dá)到理論人口上限的。也就是說當(dāng)人口接近于人口上限的時(shí)候，人口政策很可能會發(fā)生變化，再加上中國人口老齡化和性別比的失調(diào)的進(jìn)一步加劇，到 2035年之后模型可能就不再適用了，所以對2035 年之后的人口不再作預(yù)測。（二）結(jié)果分析從預(yù)測的結(jié)果看，我國未來幾十年內(nèi)的人口壓力還是非常大的。加上老齡化和性別比例失調(diào)的加劇，人口政策將面臨新的挑戰(zhàn)。我國今后的人口政策應(yīng)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橐哉{(diào)整人口結(jié)構(gòu)為主、控制人口數(shù)量為輔，逐步調(diào)整人口年齡結(jié)構(gòu)和人口城鄉(xiāng)結(jié)構(gòu)。特別要注意的是， 調(diào)整生育政策需要時(shí)間和精心設(shè)計(jì)，同時(shí)要由國家計(jì)生部門支持和監(jiān)督， 總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并穩(wěn)步實(shí)施?？傊?，我國人口國情要求我們以辯證的眼光來觀察， 既要看到有利面，也要看到不利面，還要比較有利和不利的大?。灰詺v史的眼光來觀察， 既要看到以往政策的歷史背景和合理性， 也要看到它的歷史局限性和成本， 還要比較該政