極坐標系與參數方程一輪復習你值得擁有

1、極坐標系與參數方程 知識梳理1、 極坐標1、極坐標定義：是平面上一點，表示的長度，是，則有序實數實數對,叫極徑，叫極角；一般地，。2、極坐標和直角坐標互化公式： 或，的象限由點所在象限確定.二、常見曲線的極坐標方程1、圓的極坐標方程（1）圓心在極點，半徑為的圓的極坐標方程是 ；（2）圓心在極軸上的點處，且過極點O的圓的極坐標方程是 ；（3）圓心在點處且過極點的圓O的極坐標方程是 。2、直線的極坐標方程（1）過極點且傾斜角為的直線的極坐標方程是 ；（2）過點，且垂直于極軸的直線的極坐標方程是 ；三、常見曲線的參數方程直線圓橢圓雙曲線拋物線過點，傾斜角為圓心在點，半徑為中心在原點，長、短軸分別為中

2、心在原點，長短軸分別為第一節(jié) 平面直角坐標系中的伸縮、平移變換【知識點】定義1：設是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點的對應點為。稱為平面直角坐標系中的伸縮變換。定義2： 在平面內，將圖形F上所有點按照同一個方向，移動同樣長度，稱為圖形F的平移。若以向量表示移動的方向和長度，我們也稱圖形F按向量平移在平面直角坐標系中，設圖形F上任意一點P的坐標為，向量，平移后的對應點為.則有：即有： ，在平面直角坐標系中，由所確定的變換是一個平移變換。 因為平移變換僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大小所以，在平移變換作用下，曲線上任意兩點間的距離保持不變。【典例1】（2014年高考遼寧卷（文）將

3、圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(I)寫出C的參數方程；（II）設直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程練習：1將點變換為點所用的伸縮變換公式是 （ ） A. B. C. D.2.在同一直角坐標系中，將直線變成直線，則滿足圖象變換的伸縮變換公式是_.3.在平面直角坐標系中將曲線按照變換得到的曲線的方程為_。4.已知曲線.若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標壓縮為原來的，得到曲線，則曲線的參數方程為_，普通方程為_?！镜淅?】把圓先向下平移1個單位長度

4、，再向右平移3個單位長度后得到圓，求圓的普通方程。練習：1. 點先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后得到點的坐標是_。2. 拋物線先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到的拋物線的頂點坐標是_。3. 將曲線先向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到的曲線的方程是_。第二節(jié) 極坐標與直角坐標互化【知識點】 或，的象限由點所在象限確定.練習一：把下列點的極坐標化為直角坐標（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 練習二：把下列點的直角坐標化為極坐標（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ； 考點二：曲線的極坐標

5、方程與直角坐標方程的互化練習一：把下列曲線的極坐標方程化為直角坐標方程（1）: ； （2）: ；（3）: ；（4）: ；（5）: ；（6）: ；(7)直線: ； （8）射線: ；(9) : ；(10) : ；注意：極：直線或射線 直：（或（）或（）練習二：把下列曲線的直角坐標方程化為極坐標方程: （1）: ； （2）: ；（3）: ；（4）: ；（5）: ；（6）: ；高考再現（2013年高考遼寧卷（文）在直角坐標系中以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓,直線的極坐標方程分別(I)求與交點的極坐標;(II)設為的圓心,為與交點連線的中點.已知直線的參數方程為,求的值.2.（2014年高考廣

6、東卷（文）在極坐標系中，曲線C1與C2的方程分別為與。以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1與C2交點的直角坐標為_3（2014年高考陜西卷（文）在極坐標系中，點到直線 sin1的距離是_4. （2015年高考湖南卷（文）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為，則曲線C的直角坐標方程為_. 第三節(jié) 參數方程與普通方程互化【知識點】常見曲線的參數方程直線圓橢圓雙曲線拋物線過點，傾斜角為圓心在點，半徑為中心在原點，長、短軸分別為中心在原點，長短軸分別為把參數方程化為普通方程的常用方法：（1）代入法：利用解

7、方程的技巧求出參數，然后代入消去參數；（2）三角法：利用三角恒等式消去參數，如平方關系；（3）整體消元法：根據參數方程本身的結構特征，從整體上消去。練習一：把下列曲線的直角坐標（普通）方程化為參數坐標方程（1）， ；（2）， ；（3）， ； （4）， ；（5）， ；（6）直線的傾斜角為，且過點，則： ； （7）直線過點，傾斜角為，則： ；練習二：把下列參數方程化為直角坐標方程（普通方程）（1）（：參數）， ；（2） ；（3）（：參數）， ；（4）（：參數）， ；（5）（：參數）， ；（6）（：參數）， ；（7）（：參數）， ；（8）（：參數）， ；高考再現1 （2013年高考廣東卷（文）已知曲

