橢圓雙曲線拋物線經(jīng)典求法及歷年真題

1、解決圓錐曲線常用的方法1、定義法(1)橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，ri=edir2=ed2。(2)雙曲線有兩種定義。第一定義中，ri62a,當ri>r2時，注意2的最小值為c-a：第二定義中，c=edi,r2=ed2,尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與“點到準線距離”互相轉(zhuǎn)化。(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一

2、，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中點為M(xo,yo),將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有：22xy(1)1T1(ab0)與直線相交于a、B，設弦AB中點為M(X0,yo),則有ab亞血k0。2,2'Dab22(2)X2yT1(a0,b0

3、)與直線l相交于A、B,設弦AB中點為M(xo,yo)則有ab空當k0ab(3)y2=2px(p>0)與直線l相交于A、B設弦AB中點為M(x0,y。),則有2y0k=2p,即yok=p.4、數(shù)形結(jié)合法解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運算推理與幾何的論證說明結(jié)合起來考慮問題，在解題時要充分利用代數(shù)運算的嚴密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結(jié)構(gòu)特征，想象為某些圖形的幾何意義而構(gòu)圖，用圖形的性質(zhì)來說明代數(shù)性質(zhì)。如“2x+y”，令2x+y=b,則b表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如“x2+y2”，令一y2d,則d表示點P(x,y)到原點的距離；又如“匕蟲”，令工

4、2=七則kx2x2表示點P(x、y)與點A(-2,3)這兩點連線的斜率5、參數(shù)法(1)點參數(shù)利用點在某曲線上設點(常設“主動點”)，以此點為參數(shù)，依次求出其他相關量，再列式求解。如x軸上一動點P,常設P(t,0);直線x-2y+1=0上一動點P。除設P(xi,yi)外，也可直接設P(2y,-1,y1)(2)斜率為參數(shù)當直線過某一定點P(x0,y。時，常設此直線為y-y0=k(x-x0),即以k為參數(shù)，再按命題要求依次列式求解等。(3)角參數(shù)當研究有關轉(zhuǎn)動的問題時，常設某一個角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動點問題。6、代入法這里所講的“代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對于命題：“已知

5、條件P1,P2求(或求證)目標Q',方法1是將條件P1代入條件P2,方法2可將條件P2代入條件P1,方法3可將目標Q以待定的形式進行假設，代入P1,P2,這就是待定法。不同的代入方法常會影響解題的難易程度，因此要學會分析，選擇簡易的代入法。22例2、F是橢圓x-y1的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓43上一動點。(1) PAPF的最小值為(2) PA2PF的最小值為分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF或準線作出來考慮問題。解：(1)4-45設另一焦點為F,則F(-1,0)連AF,PFPAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF4V5當P是F A的延長線與橢圓的

6、交點時,PA(2)作出右準線1,作PHJ交于H,因手=4PF1-PH2，即2 PFPHPF取得最小值為4- J5。b2=3, c2=1,a=2, c=1e=1,2PA 2PFpAPH當A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為2-xa4 1 3c例3、動圓M與圓Ci：(x+1)2+y2=36內(nèi)切，與圓C2：(x-1)2+y2=4外切,求圓心軌跡方程。MD 0徑”(如圖中的MC解：如圖, AC. MA，點MMCMAMBMD )。MDMB的軌跡為橢圓,DB 即 6 MA(*)MB 22 x 2a=8, a=4, c=1 , b2=15 軌跡萬程為 一162L 115分析：作圖時，要注意相切時的“圖形

7、特征”：兩個圓心與切點這三點共線圖中的A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半點評：得到方程(*)求解，即列出 (x 1)2 y2后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式x1)2y24,再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣!例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=3sinA,求點A的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R(R為外接圓半徑)可轉(zhuǎn)化為邊長的關系。角軍：sinC-sinB=AB即ABACACsinA 2RsinC-2RsinB= , 2RsinA553

8、 BC56(*).點A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點).-2a=6,2c=10a=3, c=5,b=4所求軌跡方程為21(x>3)16點評：要注意利用定義直接解題， 這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M,求點M到x軸的最短距離。分析：(1)可直接利用拋物線設點，如設A(xi,xi2), B(x2, X22),又設 AB中點為M(xoyo)用弦長公式及中點公式得出y0關于x0的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。(2)M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法。解法一:(xi則xxi2

9、xi設A(xi,xi2),B(x2,x22),AB中點M(xo,yo)2222x2)2(xi2x；)2x22x02x22y0由得(xi-x2)21+(x1+x2)2=9即(xi+x2)2-4xix21+(xi+x2)2=9由、得2xix2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8x02-4yo)1+(2xo)2=9 4yo 4x29_.2，4xo24yo 4xo4x2(4x21)4x2 11 5,yo當 4xo2+1=3 即 x0-2時,25 ,一，(y0)min % 此時 M法二：如圖，2 MM 2AA2BB2I |AF| |BF|AB0HV1MM2當AB經(jīng)過焦點F時取

