正多邊形與圓教師版

1、正多邊形與圓（解析）1.掌握?qǐng)A內(nèi)接多邊形的性質(zhì)；2.掌握內(nèi)接圓的性質(zhì)；3.掌握?qǐng)A內(nèi)接多邊形和內(nèi)接圓的應(yīng)用1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形_的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形_的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)2.三角

2、形的內(nèi)切圓、外接圓三角形的內(nèi)切圓：對(duì)比三角形的外接圓來(lái)學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)切圓三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫三角形的外心三角形的外心到三角形_相等三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到_的距離相等三角形的內(nèi)心是三角形三角平分線的交點(diǎn)3.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角_，外角等于內(nèi)對(duì)角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形_4.正多邊形與圓在正多邊形的有關(guān)計(jì)算中，如果分別以n、an、rn、

3、Rn、Pn和Sn表示正n(n3,n為整數(shù))邊形的中心角、邊長(zhǎng)、邊心距、半徑、周長(zhǎng)和面積，則有： n=； an=2Rn·sin； rn=Rn·cos； +； Pn=nan； Sn=Pnrn； Sn=nsin.（因?yàn)橐粋€(gè)三角形的面積為：h·OB） 注意兩點(diǎn)：1.構(gòu)造直角三角形（弦心距、邊長(zhǎng)的一半、半徑組成的）求線段之間的關(guān)系等； 2.準(zhǔn)確記憶相關(guān)公式。 參考答案：1.（1）三個(gè)角平分線(2) 三邊中垂線2. 三個(gè)頂點(diǎn)的距離, 三角形三邊3.(1) 互補(bǔ)(2) 對(duì)邊之和相等1. 利用三角形的內(nèi)心求角度【例1】（2014湖北宜昌一模）如圖，點(diǎn)O是ABC的內(nèi)切圓的圓心，若B

4、AC=80°，則BOC=（ ）A130° B100°C50° D65° 【解析】此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【答案】A練習(xí)1. 如圖，I是ABC內(nèi)心，則BIC與A的關(guān)系是（ D ）A. BIC=2AB. BIC=180°AC. BIC=D. BIC=【答案】B練習(xí)2.（2014湖北恩施一模）如圖，圓O是ABC的內(nèi)切圓，與三角形三邊分別切于D、E、F，知B=50°，C=60°，則EDF= ?！敬鸢浮?5°2. 三角形外接圓問(wèn)題【例2】正三角形的外接圓半徑是R，則它的邊長(zhǎng)是（

5、 ）B. RC. RD. R【解析】正三角形的外接圓邊長(zhǎng)是半徑的倍，圓心與三角形兩個(gè)頂點(diǎn)的連線是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，可證倍數(shù)關(guān)系，帶入即可。【答案】B練習(xí)3. 若三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，1和，則外接圓的半徑為_(kāi)?！敬鸢浮烤毩?xí)4. 等邊三角形的邊長(zhǎng)為4cm，它的外接圓的面積為_(kāi)。【答案】3.內(nèi)切、外接、外切問(wèn)題的綜合【例3】正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在O上，點(diǎn)P在劣弧上不同于點(diǎn)C得到任意一點(diǎn)，則BPC的度數(shù)是（ ）A.B.C. D.?！窘馕觥繄A的內(nèi)接正方形，內(nèi)心外心重合，可求BOC的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，BPC是BOC的一半即可?！敬鸢浮緼練習(xí)5同一個(gè)

6、圓的外切正方形和內(nèi)接正方形的相似比是（ ）A. 2：1B. 1：2C. D. 【答案】C練習(xí)6. ABC中設(shè)I是ABC的內(nèi)心，O是ABC的外心，若A=80°，則BIC=_，BOC=_若A=a，則BIC=_，BOC=_【答案】（1）130°，160°（2）90°+，2a4.內(nèi)切圓綜合題【例4】已知：如圖，ABC三邊BC=a，CA=b，AB=c，它的內(nèi)切圓O的半徑長(zhǎng)為r求ABC的面積S 【解析】連接圓心和切點(diǎn)，把三角形分成三個(gè)小三角形，而且有現(xiàn)成的底和高就可以求出每個(gè)小三角形的面積，加起來(lái)可得大三角形的面積?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)ABC與O相切與點(diǎn)D、E、F連接OA

7、、OB、OC、OD、OE、OF則ODAB，OEBC，OFACSAOB=ABOD=ABr，同理，SOBC=BCr，SOAC=ACrSABC=SAOB+SOBC+SOAC，即S=ABr+BCr+ACr，則S=（a+b+c）r 練習(xí)7已知：如圖，O內(nèi)切于ABC，BOC=105°，ACB=90°， AB=20cm求BC、AC的長(zhǎng) 【答案】解：O是ABC的內(nèi)切圓，OBC=ABC，OCB=ACB，BOC=105°，OBC+OCB=180°-105°=75°，ABC+ACB=2×75°=150°，A=180°

