知識講解平面向量應用舉例基礎(chǔ)

1、平面向量應用舉例【學習目標】1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題2.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.3體會用向量方法解決實際問題的過程，知道向量是一種處理幾何、物理等問題的工具，提高運算能力和解決實際問題的能力【要點梳理】要點一：向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或x1y2x2y1=0）（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）

2、是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或x1x2+y1y2=0）（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題要點詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了要點二：向量在解析幾何中的應用在平面直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定

3、的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決常見解析幾何問題及應對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)（2）垂直條件運用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點的坐標的方程（3）定比分點問題：轉(zhuǎn)化為三點共線及向量共線的等式條件（4）夾角問題：利用公式要點三：向量在物理中的應用（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將物理問題抽象成數(shù)學模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：力、速度、位移都是向量

4、；力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；動量mv是數(shù)乘向量；功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論【典型例題】類型一：向量在平面幾何中的應用例1用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角已知：如下圖，AB是O的直徑，點P是O上任一點（不與A、B重合），求證：APB90°證明：聯(lián)結(jié)OP，設向量，則且，即APB90°【總結(jié)升華】解決垂直問題，一般的思路是將目標線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零，而在此過程中，則需運用向量運算，將目標向量用基底表

5、示，通過基底的數(shù)量積運算式使問題獲解，如本題便是將向量，由基底，線性表示當然基底的選取應以方便運算為準，即它們的夾角是明確的，且長度易知舉一反三：【變式1】P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心【答案】D【變式2】已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_；的最大值為_.【解析】=1= = = （F是E點在上的投影） 當F與C點重合時，上式取到等號例2如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對角線DB上一點，PFCE是矩形，證明：.【思路點撥】如果我們能用坐標表示與，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進行驗證即可.因此只要建立適當?shù)淖?/p>

6、標系，得到點A、B、E、F的坐標后，就可進行論證.【解析】以點D為坐標原點，DC所在直線為軸建立如圖所示坐標系，設正方形的邊長為1，則，于是，.舉一反三：【變式1】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，2），B（2，3），C（2，1）（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；（2）設實數(shù)t滿足，求t的值【答案】（1），（2）【解析】 （1）由題設知，則，所以，故所求的兩條對角線長分別為，（2）由題設知，由，得(3+2t，5+t)·(2，1)=0，從而5t=11，所以類型二：向量在解析幾何中的應用例3已知圓C：（x-3）2+（y-3）2=4及定點A（1，1），M為圓

7、C上任意一點，點N在線段MA上，且 ，求動點N的軌跡方程 【思路點撥】設出動點的坐標，利用向量條件確定動點坐標之間的關(guān)系，利用M為圓C上任意一點，即可求得結(jié)論 【答案】x2+y2=1【解析】設N（x，y），M（x0，y0），則由得（1x0，1y0）=2（x1，y1），即代入(x3)2+(y3)2=4，得x2+y2=1【總結(jié)升華】本題考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用向量條件確定動點坐標之間的關(guān)系，屬于中檔題舉一反三：【變式1】已知ABC的三個頂點A（0，4），B（4，0），C（6，2），點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點（1）求直線DE、EF、FD的方程；（2）求AB邊上的高CH所在直線的

8、方程【答案】（1）xy+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0【解析】 （1）由已知得點D（1，1），E（3，1），F(xiàn)（2，2），設M（x，y）是直線DE上任意一點，則，(2)×(x+1)(2)(y1)=0，即xy+2=0為直線DE的方程同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x+5y+8=0，x+y=0（2）設點N（x，y）是CH所在直線上任意一點，則又，4(x+6)+4(y2)=0，即x+y+4=0為所求直線CH的方程【總結(jié)升華】（1）利用向量法來解決解析幾何問題，首先要將線段看成向量，再把坐標利用向量法則進行運算（2）要掌握向量的常用知識：共線；垂直；模；夾角；向

9、量相等則對應坐標相等 類型三：向量在物理學中“功”的應用例4一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8 m，其中|F1|=2 N，方向為北偏東30°；|F2|=4 N，方向為北偏東60°；|F3|=6 N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功【答案】【解析】 以物體的重心O為原點，正東方向為x軸的正半軸建立直角坐標系如圖，則，則又位移，合力F所做的功為（J）合力F所做的功為J【總結(jié)升華】用向量的方法解決相關(guān)的物理問題，要將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來，再根據(jù)它的物理意義建立數(shù)學模型，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解，最后

10、將數(shù)學問題還原為物理問題 舉一反三：【變式1】已知一物體在共點力的作用下產(chǎn)生位移，則共點力對物體所做的功為（ ）A、4 B、3 C、7 D、2【答案】C【解析】對于合力，其所做的功為.因此選C.類型四：向量在力學中的應用例5如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角的關(guān)系；（2）求F1的最小值；（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求的取值范圍【答案】（1）增大時，|F1|也增大（2）（3）0°，120°【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=

11、0，設F1，F(xiàn)2的合力為F，則F=G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，0°，180°，由于函數(shù)y=cos在0°，180°上為減函數(shù)，逐漸增大時，逐漸減小，即逐漸增大，增大時，|F1|也增大（2）由上述可知，當=0°時，|F1|有最小值為（3）由題意，即由于y=cos在0°，180°上為減函數(shù)，0°，120°為所求【總結(jié)升華】生活中“兩人共提一桶水，夾角越大越費力”，“在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小就越省力”等物理現(xiàn)象，通過數(shù)學推理與分析得到了詮釋舉一反三：【變式1

12、】兩個大小相等的共點力，當它們間夾角為時，合力的大小為20N，則當它們的夾角為時，合力的大小為（ ）A、40N B、 C、 D、【思路點撥】力的合成關(guān)鍵是依平行四邊形法則，求出力的大小，然后再結(jié)合平行四邊形法則求出新的合力.【解析】對于兩個大小相等的共點力，當它們間夾角為時，合力的大小為20N時，這二個力的大小都是N，對于它們的夾角為時，由三角形法則，可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形，因此合力的大小為N. 正確答案為B.【總結(jié)升華】力的合成可用平行四邊形法則，也可用三角形法則，各有優(yōu)點，但實質(zhì)是相通的，關(guān)鍵是要靈活掌握；對于第一個平行四邊形法則的應用易造成的錯解是，這樣就會錯選答案D.類型五：向

13、量在速度中的應用例6在風速為km / h的西風中，飛機以150 km / h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速和航向【思路點撥】這是航行中的速度問題，速度的合成與分解相當于向量的加法與減法，處理的方法和原則是三角形法則或平行四邊形法則.【答案】，北偏西60°【解析】設風速為，飛機向西北方向飛行的速度為va，無風時飛機的速度為vb，則如圖，vb=va，設，過A點作ADBC，過C作CDAD于D，過B作BEAD于E，則BAD=45°，所以，從而，CAD=30°所以沒有風時飛機的航速為km / h，航向為北偏西60°【總結(jié)升華】本題主要考查向量在物理學中