10、得最小值。5.M到x軸的最短距離為-4點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消X1X2,從而形成V。關于X0的函數(shù),這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M至ij x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊) 的屬性,簡捷地求解出結(jié)果的,但此解法中有缺點，即沒有驗證AB是否能經(jīng)過焦點F,而且點M的坐標也不能直接得出。例6、已知橢圓2一1(2 m 5)過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線 m 1從左到右依次變于A、B、C、D、設 f(m)= A

11、BCD| , (1)求 f(m), (2)求 f(m)的最值。分析：此題初看很復雜，對f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因 A、B來源于“不同系統(tǒng)”，A在準線上,B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防f (m)(Xb Xa).2 (XdXc)2|.2(XB XA) (XD Xc)此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。2 X 解：(1)橢圓一m21 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1,左焦點 Fi(-1,0)m 1則BC:y=x+1，代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2

12、m-1)x2+2mx+2m-m2=0設 B(x1,y1),C(x2,y2),則2mx1+x2=- (22m 1m 5)f(m)IABCD|亞&xa)(xd%)例x1x2)(xAxC)物x1x2、'2系(2)f(m).22m11,2(11)2m12m1當m=5時，f(m)min10.29當m=2時，f(m)max423點評：此題因最終需求xBxc,而BC斜率已知為1,故可也用“點差法”設BC中點為M(xo,yo),通過將B、C坐標代入作差，得0,0k0,將yo=xo+1,k=1代入得mm1x0x01m0,-x0,可見xbmm12m1xc2m2m1當然，解本題的關鍵在于對f(m)J

13、ABCD|的認識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)f(m)xBxC是解此題的要點。22例3:直線l:ax+y+2=0平分雙曲線y1的斜率為1的弦，求a的取值范圍.169分析：由題意，直線l恒過定點P(0,-2),平分弦即過弦中點，可先求出弦中點的軌跡,再求軌跡上的點M與點P的連線的斜率即-a的范圍。AB的斜率為1, AB的中點為 M(X0,y0)解：設A(xi,yi),B(x2,y2)是雙曲線上的點，且2x1則：162*2162y192y29x21-得L2x216即M(X),y0)在直線9x-16y=0上。16.7,，點M的軌跡方程為9x-16y=0(x<-/立或°魚工)kpD=2

14、 -160.72,7162 716079 2.716由圖知，當動直線的斜率kC9 2.7169169169 279時，l過斜率為1的弦AB16由(9x-16y=022xy1169的中點M,而k=-a .a的取值范圍為:9 2.7169169162.716點評：此題是利用代數(shù)運算與幾何特征相結(jié)合的方法而解得的，由圖得知，弦AB中點軌跡并不是一條直線(9x-16y=0),而是這條直線上的兩條射線(無端點)。再利用圖形中的特殊點(射線的端點GD)的屬性(斜率)說明所求變量a的取值范圍。2例6、求直線3x-4y+10=0與橢圓與y21(a>0)有公共點時a的取值范圍a分析：將直線方程代入橢圓方程

15、消元得一元二次方程應有解，用判別式4>0可求得a的取值范圍。也可考慮另一代入順序，從橢圓方程出發(fā)設公共點P(用參數(shù)形式)，代入直線方程，轉(zhuǎn)化為三角問題：asinx+bcosx=c何時有解。解法一：由直線方程3x-4y+10=0得y353x 5代入橢圓方程得423352(x -)1 42(J2a > 0,得(15)240解得a28,又 a>0, a 32,73解法二：設有公共點為因公共點P在橢圓上,利用橢圓方程設 P (acos , sin )再代入直線方程得3acos-4sin +10=04sin -3acos二10。3asin cos.9a2 169a2 16109a2 1

16、6令 sin a3a.9a216cos a =.94a2 16 則 sin(a )=109a2 16由 sin(1 即 sin 2(- “)w 1 得 1009a 1619a2>84a2> 竺(a>0)3215x-x42.21a>3點評：解法1,2給出了兩種不同的條件代入順序，其解法1的思路清晰，是常用方法,但運算量較大，對運算能力提出較高的要求，解法2先考慮橢圓，設公共點再代入直線，技22巧性強，但運算較易，考慮一般關系：“設直線l:Ax+By+C=0與橢圓二E1有公共點，a2b2求應滿足的條件”此時，若用解法一則難于運算，而用解法二，設有公共點P,利用橢圓，設P(a

