空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識點大全經(jīng)典高考題帶解析練習題帶答案

1、 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱說明】1. 能夠利用共線向量、共面向量、空間向量基本定理證明共線、共面、平行及垂直問題；2. 會利用空間向量的坐標運算、兩點間的距離公式、夾角公式等解決平行、垂直、長度、角、距離等問題；3. 培養(yǎng)用向量的相關(guān)知識思考問題和解決問題的能力；【知識梳理】1、 空間向量的運算1、 向量的幾何運算（1）向量的數(shù)量積：已知向量 ，則 叫做 的數(shù)量積，記作 ，即 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：； ； （2）向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使2、向量的坐標運算（1）若，則 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。（2）若

2、， ，則 ， ， ；，（3） 夾角公式：（4）兩點間的距離公式：若 ， ，則二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2. 利用空間向量證明平行問題對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進行證明3. 利用空間向量證明垂直問題對于垂直問題，一般是利用進行證明；4. 利用空間向量求角度（1）線線角的求法： 設(shè)直線AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為 （線線角的范圍00,900）（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（3）二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角 的兩個面 ， 的法向量，則 就是二面角的平面角或其補角的大?。ㄈ鐖D）5.

3、利用空間向量求距離（1）平面的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個法向量（如圖）。（2）利用法向量求空間距離（a） 點A到平面的距離： ，其中，是平面的法向量。（b） 直線與平面之間的距離： ，其中，是平面的法向量。（c） 兩平行平面之間的距離： ，其中， 是平面的法向量?！窘?jīng)典例題】【例1】（2010全國卷1理）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】DABCSEF【例2】（2010全國卷2文）已知三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊

4、三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為（ ） （A） (B) (C) (D) 【解析】D【例3】（2012全國卷）三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成角的余弦值為_?！窘馕觥俊纠?】（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點。（）求異面直線CC1和AB的距離；（）若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值?！窘馕觥縀【例5】F（2012江蘇）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點D不同于點C），且為的中點 求證：（1）平面平面；AC（2）直線平面ADEBD【例6】（2012山東）在如圖所示的幾何體中

5、，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60°，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求證：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值錯誤！未指定書簽?！窘馕觥慷娼荈-BD-C的余弦值為【例7】（2012江西）在三棱柱中，已知，點在底面的投影是線段的中點。（1）證明在側(cè)棱上存在一點，使得平面，并求出的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值?！窘馕觥?，【例8】（2012湖南）四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90°，E是CD的中點.（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面A

6、BCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】【例9】（2012廣東）如圖所示，在四棱錐中，平面，是中點，是上的點，且，為中邊上的高。（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）證明：平面【解析】三棱錐的體積【例10】（2012新課標）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點，DC1BD（1）證明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小【解析】二面角的大小為【例11】如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面點在線段上，平面（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正切值【解析】二面角的平面角的正切值為3【例12】（2012天津）如圖，在四棱錐中

7、，丄平面，丄，丄，.()證明丄；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)E為棱上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為，求AE的長.【解析】，【課堂練習】1、（2012上海）若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為（用反三角函數(shù)值表示）2、（2012四川）如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是_。3、（2012全國卷）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小。4、（2010遼寧理）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：

8、CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.5、（2010遼寧文）如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，（）證明：平面平面；（）設(shè)是上的點，且平面，求的值.6、（2010全國文）如圖，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D為BB的中點，E為AB上的一點，AE=3 EB（）證明：DE為異面直線AB與CD的公垂線；（）設(shè)異面直線AB與CD的夾角為45°,求二面角A-AC-B的大小7、（2010江西理）如圖BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求點A到平面MBC的距離；（2） 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。8、（2010重

9、慶文）四棱錐中，底面為矩形，底面，點是棱的中點.（）證明：平面；（）若，求二面角的平面角的余弦值.9、（2010浙江文）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，ABC=120°。E為線段AB的中點，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F(xiàn)為線段AC的中點。（）求證：BF平面ADE；（）設(shè)M為線段DE的中點，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值。CBADEP10、（2010重慶理）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點E是棱PB的中點。（1）求直線AD與平面PBC的距離；（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。1

10、1、（2010北京理）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。12、如圖，弧AEC是半徑為的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC平面BED,FB=（1）證明：EBFD（2）求點B到平面FED的距離. 13、（2010江蘇卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。2、 求證：PCBC；3、 求點A到平面PBC的距離。14、（20

11、12上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（2）異面直線BC與AE所成的角的大小. 15、（2012四川）如圖，在三棱錐中，平面平面。（）求直線與平面所成角的大??；（）求二面角的大小。16、（2012安徽）長方體中，底面是正方形，是的中點，是棱上任意一點。（）證明： ；（）如果=2，=，,求 的長。17、（2012北京文）如圖1，在中，分別為的中點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使，如圖2。（）求證：平面；（）求證：；（）線段上是否存在點，使平面？說明理由。18、（2012

12、湖南）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）證明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.19、如圖，在三棱錐中，底面，是的中點，已知，求：（1）三棱錐的體積（2）異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20、（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的 菱形，, , ,為的中點。（）求異面直線AB與MD所成角的大??；（）求點B到平面OCD的距離?！菊n后作業(yè)】1.（2008全國）如圖，正四棱柱中，點在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小2、（2

13、008湖南）四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;ABCDEA1B1C1D1（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.3、（2008福建）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面 ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大?。唬ǎ┚€段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？ 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.4、(2008

14、海南、寧夏理)如圖，已知點P在正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上，PDA=60°。（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。ABCDOO1ABOCO1D5、（2005湖南文、理）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：ACBO1； （）求二面角OACO1的大小。6、（2007安徽文、理)如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求證:與AC共面，與BD共面. ()求證:平面()求二面角的大小.

15、7、(2007海南)如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點 （）證明：平面；（）求二面角的余弦值8、(2007四川理）如圖，是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直線與直線所成的角為60°. （）求證：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱錐的體積.9、(2006全國卷)如圖，、是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點A、B在上，C在上，。 （）證明ACNB；ABMNCl2l1H()若，求與平面ABC所成角的余弦值。10、（2006福建文、理）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD； （II）求異面

16、直線AB與CD所成角的大??；（III）求點E到平面ACD的距離。11、 （2010福建文）如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH/A1D1。過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點分別為F，G。（I）證明：AD/平面EFGH；（II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于幾何體A1ABFE D1DCGH內(nèi)的概率為p。當點E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運動且滿足EF=a時，求p的最小值。12、如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面； （）當且E為PB的中

17、點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.13、在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成的角的大?。唬?）求點到平面的距離.14、如圖4，在正三棱柱中，。D是的中點，點E在上，且。（1）證明平面平面（2）求直線和平面所成角的正弦值。 【參考答案】【課堂練習】1、2、3、30º4、SN與面CMN所成角為45° 5、A1D：DC1=1. 6、略7、，. 8、略 9、略 10、11、二面角的大小為. 12、13、點A到平面PBC的距離等于。 14、異面直線BC與AE所成的角的大小是15、直線二面角的大小為與平面所成的角的大小為16、17、略18、四棱錐的體積為.19、略 20、（1）與所成角的大