一元二次方程知識點的總結

1、一元二次方程知識點的總結知識結構梳理(1)含有個未知數。J (2)未知數的最高次數是1 1、概念 1 (3)是方程。(4) 一元二次方程的一般形式是 。(1) 法，適用于能化為 x m)2 n n 0 的一元。二次方程(2) 法，即把方程變形為 ab=0的形式，2、解法(a, b為兩個因式),則a=0或法(4) 法，其中求根公式是 c當時，方程有兩個不相等的實數根。I (5) J當時，方程有兩個相等的實數根。當 時，方程有沒有的實數根。I可用于解決實際問題的步驟可用于解某些求值題I 一元二次方程的應用知識點歸類考點一 一元二次方程的定義如果一個方程通過移項可以使右邊為0,而左邊只含有一個未知數

2、的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：方程是整式方程。它只含有一個未知數。未知數的最高次數是 2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。例 下列關于X的方程，哪些是一元二次方程？2CO 23 ； x 6x 0 ； (3) Jx x 5 ； (4) x 0 ； (5) 2x(x 3) 2x 1x 5考點二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2 bx c 0 (a, b, c是已知數，a 0)。其中a, b,c分別叫做二次項系數、一次項系數、常數項。注意：(1)二次項、二次項系數、一次項、一次項系數，常數項都包括它前面的符號。(2

3、)要準確找出一個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項，必須把 它先化為一般形式。(3)形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程， 當且僅當a 0時是一元二次方程。例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項。一、27-2(1)5x2x；(2)x 2 x 38 ;(3) 3x4 x 3x 22一2 c例2已知關于x的方程 m 1 xm 2 m 1 x 2 0是一元二次方程時，則 m 考點三解一元二次方程的方法2使方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，如：當x 2時，x2 3x 2 0所以x 2是x2 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次

4、方程的根。法一直接開平方法解一元二次方程ja,這種解一元二次方程2右x a a 0 ,則x叫做a的平方根，表不為 x的方法叫做直接開平方法。2(1 ) xa a 0 的解是xx Jn m ； (3) mx n 2 c例用直接開平方法解下列一元二次方程2(1) 9x 160 ；(2) x 5Va ；(2) x m 2 nn 0 的解是c nm 0,且c 0的解是x 。m22160 ；(3) x 5 3x 1法二配方法解一元二次方程時， 在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方， 配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二

5、次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程x2px q 0 ,當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方后，還要再減去這個數。例用配方法解下列方程：(1) x26 x 50； x2 x 202法三因式分解法如果兩個因式的積等于 0,那么這兩個方程中至少有一個等于0,即若pq=0時，則p=0或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程的右邊化為 0; (2)將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。 (3)令每個因式分別為 0,得兩個一元一次方程。(4)解這兩 個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關鍵點：（1）要將方程右邊化為 0; （2）熟練

6、掌握多項式因式分解的方法，常用方法有: 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：(1) 5x24x2(2x23)250;(3)26x 95 2x 。法四公式法次方程ax2 bx c 0 a0的求根公式是:b b2 4ac2a用求根公式法解次方程的步驟是:（1）把方程化為ax2bx0的形式,確定的值a,b.c （注意符號）2.2；（2）求出b 4ac的值；（3）若b4ac0,則a,b.把及b2 4ac的值代人求根公式b .b2 4ac2a '求出x1, x2。例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1(2) 2x x22210 ；(3) xx 250

7、技巧選擇適合的方法解次方程考點四二次方程根的判別式2x 8x 60 ； (3) x 2 (x 1)02次方程 ax bx c 0 a20根的判別式 A = b4ac運用根的判別式,不解方程，就可以判定二次方程的根的情況:(1) = b24ac > 0方程有兩個不相等的實數根;(2) = b24ac =0方程有兩個相等的實數根;(3) = b24ac < 0方程沒有實數根;利用根的判別式判定次方程根的情況的步驟:把所有二次方程化為一般形式;直接開平方法用于解左邊的含有未知數的平方式，右邊是一個非負數或也是一個含未知 數的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是 0,左邊能分解因式；公式