17、cos,bsin)代入直線方程得Aacos+Bbsin=-C。2, 2B b1時上式有解。.1.C2<A2a2+B2b2因此，從此題我們可以體會到條件的代入順序的重要性。同步練習】21的左、右焦點，過 Fi作直線交雙曲線左支于點,一,X1、已知：Fi,F2是雙曲線aA、B,若ABm,4ABF2的周長為()A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則P點的軌跡方程是()A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且ABAC,點B、C的坐標分別為

18、(-1,0),(1,0),則頂點A的軌跡方程是()2222A、'工1b、二上1(x0)43432222xyxyC>1(x0)D、一工1(x0且y0)43434、過原點的橢圓的一個焦點為F(1,0),其長軸長為4,則橢圓中心的軌跡方程是1 229A、(x-)y-(x1)2421 29C、x(y-)-(x1)241 229B、(x-)y-(x1)242,1、29 ,、D、x(y-)-(x1)24x25、已知雙曲線一92y1上一點M的橫坐標為4,則點M到左焦點的距離是166、拋物線y=2x2截一組余率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點p

19、(-2,0),則弦AB中點的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k=22xy10、設點P是橢圓1上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求sin/FPF2的259最大值。11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點，且AB中點M為(-2,1),AB4/3,求直線l的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線2 x -2 a2yy1(a0,b0)及其漸近線的交點從左到右依次為b2A、B、C、D。求證:ABCD 。參考答案1、CA

20、F2AF12a,BF2BF12a,AF2BF2AB4a,AF2BF22、C3、DAB4a2m,選c點P至1JF與至x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線p=8開口向右，則方程為y2=16x,ABAC22,且ABAC點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點不共線，即yw0,故選Do4、A設中心為(x,y),則另一焦點為(2x-12y),則原點到兩焦點距離和為得1.(2x1)2(2y)242)2y2又c<a,，、；(x1)2y25、離為ed6、y2=2x22,.(x-1)2+y2<4，由，得xw-1,選左準線為x=-3529351,x2(y2932)y1-y2=2(x12-x22

21、).22(x1XiX2、-11方程x(y>)227、y2=x+2(x>2)22Yi2Xi,y2,kABkMPM到左準線距離為929,一，-)則M到左焦點的距55設弦為ABA(x1,y)B(x2,y2)AB中點為(x,y),則y1=2x12,x2)設A(x122x2,Yi又弦中點在已知拋物線內(nèi)2,2,8、4ab4,c±2,弦長為49、v'2或1y=kx+12=2-2x,y1)2y2B(x2,2(x12y11將x一代入y=2x2得y-,軌跡22y2),x2),ABy1中點M(x,y),則Xix2y2-(Yiy2)22,即y2=x+2P,即Y2<2x,即x+2&l

22、t;2x,x>28,c2V2,令x2+'2代入方程得8-y2=4y2=4,y=代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0 1-k2=0 得 k=± 1yPFiF2224b22b21+cos 0 =2 r1r2r1r2ri+r22jrir2 ,，門2的最大值為a21+cos 0的最小值為即 1+cos 01825cos 025，0即sin / F1PF2的最大值為7 arccos25則當一時，sin 0取值得最大值1,21。2211、設橢圓方程為、4 1(a b 0) a b列，2由題意：C、2C、 cc成等差數(shù)2，4c c c即a2

23、 2c2,a2=2(a2-b2),a2=2b2c2X22b22橢圓方程為二 2b22y2-1，設 A(xi, yi), B(x2, y2)bX22b22 yi b22 y2 b2-得22XiX22b22yi2y2b2xm2b2ym k b2 kk20c.D得4k2+8(i-k2)=0,k=22010、解：a2=25,b2=9,c2=16設Fi、F2為左、右焦點，則Fi(-4,0)F2(4,0)設pFi|ri,|PF212,F1PF2則rir22r12r222r1r2cos(2c)22-得2rir2(1+cos9)=4b2直線AB方程為y-1=x+2即y=x+3 ,-3x2+12x+18-2b2

24、=0,代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0ABx1x2iTl171212(182b2)J24<332X斛得b2=i2,，橢圓方程為一242y1,直線l方程為x-y+3=0122 Xi 2 a2 X2 2 a2 yi b22y2 b2i2 xi -2ai2 x2由、知M、M均在直線l ：2x a21 k b2 k0上，而M、M又在直線l上，若l過原點，則B、C重合于原點，命題成立若l與x軸垂直，則由對稱性知命題12、證明：設A（xi,yi）,D（x2,平）,AD中點為M（x。，yo）直線l的斜率為k,則2xo2yO八-得°t°koa2

