立體幾何幾何法—線面角

1、立體幾何（幾何法）線面角例1（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小?！敬鸢浮拷猓悍椒ㄒ唬?1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.設(shè)ACBDF，連結(jié)EF.因?yàn)锳C2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，F(xiàn)C，從而，.因?yàn)椋現(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90°，由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90°

2、;，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，AD兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則sin.所以PD與平面PBC所成的角為30°.方法二：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，則P(0,0,2)，E

3、，B(，b,0)于是(2，0，2)，從而·0，·0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)設(shè)(x，y，z)為平面PAB的法向量，則·0，·0，即2z0且xby0，令xb，則(b，0)設(shè)(p，q，r)為平面PBC的法向量，則·0，·0，即2p2r0且bqr0，令p1，則r，q，.因?yàn)槊鍼AB面PBC，故·0，即b0，故b，于是(1，1，)，(，2)，cos，60°.因?yàn)镻D與平面PBC所成的角和，互余，故PD與平面PBC所成的角為30°.例2（2012高考

4、天津文科17）（本小題滿分13分）如圖14，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2，PDCD2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)證明平面PDC平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值圖14【答案】解：(1)如圖所示，在四棱錐PABCD中，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因?yàn)锳DPD，故PAD為異面直線PA與BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面

5、PDC平面ABCD.(3)在平面PDC內(nèi)，過點(diǎn)P作PECD交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.由于平面PDC平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE平面ABCD.由此得PBE為直線PB與平面ABCD所成的角在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30°.在RtPEC中，PEPCsin30°.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PB.在RtPEB中，sinPBE.所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.例3（2012高考浙江文20）（本題滿分15分）如圖15，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A

6、DBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn)(1)證明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值圖15 【答案】解：(1)證明：()因?yàn)镃1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因?yàn)槠矫鍮1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因?yàn)锽B1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因?yàn)锽1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)設(shè)BA1與B1F交點(diǎn)為H，連結(jié)C1H.由(1)知BA1平面B1C