橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題VIP

1、橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法(1)利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理；(2)利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征進(jìn)而求解；(3)利用函數(shù)最值得探求方法，將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來(lái)處理，此時(shí)應(yīng)注意橢圓中x、y的取值范圍；(4)利用三角替代(換元法)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題處理。一、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)重合時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)取得最大值a+c(遠(yuǎn)日點(diǎn))、最小值a-c(近日點(diǎn))。22推導(dǎo)：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓二十%=1(a>bA0)上的任意一點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1(c,0),ab222

2、|PFi|=d(Xo+c)2+y2,由空+岑=1得y°=b2(1當(dāng))，將其代入aba22c|PF1|=v(xo+c)+yo并化簡(jiǎn)得|PF1|=-x0+a。所以，當(dāng)點(diǎn)P(Xo,yo)為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)acA2(a,0)重合時(shí)，|PFJmax=a+a=c+a；當(dāng)點(diǎn)P(x°,y°)為長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)A(a,0)重a合時(shí)。|PF11min=c'(a)+a=ac。當(dāng)焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)F2(c,0)時(shí)，可類似推出。a聯(lián)立 2x 2.y =1，消y去得(1十二)x2生 x + b21=0。2 m m因?yàn)橹本€y =x +b與橢圓 m2土十y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)2所以：=-2b2設(shè) A

3、(xi, y) B(&, y?),線段 AB 的中點(diǎn) M (Xm , yM),則 x +溝=4mbXMyMXx221-xMm2mbm2 22Jm b b 二-zm2 2。將線段AB的中點(diǎn)M(4mb-m 2m2b-2-b-)代入直線m 2由得m(2)令 t解得b =m2 22m2 °6 T或m、,6> 。316. 6、m(一萬(wàn)，0)9/)則 1ABi1x2)2 -4x1x2 1= t2 1423-2t4 2t22t2J，2t2 -且O到直線AB的距離為d = -2 .t2 1設(shè)MOB的面積為S(t),所以S(t)=>B|d4v-2(t2-i)2+2"21當(dāng)

4、且僅當(dāng)t2=一時(shí)，等號(hào)成立2故&AOB面積的最大值為22.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程4x2+y2=1,解(1)由得5x2+2mx+m21=0,y=x+m因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)所以= 4m2-(2)設(shè)直線與橢圓交于A(xi,yi),B(x2,y2)兩點(diǎn)，由(1)知：5x2+2mx+m21=0,所以x1+x2=一二，x1x2=1(m21),55所以|AB|=-：x1-x22+y1一y22=12x1x22=12x1+x224x1x2:J2|4m-，(m2_J|=2/10_8m2.|L25

5、55所以當(dāng)m=0時(shí)，|AB|最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為y=x.反思與感悟解析幾何中的綜合性問(wèn)題很多，而且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問(wèn)題等.解決這類問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條件跟蹤訓(xùn)練2如圖，點(diǎn)A是橢圓C：:+J=1(a>b>0)的短軸位于y軸下方的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Aa2b2且斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn)B,若P在y軸上，且BP/x軸，ABAP=9.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,1）,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2

6、)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,t),求t的取值范圍.解.直線AB的斜率為1，.二zBAP=45°,即4BAP是等腰直角三角形，|循|=3|碓|.ABaP=9,.,-/AB|AP|cos456|AP12cos459可.AP|=3.P(0,1),.OP|=1,|OA|=2,即b=2,且B(3,1).B在橢圓上，.9+1=1,得a2=12,a24x2y2.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為行+廣1.由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,t）及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,t3）,-t3b,即b3t.-t 23-2t顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,t）,將它代入橢圓方程得：""2'+52=1，解得a2=一a

7、J-t.a2>b2>0,2- >(3 1)2>0.332t32t>1'即32132t>0，.所求t的取值范圍是0<t<一.2二、橢圓中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題解決時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、幾何法等方法。解決此類問(wèn)題的方法有兩種：(1)進(jìn)行一般計(jì)算、推理求出結(jié)果；(2)通過(guò)檢查特殊位置，探索出定點(diǎn)“定值”，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算。2.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢

8、圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。22解：(1)根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程、+冬=1(abA0),aba+c=3a=2-由已知得3，解得3，b2=221=3,a-c=1c=122所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+-=1o43y=kx+m(2)設(shè)A(o%),B(X2,y2),聯(lián)立<x"y2/導(dǎo)(3+4k2)x2+8mkx+4(m23)=0,43則由題意得=64m2k2-16(34k2)(m2-3)0xi + x2 = 且,Xi X2 =-即 3 +4k2 m2 >0 ,8mk-34k24(m23)34k222、223(m-4k)又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=kx1x2+mk(x1+x2)+m=2-,34k2設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為D;以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0)，二kADkBD=-1,即1=1，二y1y2+xix2-2(xi+x2)+4=。，x1-2x2-23(m2 -4k2) 4(m2 -3) 16mk3 4k23 4k23 4k2+ 4 = 0,化簡(jiǎn)整理得7m2 + 16mk + 4k2 =0,2k