8、-（ABC+ACB）=30°，C=90°，AB=20cm，BC=AB=10cm，AC=10cm 練習(xí)8已知：如圖，O是RtABC的內(nèi)切圓，C=90°(1)若AC=12cm，BC=9cm，求O的半徑r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求O的半徑r【答案】解：如圖；(1)在RtABC，C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根據(jù)勾股定理AB=AC2+BC2=15cm；四邊形OFCD中，OD=OF，ODC=OFC=C=90°；則四邊形OFCD是正方形；由切線長(zhǎng)定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；則CD=CF=（AC+BC-AB）；

9、即：r=（12+9-15）=3(2)當(dāng)AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）則O的半徑r為：（a+b-c） 5. 正多邊形和圓【例5】正六邊形兩條對(duì)邊之間的距離是2，則它的邊長(zhǎng)是（ ） A. B. C. D. 【解析】正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質(zhì)。ABF是含120°角的等腰三角形，以ABF為研究對(duì)象即可求。 【答案】解：如圖所示，BF2，過(guò)點(diǎn)A作AGBF于G，則FG1 又FAG60° 故選B練習(xí)9. 求證圓的外切正多邊形的面積等于其周長(zhǎng)與圓的半徑的積的一半. 【解析】外切正多邊形

10、可分成與邊數(shù)相同個(gè)數(shù)的等腰三角形,其面積之和為正多邊形的面積,而每個(gè)小三角形的面積恰是邊長(zhǎng)與圓半徑積的一半,故題易證. 圓的外切（或內(nèi)接）正多邊形的周長(zhǎng).面積的計(jì)算要通過(guò)所分成的n個(gè)等腰三角形進(jìn)行，這也是由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的一種轉(zhuǎn)化，象四邊形的問(wèn)題一樣，正n邊形的問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵?！敬鸢浮孔C明:設(shè)外切多邊形周長(zhǎng)為P,內(nèi)切圓O半徑為R,連結(jié)O與正多邊形的各頂點(diǎn)及切點(diǎn),如圖 OMAB,ONBC, SOAB=OM·ABR·AB, SOBC=ON·BCR·BC, 正多邊形ABCD面積為S=R(AB+BC+)=R·P. 練

11、習(xí)10如圖,若正六邊形的面積為6,求正六邊形內(nèi)切圓的內(nèi)接正三角形的面積. 【解析】如下圖，線段OC是正六邊形的邊心距，由內(nèi)接正三邊形的邊長(zhǎng)，則線段OC可以將兩圖形聯(lián)系起來(lái)。 【答案】解:如圖,設(shè)AB是正六邊形的一條邊長(zhǎng),C點(diǎn)為切點(diǎn),CD為正六邊形內(nèi)切O的內(nèi)接正三角形的一條邊長(zhǎng),過(guò)O點(diǎn)作OECD于E,分別連結(jié)OA、OB、OC、OD. OC=R,AB=a6,BC=a6,BOC=30°, CD=a3,CE=a3,OE=r3,COE=60°, S6=6·SOAB, S6=6×a6·OC=6, OC=BC·cot30°, OC=a6,

12、 6×a6·a6=6, a6=2,OC=, OE=OC·cos60°, OE=, CE=OC·sin60°, CE=, CD=2CE=3, S3=3×CD·OE,S3=3××3×=. 練習(xí)11. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是（ ） A. 123B. C. D. 【答案】解：如圖所示，OD是正三角形的邊心距，OA是半徑，AD是高 設(shè)，則AO2r，AD3r ODAOADr2r3r123 故選A【例6】周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積之間的大小關(guān)系是（ ） A. B. C.

13、D. 【解析】設(shè)它們的周長(zhǎng)為，則正三角形的邊長(zhǎng)是，正四邊形的邊長(zhǎng)為，正六邊形的邊長(zhǎng)為 【答案】B 練習(xí)12. 如圖所示，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M，求證： （1）； （2） 【答案】證明：（1）正五邊形必有外接圓，作出這個(gè)輔助圓，則 BEA36° （2） 又公共角ABMEBA ABMEBA 練習(xí)13. 已知正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積。 【解析】本題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑?！敬鸢浮拷猓赫呅蔚陌霃降扔谶呴L(zhǎng) 正六邊形的邊長(zhǎng) 正六邊形的周長(zhǎng) 正六邊形的面積 練習(xí)14. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2cm，求它的外接圓的外切正三角形的邊長(zhǎng)和