8、法是由配方法推導而來的，要比配方法簡單。二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時， 再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法, 因為配方法解題比較麻煩。二次方程:例 用適當的方法解下列一 -2 一一一2(1)2x 392x3；(2)2.2確定a,b.c的值；計算b 4ac的值；根據b 4ac的符號判定方程根的情況。例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：(1) 2x23x 5 0 ; (2) 9x230 x 25 ； (3) x2 6x 10 0考點五根的判別式的逆用在方程ax2 bx c 0 a 。中，(1)方程有兩個不相

9、等的實數根b2 4ac >0(2)方程有兩個相等的實數根b2 4ac=02.(3)方程沒有實數根b 4ac <0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件。例 m為何值時，方程 2m 1x2 4mx 2m 3 0的根滿足下列情況：(3)沒有實數根;(1)有兩個不相等的實數；(2)有兩個相等的實數根;考點六 一元二次方程的根與系數的關系2b右x1, *2是一兀二次萬程 ax bx c 0 a 0的兩個根，則有x1 x2一，x1x2a根據一元二次方程的根與系數的關系求值常用的轉化關系：/ /、222 c1x1 x2(1)x1x2x1 x2

10、2x1x2(2) - x x2x-(3)(x1 a)(x2 a) x1 x2 a x1x2a2 ；(4)x1 x2 = v x1 x2 2 = v x1 x2 2 4x1x2例已知方程2x2 5x 30的兩根為x1,x2,不解方程，求下列各式的值。/ 、22(1)x1x2 ;2(2)為 x2 ?？键c七根據代數式的關系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關代數式的問題時，要善于用一元二次方程表示題中的數量關 系(即列出方程)，然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例當x取什么值時，代數式 x2 x60與代數式3x 2的值相等?強化練習一、選擇題1 . 一元二次方程x2=2x的根是()A、x=2

11、R x=0G x1=0, x2=2D> x1=0, x2= - 22 .將代數式x2+4x1化成（x+p） 2+q的形式（）A （x-2） 2+3 B、（x+2） 2 4 C、（ x+2） 2 5 D、（ x+2） 2+43 .方程x2- 4=0的解是（）A x=2 B x= - 2 C、x= ± 2 D x=± 44 .小華在解一元二次方程x2-x=0時，只得出一個根x=1,則被漏掉的一個根是（ ）A x=4 B x=3 C、x=2 D> x=05 .若方程式（3x-c） 2-60=0的兩根均為正數，其中c為整數，則c的最小值為 何？（）A 1 B 8C、16

12、 D 61一、一一 2一 一 一 216已知a是方程x+x1=0的一個根，則 的值為（）a 1 a aA. 1 1 B. 1 屋 C. - 1D.1227 .已知三角形的兩邊長是方程 x2 - 5x+6的兩個根，則該三角形的周長 L的取值 范圍是（）A. 1<L< 5 B. 2<L< 6 C . 5< L< 9D, 6VL<108 .方程（x+1） （x-2） =x+1 的解是（）A 2 B 3C、-1,2 D -1,39 .分三角形兩邊長分別為3和6,第三邊是方程x2-6x+8=0的解，則這個三角形 的周長是（）A 11 B 13 C、11或13 D

13、不能確定10一元二次方程（x 3） （x-5） =0的兩根分別為（）A、3, 5 B 、一 3, -5 C、一 3, 5 D、3, 5二、填空題1. （2011江蘇淮安，13, 3分）一元二次方程x2 4=0的解是.2. （2011江蘇南京，19, 6分）解方程x2-4x+1=0.3. （2011山東濟南，18, 3分）方程x2-2x=0的解為.4. （2011 泰安，21, 3 分）方程 2x2+5x 3 = 0 的解是:5. （2011山東淄博14, 4分）方程x2-2=0的根是 .6. （2011四川達州，10, 3分）已知關于x的方程x2 m>+n=0的兩個根是0和一3,貝U m=, n=.7. （2011浙江衢州，11, 4分）方程x2-2x=0的解為.8. （2011黑龍江省黑河，7 , 3分）一元二次方程 a2 - 4a - 7=0的解為（）。三、解答題1. （2011 江蘇無錫，20, 8 分）（1）解方程：x2+4x-2=0;2.（2011山東煙臺，19, 6分）先化簡再計算： 22x 2 0的正數根._x_ x 絲，其中x是一元二次方程x2 x xx3. （2011 清遠，18, 5 分）解方程：x2-4x1 = 0.4. （2011湖北武漢，17, 6分