25、b2B(xi,yi),C(x2,y2),BC中點為M(xo,yo),i2xi2y0-得C°k0ab成立若l不過原點且與x軸不垂直，則 M與M 重合ABCD【同步練習】I、若實數(shù)x、y滿足x2+y2-2x+4y=0,則x-2y的最大值是（5B、I0C、9D、5+2，52、關于x的方程vix2k（x2）有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是3,)B>(,3,.3)C、-2,0口33、方程(x3)2(yi)20表示的圖形是（橢圓B、雙曲線C、拋物線D以上都不對4、已知P、Q分別在射線y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且POQ勺面積為i,（0為原點），則線段PQ中點M的

26、軌跡為（雙曲線x2-y2=iB、雙曲線x2-y2=i的右支半圓x2+y2=i(x<0)D段圓弧x2+y2=i(x>2)25、一個等邊三角形有兩個頂點在拋物線y2=20x上，第三個頂點在原點,則這個三角形的面積為6、設P(a,b)是圓x2+y2=1上的動點，則動點Q(a2-b2,ab)的軌跡方程是7、實數(shù)x、y滿足3x2+2y2=6x,則x+y的最大值為8、已知直線l:2x+4y+3=0,P是l上的動點，O為坐標原點，點Q分OP為1:2,則點Q的軌跡方程為29、橢圓162y-1在第一象限上一動點巳若A(4,0),B(093),O(0,0),則S四邊形apbo的最大值為10、已知實數(shù)x

27、、y滿足x+y=4,求證：(x2)2(y1)225211、ABC中,A(3,0)BC2,BC在y軸上，且在-3,3間滑動，求ABC外心的軌2跡方程。12、A、B是拋物線y2=2Px(p>0)上的點，且/AOB=90(。為原點)。求證：直線AB過定點。x-2y=b ,圓(x-1)2+(y+2)2=5,由(1,2)x-2y-b=0的距離等于V5得55,b=0或b=10入得則b的最大值為10,選或用參數(shù)法，令xx2y5.5cos25sin55(吏cos5生sin)55sin()最大值為10。選B2、C作圖，知當k-3,0時，直線3y=k(x-2)與半圓有兩交點,，勺選C3、B方程即；(x3)2

28、(y1)2.2選B。xix2=1,5、F(-3,1)P(x,y),l:x-y+3=0,PH4、B設M(x,2x=xi+x2法，設P(xi,xi)(xi>0)y)，i20033o22Xiyi.2xi則yi2邊長為2y=xi-x2,(2x)2-(2y)20x12y2，2x2y1=-y2L于H則*jJ2，由雙曲線第二定義知Q(x2,-x2)(x2>0)則1、2xi,2x21,22=4xix2貝Ux2-y2=1(x>0)。選B設此三角形為OAR設20x2(xi-x2)(xi+x2+20)=0A(xi,yi),B(x2,y2)由0AOB得xi>0,x2>0xi=x2、，-3

29、3,A、B關于x軸對稱，AB在y=x上33Jx代入y2=20x得A(60,20340J3面積為(4073)24i200.36、x2+4y2=1令a=cos0,bsin0,則Q(cos20,1sin20),設Q(x,y)貝Ux2+4y2=123(x-1)2+2y2=3,(x-1)2+2y213令x-1=cosy=*,貝Ux+y=cos、3sin+12最大值為8、2x+4y+1=0P(xi,yi),則x12,y0：-yii12xi=3x,yi=3y2xi+4yi+3=02X3x+4X3y+3=0即2x+4y+1=09、62設P(4cos,3sin)(0<<-)S四邊形APBOSOAPS

30、OBP1143sin3224cos6(sincos)6.2sn(-)4當=時，S四邊形APBO的最大值為6<2410、證明：設P（x,y）A(-2,1）則（x2)2(y1)2PA2過A作AHUl交于H,其中l(wèi):x+y=4則AH、2PAAH527r叫PA25,17一，一當P在H（17）時取等號22(x2)2(y1)22511、解：設C在B的上方，設B(0，t)則C(0,t+2),-3<t<1設外心為M（x,y）,因BC的中垂線為y=t+1.3t、AB中點為（一，一）,kAB22-AB的中垂線為y3由、消去t得y26(x*(2y2）這就是點M的軌跡方程。12、解：設OAy=kx,代入y2=2px得k2x2=2px則x2pk22pA(2p2p同理由OBy=-xk可得B(2pk2,-2pk)kAB2p2pk2pk22pk2k2k21k2AB:y2pk1k2(x2pk2)令x=2p得y=0,說明AB恒過定點（2p,0)21.（2007安徽又）橢圓x4y21的離心率為(A)掾(B)(0(D)-2.（2008上海文）設p是橢圓252y161上的點.若Fi,F2是橢圓的兩個焦點，則PFiPF2等于（）A.4B.5C.8D.104.（2006全國n卷文、理）已知ABC勺頂點x2