構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用構(gòu)造輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：證明等式和不等式是高等數(shù)學(xué)中的常見問題，證明方法也多種多樣。論文通過幾個例子，從研究題目的條件和結(jié)論人手，巧妙構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)進行解題，既能簡化證明，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。構(gòu)造輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)解題的一個很好的工具，輔助函數(shù)是使問題轉(zhuǎn)化的橋梁，通過恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù)可以幫助我們解決很多數(shù)學(xué)問題，使問題簡單化，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是多種多樣的，有時需要巧妙的靈活運用，構(gòu)造輔助函數(shù)法還需要進一步探索和總結(jié)如何構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)解題中的難點，看似無章可循，但仔細研究不失基本方法和一般規(guī)律文章通過詳盡的實例講明了輔助函數(shù)在中值問題不

2、等式恒等式函數(shù)求極限討論方程的根及計算積分求函數(shù)值中的運用關(guān)鍵詞：構(gòu)造輔助函數(shù)；中值定理；恒等式與不等式；在解題過程中，如果用思維定勢來探求解題途徑比較困難時，我們不妨換一下思維角度，從問題的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，構(gòu)造一個與問題相關(guān)的輔助函數(shù)，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到證明。本文通過對高等數(shù)學(xué)中中值問題、不等式的證明、恒等式的證明、函數(shù)求極限問題、討論方程的根及計算積分求函數(shù)值這幾類問題，應(yīng)用構(gòu)造輔助函數(shù)進行求解，從不同題型總結(jié)歸納了輔助函數(shù)的思想和具體的方法一、有關(guān)中值定理命題的證明的應(yīng)用1.1構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值存在性問題設(shè)/(X)，g(x)在凡”連續(xù)，在(0力)可導(dǎo)。而Vxea,Z)9g(

3、x)wO證明至少存在一"點(a.b)使/g(4)=g'/G)分析：由于所證命題含有導(dǎo)數(shù)形式，我們大膽猜想它積分后的形式。為此我們分下面幾步走：(一)將結(jié)論化為r(x)g(x)=g1x)/(x)(二)移項并同時除以g2(x)得：,)g(-1R>'I=。g.(三)求積分，并令之為尸(X)如""1嗡嚼嗡則Fx就是我們要找的輔助函數(shù)。證明由于fx,gx在a,b連續(xù)，在a,b可導(dǎo)且fafb0則Fx在a,b滿足羅爾中值定理，存在a,b,使得F'0即f'g2g'f0也即f'gg'f即為所g證二、在證明不等式中的應(yīng)用1

4、.2構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式1.2.1 構(gòu)造輔助函數(shù)用單調(diào)性證明不等式構(gòu)造輔助函數(shù)的方法靈活多變，不同的知識段有著不同的技巧和方法，用函數(shù)單調(diào)性證明不等式常用的方法有：（1）用不等式兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù).（2）用不等式兩邊適當(dāng)“求商”構(gòu)造輔助函數(shù).（3）根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)，構(gòu)造“形似”輔助函數(shù).（4）如果不等式中涉及到騫指函數(shù)形式，則可通過取對數(shù)將其化為易于證明的形式，再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù)設(shè)x0,1)證明(1x)ln2(1x)x2分析：利用“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)(1x)ln2(1x)x2,再根據(jù)F(x)在區(qū)間(0,1)的單調(diào)性證明之。證明令F(x)(1x)ln2(1

5、x)x2,則F'(x)In2(1x)2ln(1x)2xF"(x)ln(1x)x1xg(x)In(1x)x,則g'(x)1x0x0,1，所以g(x)在'1x1x'x(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減)從而g(x)g(0)0)F"(x)0；F'(x)在x(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減)從而F,(x)F'(0)0)所以F(x)在x(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減)F(x)F(0)0)故(1x)ln2(1x)x21.2.2構(gòu)造輔助函數(shù)用拉格朗日定理證明不等式對于一些不等式，我們觀察它的形式，不難發(fā)現(xiàn)，對不等式進行適當(dāng)?shù)淖冃?，我們可以?gòu)造出輔助函數(shù)F(x),F(x)能夠滿