14、面積。【解析】本題的重點(diǎn)是正方形的邊長(zhǎng)、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關(guān)系?！敬鸢浮拷猓赫叫蔚倪呴L(zhǎng)為2cm 正方形的外接圓半徑為cm 外接圓的外切正三角形一邊上的高為cm 正三角形的邊長(zhǎng)為 正三角形的面積為1 三角形的外心是（ ）【答案】BA. 三條中線的交點(diǎn)B. 三條中垂線的交點(diǎn)C. 三條高的交點(diǎn)D. 三條角平分線的交點(diǎn)2.正多邊形一定是（ ）【答案】AA. 軸對(duì)稱(chēng)圖形B. 中心對(duì)稱(chēng)圖形C. 既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形D. 都不對(duì) 3如圖，兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過(guò)大圓的圓心O，點(diǎn)C，D分別在兩圓上，若ADB=100°，則ACB的度數(shù)為（ ）【答案】B A.35°

15、;B.40°C.50°D.80°4. 從圓外一點(diǎn)向半徑為9的圓作切線，已知切線長(zhǎng)為18，從這點(diǎn)到圓的最短距離為（ ）【答案】C A9B9（-1）C9（-1）D95.在ABC中，若C=90°，A=30°，AC=3，則內(nèi)切圓半徑為_(kāi)?！敬鸢浮?. 若正多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個(gè)多邊形是正_邊形?！敬鸢浮苛?7. 已知正多邊形的中心角為120°，邊長(zhǎng)為3，則其半徑長(zhǎng)為_(kāi)?！敬鸢浮?8. 若正三角形和正六邊形的面積相等，則它們的邊長(zhǎng)之比為_(kāi)。【答案】:19. 如圖，PA、PB分別切圓O于 A、B，C為優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，若P=5

16、0°，則ACB= 。D為劣弧AB上的一點(diǎn)，若P=50°，則ADB= ?！敬鸢浮?5°，115°變式：上題中，PA、PB分別切O于A、B，C為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，若ACB=a，則APB=（ ）A180°-a B90°-a C90°+a D180°-2a【答案】D10.ABC的內(nèi)切圓半徑為R，ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則ABC的面積為 。變式：如圖，RtABC中，C=90°，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c 、a、b，則ABC的內(nèi)切圓半徑為 ?！敬鸢浮縍L，變式： 11.邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓的半徑為 ?！敬鸢浮?2.

17、EB、EC是O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A.D是O上兩點(diǎn)，如果E=46°，DCF=32°，求A的度數(shù)【答案】99°13.已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和O 分別相切于L、M、N、P求證：AB+CD=AD+BC 【答案】證明:連接OP,OD,ON.AD,CD分別切圓O于P,N.OPAD,ONCD.OP=ON;OD=OD;OPD=OND=90°.RtOPDRtOND(HL),PD=ND.同理可證:CN=CM,BM=BL,AL=AP.AL+BL+CN+ND=AP+PD+CM+BM.  (AL+BL)+(CN+ND)=(

18、AP+PD)+(CM+BM).即AB+CD=AD+BC._1. 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，則ABC234，則D 度【答案】90°2. 一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則其外接圓的半徑為 cm，內(nèi)切圓的半徑為 cm。【答案】5cm，2cm3.圓O內(nèi)切RtABC，切點(diǎn)分別是D、E、F，則四邊形OECF是_ _【答案】正方形4. (2014甘肅定西一模)如圖，在ABC中，cosB如果O的半徑為cm，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，那么線段AO= cm【答案】（提示：連接OB，易得：ABC=AOB cosAOB=cos=） 5.（2014湖南懷化期末）如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則

19、_ _度【答案】606.（2014安徽一模）ABC中，ABAC，A為銳角，CD為AB邊上的高，I為ACD的內(nèi)切圓圓心，則AIB的度數(shù)是（ ）【答案】CA120° B125° C135° D150°7.（2014四川綿陽(yáng)一中期末）一個(gè)鋼管放在V形架內(nèi)，右圖是其截面圖，O為鋼管的圓心如果鋼管的半徑為25 cm，MPN = 60°，則OP =( ) 【答案】A（提示：MPN=600可得OPM=300 可得OP=2OM=50）A50 cm B25cm Ccm D50cm8. 同圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的周長(zhǎng)之比為（ ）【答案】DA. 1B.21C.12D.1 9.下列說(shuō)法中，不正確的是( ) 【答案】C A三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) B銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部 C垂直于半徑的直線是圓的切線 D三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等10給出下列說(shuō)法： 任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓，并且只有一個(gè)外接圓； 任意一個(gè)圓一定有一