第二章 賦范線性空間

1、第二章賦范線性空間一 賦范空間的基本概念1 賦范空間的定義定義 設(shè)是域上的線性空間，函數(shù)：滿足條件：1) 對任意，；且，當且僅當；2) 對任意及， (齊次性)；3) 對任意， (三角形不等式)稱是上的一個范數(shù)，上定義了范數(shù)稱為賦范(線性)空間，記為，有時簡記為。 在一個賦范線性空間中，通過范數(shù)可以自然地定義一個距離，（1）稱賦范空間這個距離是由范數(shù)誘導的距離，這個賦范空間是一個距離空間。2 賦范空間的基本性定理1.1設(shè)是賦范空間，則1） 范數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，即當時時，；2） 線性運算是連續(xù)的，即當及時，；當及時，定理1.2設(shè)是賦范空間，如果是完備的且級數(shù)+ (4)收斂，則級數(shù)收斂，且。反之，如

2、果在一人賦范空間中，任意無窮級數(shù)(4)收斂有級數(shù)收斂，則空間是空間。3 凸集凸集是線性空間中一個重要的幾何概念，它在泛函分析中有著十分廣泛應(yīng)用。定義設(shè)是線性空間，是子集，如果對任意，及滿足的數(shù)，稱是中的凸集。從定義不難看出，任意個凸集的交集還是凸集。設(shè)是空間中任意子集，所有包含集的凸集交集是凸集，稱這個凸集是集生成的凸集或集的凸包，記為。4 賦范空間的例例1空間。中按通常方式定義線性運算，即按坐標相加用數(shù)乘是線性空間，定義，其中例2 空間（見）二空間1不等式與不等式引理2.1設(shè)是正數(shù)，且滿足（1）則對任意數(shù)（2）引理2.2（不等式）設(shè)是可測集，是上的可測函數(shù)，則有不等式（3）引理2.3（不等式

3、）設(shè)是可測集，是上的可測函數(shù)，則有不等式（4）空間設(shè)是上的可沒集，是可測函數(shù)，。如果在上可積，稱是上次冪可積函數(shù)，用表示所有上次冪可積函數(shù)的全體，其中兩個幾乎處處相等的函數(shù)看作是同一元，在中按通常方式定義線性運算，是線性空間，對于每一定義由不等式，它滿足三角形不等式，至于范數(shù)的另外兩條公理顯然成立，所以是一個賦范空間。定理2.4是空間。定理2.5是可分的。3 空間設(shè)是上的可沒集，是可測函數(shù)，如果存在可測子集，使得且在上是有界的，稱在上本質(zhì)有界的，用表示上本質(zhì)有界可測函數(shù)全體。按通常方式定義線性運算，構(gòu)成線性空間。同樣地，在中兩個幾乎處處相等的函數(shù)看作同一元，在上定義不難驗證，是的上范數(shù)，在中點

4、列按范數(shù)收斂于等價函數(shù)列在上除去一個零測度集之外一致收斂于，是一個不可分的空間。三賦范空間進一步的性質(zhì)1賦范空間的子空間設(shè)是賦范線性空間，是的線性子空間，如果在中取原來上的范數(shù)，那么是賦范空間，稱它為的賦范子空間。這里，不難驗證賦范空間的任一完備子空間是閉子空間；空間的任一閉子空間是空間。2賦范空間的完備化如果一個賦范空間不完備，可以將其完備化。設(shè)是給定的賦范空間，作為一個距離空間有一個完備化。設(shè)，其中，是中的列，在中定義線性運算及范數(shù)：這時是一個空間，并且的一個稠密子空間等距同構(gòu)。3賦范空間的商空間設(shè)是線性空間的線性子空間，對于，如果，則，不難證明“”是等價關(guān)系，對于，用表示以為代表的等價類，表示所有中元的等價類全體。在中定義線性運算：是一個線性空間，稱這個空間為關(guān)于子空間的商空間，記為。定理3.1設(shè)是空間，是的子空間，則賦范商空間是空間。4賦范空間的乘積設(shè)，是賦范空間，在積集中按坐標定義線性運算，顯然這時是一個線性空間。如果定義，定義不難驗證是賦范空間，并且如果及都是空間，則也是空間。5賦范線性空間的基如果是一個有窮維賦范空間，則在中存在個線性無關(guān)元，使得中每一元唯一地表示為的形式。是線性空間的一個基。6等價范數(shù)設(shè)與是線性空間上兩個范數(shù)，如果存在常數(shù)，使得對于每一個，稱這兩個范數(shù)與是等價的。四有窮維賦范空間定理4.1任意維賦范空