6、足拉格朗日中值定理SlnbJ其中0ab；baa,J分析：lnblnbIna不等式b-alnbInaa(0ab)ababa0故可將原不等式恒等變形為1也也。觀bbaa察此不等式，我們可以發(fā)現(xiàn)中間式子符合拉格朗日中值公式的形式，故我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)lnx)xa,b證明：令F(x)lnx由拉格朗日中值定理條件，可知至少存在一點a，b 使得 F,(X)F(b)-F (a)b ab)InbIna1.2.3構(gòu)造輔助函數(shù)用最大值(或最小值)證明不等式對于某些函數(shù)不等式，若F'(x)在a,b內(nèi)變號時，不易有函數(shù)單調(diào)性證明，此時可考慮用最值進行證明。證明：當(dāng)x1時,分析：將不等式改寫成1xex

7、1(x1)。作輔助函數(shù)fx1xex,只要證明fx的最大值為1或小于1即可。0,x0證明：令fx1xex,則f'xxex0,x00,0x1.所以)函數(shù)fx的極大值也即最大值為f015故fx1xexf01(x1)三、在證明恒等式中的應(yīng)用1.3構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式證明：當(dāng)1x1時，arcsinxarctan,xV1；分析：可將等xarcsinxarctan-20)1x式arcsinxarctanp-x在變形為V1x引入輔助函數(shù)xF(x)arcsinxarctan:121x觀察等式的右邊為常數(shù)0-即要證明此復(fù)合函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，的一階導(dǎo)數(shù)為零即可。證明恒等式步驟是先對F(x)求導(dǎo))得到F

8、9;(x)0,只須證明函數(shù)F(x)Co的一般從而說明函數(shù)F(x)是一個常數(shù)，即F(x)*然后代入特殊值求出c證明/F(x)arcsinxarctanp-x2)貝1x211xF'x-221x21x21x21x2_1_1x211x2所以F(x)c(1x1)。又F(0)0,則c0,因此F(x)0,即,xarcsinxarctan,J1x在用輔助函數(shù)證明恒等式時，恒等式一般由函數(shù)和常數(shù)構(gòu)成，或者等式兩邊都是函數(shù)，我們可以把常數(shù)或函數(shù)式移到一邊得到輔助函數(shù)，對輔助函數(shù)進行求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為零，再在定義域內(nèi)取一特殊值代入輔助函數(shù)，值為零即可。也可以分別對等式兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)相等，且在定義域能找

9、到一特殊值，使得函數(shù)值相等也可證明出恒等式1.4 構(gòu)造輔助函數(shù)求極限求nim詬A一4、A.-41lnx解：作輔助函數(shù)fxx，則fxelnx.Inx.1.limlim一limfxlimexexxexxe1xx故lim詬limfn1nn1.5 構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根討論方程根的題目，主要有兩類，一類是結(jié)合閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理去思考，解方程F(x)0,實質(zhì)上是求函數(shù)F(x)0的零點，關(guān)于函數(shù)零點的問題一般是利用連續(xù)的性質(zhì)及微分中值定理來解決.另一類是在已知函數(shù)的基礎(chǔ)上論證導(dǎo)函數(shù)方程根的情況，此時就要考慮羅爾定理了.試證方程。xHTdtcietdt0有且僅有一個實根分析引入輔助函數(shù)F(x)0x

10、afdt二etdt0證明一個方程有且僅有一個實根可轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)f(x)有且僅有一個零點，證明需考慮兩點，一是利用零點定理說明函數(shù)F(x)0至少有一個零點，二是利用單調(diào)性或反證法說明函數(shù)F(x)0只有一個零點。證明F(x)、斯"2dt0f-U0x21£2-；4f-UTin由F(0)1etdt0etdt0)F(3)0241tdt0由支點7E理可知，F(xiàn)(x)在0,-內(nèi)至少有一個零點，即方程至少有一個實根。又F'(x),1x4e8sxsinx01)在(，)內(nèi)單調(diào)上升，所以F(x)只有一個零點,即原方程只有一個實根1.6 構(gòu)造輔助函數(shù)計算積分及求函數(shù)值參考文獻：高等數(shù)學(xué)典型例題法與解法上高等數(shù)學(xué)中的典型問題與解法構(gòu)造輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用淺析構(gòu)造思想在高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用構(gòu)造輔助函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用盧蓮芬輔助函數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)教育學(xué)報劉勇。高等數(shù)學(xué)中的構(gòu)造輔助函數(shù)數(shù)學(xué)教育學(xué)報李振延秦寶忠數(shù)學(xué)分析中輔助函數(shù)的構(gòu)