高二數(shù)學直線與平面垂直和平面與平面垂直

1、題目 第九章(B)直線、平面、簡單幾何體直線與平面垂直和平面與平面垂直高考要求 1理解直線和平面垂直的概念 掌握直線和平面垂直的判定定理；2掌握三垂線定理及其逆定理3掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 4通過例題的講解給學生總結(jié)歸納證明線面垂直的常見方法：（1）證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直；（2）證與該線平行的直線與已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性質(zhì)定理；（4）同一法；向量法知識點歸納 1 線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點叫做垂足直線與平面垂直簡稱線面垂

2、直，記作：a2直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面3 直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行4 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式： 5三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：三垂線指PA，PO，AO都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位

3、置，并注意兩定理交替使用6 兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面7兩平面垂直的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直推理模式：，8兩平面垂直的性質(zhì)定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 推理模式： 9向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法： 證明直線與平面垂直的方法：直線的方向向量與平面的法向量平行； 證明平面與平面垂直的方法：兩平面的法向量垂直題型講解 例1 已知直線a平面，直線b平面，O、A為垂足求證：ab 證明：以O(shè)為原點直線a為z軸，建立空間

4、直角坐標系，為坐標向量，直線a、b的向量分別為設(shè)=（x，y，z），b，=（0，0，z）=z，ab點評：因證明兩直線平行，也就是證明其方向向量共線，所以，利用兩向量共線的充要條件證明兩直線平行是新教材基本的數(shù)學方法，應做到熟練運用例2 已知PAO所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，過A點作AEPC于點E，求證：AE平面PBC 證明：PA平面ABC，PABC又AB是O的直徑，BCAC而PCAC=C，BC平面PAC又AE在平面PAC內(nèi)，BCAEPCAE，且PCBC=C，AE平面PBC點評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a直線b，直線

5、a平面，則直線b平面”例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求證：A1BB1C 證明：取A1B1的中點D1，連結(jié)C1D1B1C1=A1C1，C1D1ABB1A1連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，A1BAC1，A1BAD1取AB的中點D，連結(jié)CD、B1D，則B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影B1DA1B，A1BB1C點評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理例4 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點（1）求證：ADD1F；（2）

6、求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED平面A1FD1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當然也可用其它的證法證明：建立空間直角坐標系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1) =0×1+2×1+0×(-2)=0, ADD1F（2）=（2，0，1） =（1，0，-2），| ，|設(shè)AE與D1F的夾角為，則cos=所以，直線AE與D1F所成的角

7、為90°（3）由（1）知D1FAD，由（2）知D1FAE，又ADAE=A，D1F平面AED，D1F平面A1FD1M平面AED平面A1FD1例5 如圖，已知是圓的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的任一點，求證：平面平面分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可解：是圓的直徑，又垂直于所在的平面，平面，又在平面中，所以，平面平面點評：由于平面與平面相交于，所以如果平面平面，則在平面中，垂直于的直線一定垂直于平面，這是尋找兩個平面的垂線的常用方法小結(jié):1有關(guān)異面直線垂直的問題，除了用定義法外，還常常借助三垂線定理，轉(zhuǎn)化

8、為同一平面內(nèi)的直線的垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為02證明直線和平面垂直我們可以用定義法，即證明直線與平面內(nèi)的任一條直線垂直，但常用的還是線面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時侯將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問題，也許會給你帶來意想不到的收獲3面面垂直的問題一般轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題來解決，如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為0學生練習 1“直線l垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)”的A充分條件B必要條件C充要條件D既不充分又不必要

9、條件答案：B2給出下列命題，其中正確的兩個命題是直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行 夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面 直線m平面，直線nm，則n a、b是異面直線，則存在唯一的平面，使它與a、b都平行且與a、b距離相等A B C D解析：錯誤如果這兩點在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交正確如下圖，平面，A，C，D，B且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CGAB交平面于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點，則EHBG，HFGDEH平面，HF平面平面EHF平面平面EF，EF錯誤直線n可能在平面內(nèi)正確如右上圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過

10、E作aa，bb，則a、b確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的 答案：D3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四面體SEFG中必有ASG平面EFG BSD平面EFGCFG平面SEFDGD平面SEF解析：注意折疊過程中，始終有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG選A答案：A4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則下列關(guān)系不正確的是APABC BBC平面PACC

11、ACPBDPCBC解析：由三垂線定理知ACPB，故選C答案：C5ABC的三個頂點A、B、C到平面的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們在的同側(cè)，則ABC的重心到平面的距離為_解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面上的射影分別為A、B、C，ABC的重心為G，連結(jié)CG交AB于中點E，又設(shè)E、G在平面上的射影分別為E、G，則EAB，GCE，EE=（AA+BB）=，CC=4，CGGE=21，在直角梯形EECC中可求得GG=3 答案：3 cm6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1

12、C1B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等7設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點到CD1的距離為_；（2）A點到BD1的距離為_；（3）A點到面BDD1B1的距離為_；（4）A點到面A1BD的距離為_；（5）AA1與面BB1D1D的距離為_答案：（1） （2） （3） （4） （5）8RtABC在平面內(nèi)的射影是A1B1C1，設(shè)直角邊AB，則A1B1C1的形狀是_三角形解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知A1B1C的形狀仍是Rt 答案：直角4在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O平面MBD證明：連結(jié)MO DBA1A，DBA

13、C，A1AAC=A，DB平面A1ACC1又A1O平面A1ACC1，A1ODB在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，則A1OA+MOC=90°A1OOMOMDB=O，A1O平面MBD9在三棱錐SABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在ABC的AB邊的高CD上，點MSC，截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC，求證：SC截面MAB證明：CD是SC在底面ABC上的射影，ABCD，ABSC連結(jié)MDMDC=NSC，DMSCABDM=D，SC截面MAB10如下圖，在ABC中，ACB=90°，AB=8，BAC=60°，PC平

14、面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值解：P是定點，要使PM的值最小，只需使PMAB即可要使PMAB，由于PC平面ABC，只需使CMAB即可 BAC=60°，AB=8，AC=AB·cos60°=4CM=AC·sin60°=4·=2PM=211在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA底面ABCD（1）當a為何值時，BD平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PMDM（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PMDM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BDPA，問題歸結(jié)為a為何值時，BDAC，從而知ABCD為正方形（1）解：當a=2時，ABCD為正方形，則BDAC又PA底面ABCD，BD平面ABCD，BDPABD平面PAC故當a=2時，BD平面PAC（2）證明：當a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結(jié)AM、DM、MNABMN和DCMN都是正方形，AMD=AMN+D