高中數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想

1、一、高中數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想1、 函數(shù)方程思想函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、 方程的觀點(diǎn)和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系， 從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。1 . 函數(shù)思想：把某變化過(guò)程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來(lái)，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問(wèn)題，這就是函數(shù)思想；2 .應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個(gè)步驟：（ 1 ）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題；（ 2 ）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題；（ 3 ）方程思想：在某變化過(guò)程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時(shí)常常列出這些變

2、量的方程或（方程組），通過(guò)解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；3 .函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問(wèn)題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決，很多函數(shù)的問(wèn)題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。2、 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一， 對(duì)于所研究的代數(shù)問(wèn)題， 有時(shí)可研究其對(duì)應(yīng)幾何的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決 （以形助數(shù)） ； 或者對(duì)于所研究的幾何問(wèn)題，可借助于對(duì)應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問(wèn)題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問(wèn)題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。1 . 數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)性和直觀性， 發(fā)揮數(shù)的思路的

3、規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長(zhǎng)避短。2 .恩格斯是這樣來(lái)定義數(shù)學(xué)的： “數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué) ”。這就是說(shuō)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間萬(wàn)事萬(wàn)物無(wú)不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。 因此， 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。3 .數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。4 .華羅庚先生曾指出： “數(shù)缺性時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。 ”數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性,或者借助于形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.5 .把數(shù)

4、作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中， 歷年高考的解答題都有關(guān)于這個(gè)方面的考查 （即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題）。 而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn)。6 .我們要抓住以下幾點(diǎn)數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng)：7 1） 對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；8 2） 對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)，頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），作好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用；9 3） 對(duì)于以下類型的問(wèn)題需要注意： 可分別通過(guò)構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓 x2+y2=1 上的點(diǎn) 及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。3、 分類討論的數(shù)學(xué)思想分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思

5、想方法， 當(dāng)問(wèn)題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)， 就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類， 然后對(duì)每一類分別研究， 給出每一類的結(jié)果， 最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。1 . 有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要運(yùn)用分類討論思想來(lái)解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：( 1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；( 2)運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；( 3)求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；( 4)數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；( 5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要采取分類討論的解題策略來(lái)解決的。2 .分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)

6、不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏 ，包含各種情況，同時(shí)要有利于問(wèn)題研究。四、 化歸與轉(zhuǎn)化思想所謂化歸思想方法， 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化， 進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。 一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變化轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題， 將難解問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題， 將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有1 . 通過(guò)輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，把已知元素和未知元素聚集在一個(gè)平面內(nèi)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)線、線線、線面、面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化；2 .平移和射影，通過(guò)平移或射影達(dá)到將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，化未知為已知的目的；

7、3 .等積與割補(bǔ)；4 .類比和聯(lián)想；5 . 曲與直的轉(zhuǎn)化；6 .體積比，面積比，長(zhǎng)度比的轉(zhuǎn)化；7 .解析幾何本身的創(chuàng)建過(guò)程就是“數(shù)”與 “形”之間互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程。解析幾何把數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來(lái)，把代數(shù)與幾何融合為一體。二、中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法1. 配方法配方法是指將一代數(shù)形式變形成一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式平方的形式.高考中常見(jiàn)的基本配方形式有：(1)aA2+bA2= (a + b)A2- 2ab = (a -b)A2+ 2ab; aA2+ bA2+cA2= (a +b + c)2- 2 ab - 2 a c - 2 bc;3 3) aA2+ bA2+ cA2-ab Hbc 力

8、c = (a-b)A2+ (b-c)A2+(a-c)A2;(配方法主要適用于與二次項(xiàng)有關(guān)的函數(shù)、方程、等式、不等式的討論，求解與證明及二次曲線的討論。4 .待定系數(shù)法一 待定系數(shù)法是把具有某種確定性時(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決。待定系數(shù)法的主要理論依據(jù)是：(1)多項(xiàng)式f(x)=g(x)的充要條件是：對(duì)于任意一個(gè)值a,都有f (a) = g(a);（2）多項(xiàng)式f（x）三g的充要條件是：兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等；二 運(yùn)用待定系數(shù)法的步驟是：（ 1）確定所給問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式（或曲線方程等）；（ 2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；（ 3）解方程或消去

9、待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決；三 待定系數(shù)法主要適用于：求函數(shù)的解析式，求曲線的方程，因式分解等。5 .換元法換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來(lái)的某些變量 （或代數(shù)式） ， 對(duì)新的變量求出結(jié)果之后， 返回去求原變量的結(jié)果。 換元法通過(guò)引入新的元素將分散的條件聯(lián)系起來(lái)， 或者把隱含的條件顯示出來(lái)， 或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)， 或者變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題。其理論根據(jù)是等量代換。高中數(shù)學(xué)中換元法主要有以下兩類：（ 1）整體換元：以 “元”換 “式 ”；（ 2 ）三角換元 ，以 “式 ”換 “元”；（ 3）此外，還有對(duì)稱換元、均值換元、萬(wàn)能換元等；換元法應(yīng)用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函

10、數(shù)的值域，求數(shù)列的通項(xiàng)與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用。 運(yùn)用換元法解題時(shí)要注意新元的約束條件和整體置換的策略。6 . 向量法向量法是運(yùn)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的一種方法，解題常用下列知識(shí)：（ 1）向量的幾何表示，兩個(gè)向量共線的充要條件；（ 2 ）平面向量基本定理及其理論；（ 3）利用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；（ 4）兩點(diǎn)間距離公式、線段的定比分點(diǎn)公式、平移公式；7 .分析法、綜合法（ 1）分析法是從所求證的結(jié)果出發(fā)，逐步推出能使它成立的條件，直至已知的事實(shí)為止；分析法是一種 “執(zhí)果索因 ”的直接證法。（ 2）綜合法是從已經(jīng)證明的結(jié)論、公式出發(fā)，逐步推出所要求證的結(jié)論。綜合法

11、是一種 “由因?qū)Ч?”，敘述流暢的直接證法。（ 3）分析法、 綜合法是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩大最基本的方法。分析法 “執(zhí)果索因 ”的分析方法，思路清晰，容易找到解題路子，但書寫格式要求較高，不容易敘述清楚，所以分析法、綜合法常常交替使用。分析法、 綜合法應(yīng)用很廣，幾乎所有題都可以用這兩個(gè)方法來(lái)解。8 .反證法反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方法，因?yàn)槊} p 與它的否定非p 的真假相反，所以要證一個(gè)命題為真， 只要證它的否定為假即可。 這種從證明矛盾命題 （即命題的否定）為假進(jìn)而證明命題為真的證明方法叫做反證法。一 反證法證明的一般步驟是：（ 1）反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（ 2）歸謬：從命題的條件和所作的結(jié)論出發(fā) ,經(jīng)過(guò)正確的推理論證,得出矛盾的結(jié)果；（ 3）結(jié)論：有矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定的結(jié)論正確；二 反證法的適用范圍： （ 1 ） 已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少時(shí)的命題；（ 2） 結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更簡(jiǎn)單的命題， 特別是結(jié)論是否定形式