8、線的極坐標方程為.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標系,則曲線的參數方程_。 （2013年高考湖南（文11）在平面直角坐標系中,若直線(s為參數)和直線(t為參數)平行,則常數a的值為_ （2013年高考陜西卷（文15）圓錐曲線 (t為參數)的焦點坐標是_4. （2014年高考湖南卷（文）在平面直角坐標系中，曲線C：(t為參數)的普通方程為_5（2013年高考課標卷（文） 已知曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.()把的參數方程化為極坐標方程;()求與交點的極坐標().6（2014年高考新課標卷2（文）在直角坐標系xOy中，以

9、坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為，.(I)求C的參數方程；（II）設點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(1)中你得到的參數方程，確定D的坐標7. （2015年高考廣東卷（文）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數），則與交點的直角坐標為 第四節(jié) 極坐標和參數方程的綜合應用考點一：曲線上的動點到直線距離的最值問題常用參數方程和三角恒等變換的知識解決。步驟：（1）利用曲線的參數方程把曲線上的動點的坐標設出來；（2）利用點到直線的距離公式求出曲線上的動點到直線的距離；（3）利用輔助

10、角公式（其中），把第（2）步求出的距離的右邊化為（）的模式。（4）利用三角函數的有界性求出距離的最值?！镜淅?】 在直角坐標系中，曲線的參數方程為，在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為。（I）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（II）設為曲線上的動點，求點到的距離的最小值，并求此時點的坐標。變式：若把曲線的參數方程改為，設為曲線上的動點，求點到的距離的最大值。練習：1（2014年高考新課標卷1（文）已知曲線C：1，直線l：(t為參數)(I)寫出曲線C的參數方程、直線l的普通方程；（II）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|

11、的最大值與最小值2. (2015年高考陜西卷（文）在直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標方程為.(I)寫出的直角坐標方程；(II)為直線上一動點，當到圓心的距離最小時，求點的坐標.考點二：標準直線參數方程中參數的幾何意義【知識梳理】若（：參數）已是標準參數方程，即，且和曲線(圓、橢圓、拋物線)交于兩點，則:把中的代入曲線的直角坐標方程， 整理 ()，其中，； 為方程()的兩根（即兩點對應的參數分別為）,；由的幾何意義，得:公式1: 長度之積: ； 公式2: 長度之和:()；或()；公式3: 弦長； 但若是和圓可不用此公式,而用更簡單； 說

12、明：上述公式中的兩條線段為所過的點分別和曲線兩交點的連線段 ； 公式4:線段AB的中點M對應的參數?！镜淅吭谥苯亲鴺讼抵校本€的參數方程為（t為參數）.在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（）求圓C的直角坐標方程；（）設圓C與直線交于點A、B，若點P的坐標為，求的值 .練習：1.已知過點的直線與曲線交于兩點，求,；2.經過點作直線，交橢圓于兩點。如果點恰好為線段的中點，求直線的方程。3. （2014年高考江蘇卷（文）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，求線段AB的長考

13、點三：求動點的軌跡方程問題求曲線的極坐標方程的方法和步驟：建、設、限、代、化(1)建立適當的極坐標系，設是一曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關系式；(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線上的極坐標方程；(4)證明所得方程就是曲線的極坐標方程【典例】（2013年高考課標卷（文）已知動點都在曲線上,對應參數分別為與,為的中點.()求的軌跡的參數方程;()將到坐標原點的距離表示為的函數,并判斷的軌跡是否過坐標原點.練習：1.已知曲線的參數方程為，在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線。（）求曲線的普通方程；（）若點A在曲線上，點B（3，0），當點A在曲線上運動時，求AB中點P的軌跡方程。 2.在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑。（）求圓的極坐標方程；（）若點在圓上運動，點在的延長線上，且,求動點的軌跡方程。3.以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，自極點作直線與曲線相交于點，在線段上有一動點滿足若點的軌跡為曲線，方程（為參數）表示的軌跡為曲線（）求曲線的極坐標方程；（）若曲線與交于點、，求、兩點間的距離考點四：應用的幾何意義表示兩點間的距離極坐標系下的兩點間的距離公式：設，由余弦定理可得，特別地，當時，【典例】(2015年高考新課標