第十章(第一部分)曲線積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分（第一部分）曲線積分、對弧長的曲線積分（第一型曲線積分）一、對弧長的曲線積分的概念1定義 . 2物理意義 表示線密度為的弧段的質量.二、對弧長的曲線積分的性質1線性性質：.2可加性：若，則.3的弧長：.4單調性：設在上，. 則.5與積分曲線的方向無關性：三、對弧長的曲線積分的計算方法方法：化為定積分計算（注：下限<上限）（1）若 ；則.（2）若 ；則.（3）若 ；則.（4）若 ；則.注 被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡！四、對弧長的曲線積分典型例題例1 計算，其中為雙曲線從點至點的弧段分析由于本題積分曲線的方程可化為或的形式，但考慮到化為以為積分變量的定積分計算比較

2、困難，故本題積分曲線應采用的形式。解 由于，；所以.注 由于被積函數(shù)定義在曲線上，故滿足曲線的方程。因此，計算第一型曲線積分時應首先需要利用曲線方程化簡被積函數(shù)，這是計算曲線積分的一個重要知識點.例2 設為橢圓，其周長記為，求.分析 由于積分曲線可恒等變形為，而被積函數(shù)中又含有，故可將代入，從而簡化被積函數(shù)，然后再計算；對于積分，由于關于軸（軸）對稱，函數(shù)關于（或關于）為奇函數(shù)，故有.解 由奇偶對稱性可知，所以.例3 求，其中.分析 此題若用選取參數(shù)方程計算，將會很麻煩。注意到積分曲線是，而由輪換對稱性可知：，由奇偶對稱性知：. 故本題有如下簡單的解法。解 .例4 設曲線是球面與平面的交線，試

3、求積分解 根據(jù)輪換對稱性與代入技巧，有 .這里為的長度，為球面與平面的交線，所以它是圓，現(xiàn)求它的半徑，原點到平面的距離是，因此，的半徑為.五、對弧長的曲線積分的應用1幾何應用 求曲線的弧長.2物理應用 質量 .質心 ，.轉動慣量 ，.引力 .、對坐標的曲線積分（第二型曲線積分）一、對坐標的曲線積分的概念1定義 .2物理意義 .變力沿所作的功.二、對坐標的曲線積分的性質1線性性質：.2可加性：若（方向不變），則.3方向性：設是的反向曲線弧，則.三、對坐標的曲線積分的計算方法1直接計算法（化為定積分計算）.（注：下限起點，上限終點）（1）設；從變到；則.（2）設；從變到；則.（3） 設；從變到；則

4、.（4）設；從變到；則.2格林（Green）公式計算法.（注意使用條件?。ㄟ@里為區(qū)域的正向邊界曲線）3利用積分與路徑無關的條件計算法. 與路徑無關 ，為區(qū)域內任意閉曲線.，單連域，單連域. Newton lebniz公式的推廣。4斯托克斯（Stokes）公式計算法.（這里是有向曲面的正向邊界曲線） 注 被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡！四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 .其中、為有向曲線弧在點處的切向量的方向角.五、對坐標的曲面積分典型例題例1計算曲線積分，其中為曲線沿增大的方向。分析 由于，故曲線積分與路徑有關。又因積分曲線不是封閉的，計算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉化為定積分計算；二

5、是采用添補特殊路徑，然后應用Green公式計算。本題采用第一種方法計算比較簡便，這里應首先將積分曲線的方程改寫為，再代入被積函數(shù)中計算。解 由于，所以.例2計算曲線積分，其中為有向閉折線，這里的、依次為點、. 分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來看，可采用參數(shù)法轉化為定積分來計算，這里關鍵是要正確寫出積分曲線的參數(shù)方程?？紤]到本題為沿空間平面閉曲線的積分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式將曲線積分轉化為曲面積分計算。解法1：化為定積分計算. 由于（如圖），這里; 從變到.; 從變到. ; 從變到.所以 ；.從而 . 解法2：利用斯托克斯公式計算. 設為平面上所圍成部分的上側，為在坐

6、標面上的投影區(qū)域，則；由Stokes公式，得 .例3計算曲線積分其中為圓周（按逆時針方向繞行）.分析 由于本題積分曲線為圓周，故可首先寫出的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉化為定積分來計算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計算；此時應注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡，去掉奇點，使其滿足格林公式的條件。解法1：化為定積分計算。由于的參數(shù)方程為：，從變到. 則 .解法2：利用格林公式計算。設由所圍區(qū)域為，則；于是 .例4設函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。(1) 證明：對右半平面內的任意分段光滑簡單閉曲線，有；(2)

7、求函數(shù)的表達式；(3) 設是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求(1) 證 在右半平面內，任取兩點，以為起點，為終點作任意光滑曲線，再以為起點，為終點作圍繞原點的光滑曲線，由題設知所以，即(2) 解 因為對右半平面內任意分段光滑簡單閉曲線，有，所以 從而有 所以，有 ，比較兩邊的同次冪系數(shù)得，由第一式得 ，代入第二式得 ，于是，. (3) 解 設為正向閉曲線所圍區(qū)域，由(1) ，利用Green公式和對稱性，.例5計算曲線積分 ，其中為在第一象限沿逆時針方向的半圓弧。分析 本題若直接轉化為定積分計算是比較繁的。我們可以先看，以決定是否用格林公式或其他的方法計算。解 記，. 則由于，可見所給積分與路徑無關?，F(xiàn)取，從變到；則有 .或由 ，得 .六、對坐標的曲線積分的物理應用 求變力沿曲線所作的功：.例6設位于點的質點對質點的引力大小