《現(xiàn)代氣候統(tǒng)計(jì)診斷與預(yù)測技術(shù)》課件：第八章兩氣候變量場相關(guān)模態(tài)

1、第八章第八章 兩氣候變量場相關(guān)模態(tài)的兩氣候變量場相關(guān)模態(tài)的分離分離奇異值分解奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）o 在氣候變化研究中，存在大量在氣候變化研究中，存在大量兩個(gè)變量場之兩個(gè)變量場之間的相關(guān)問題間的相關(guān)問題，即研究兩個(gè)場之間相關(guān)系數(shù)，即研究兩個(gè)場之間相關(guān)系數(shù)的空間結(jié)構(gòu)和它們各自對相關(guān)場的貢獻(xiàn)，提的空間結(jié)構(gòu)和它們各自對相關(guān)場的貢獻(xiàn)，提取兩個(gè)氣象場的耦合信號。取兩個(gè)氣象場的耦合信號。o 目前，分離兩場相關(guān)模態(tài)的方法中應(yīng)用最廣目前，分離兩場相關(guān)模態(tài)的方法中應(yīng)用最廣泛的是泛的是。o 其他方法？其他方法？方法概述方法概述o 設(shè)有兩個(gè)變量場，一個(gè)變量場

2、由設(shè)有兩個(gè)變量場，一個(gè)變量場由p個(gè)空間點(diǎn)構(gòu)成，個(gè)空間點(diǎn)構(gòu)成，樣本量（時(shí)間長度）為樣本量（時(shí)間長度）為n，稱作，稱作左場左場，記為，記為X；另；另一個(gè)變量場由一個(gè)變量場由q個(gè)空間點(diǎn)構(gòu)成，樣本量（時(shí)間長度）個(gè)空間點(diǎn)構(gòu)成，樣本量（時(shí)間長度）也為也為n，稱作，稱作右場右場，記為，記為Y。o 對對X、Y均均作標(biāo)準(zhǔn)化處理作標(biāo)準(zhǔn)化處理。pnppnnpxxxxxxxxxxxx21222211121121Xqnqqnnqyyyyyyyyyyyy21222211121121Y其交叉協(xié)方差矩陣為：其交叉協(xié)方差矩陣為：o 寫成分量形式為：寫成分量形式為：o 對其作奇異值分解，可得到對其作奇異值分解，可得到o 寫成分量

3、形式：寫成分量形式：o 這里有這里有m個(gè)向量個(gè)向量l，相互正交，每個(gè)向量包含，相互正交，每個(gè)向量包含p個(gè)元個(gè)元素，稱為素，稱為；有；有m個(gè)向量個(gè)向量r，也相互正交，也相互正交，每個(gè)向量包含每個(gè)向量包含q個(gè)元素，稱為個(gè)元素，稱為。TXYXYSn1 qjpitytxnsntjiij, 2 , 1;, 2 , 111TRLS000m1min,mk k kkmp qTSl ro 每個(gè)向量每個(gè)向量l與與r一一對應(yīng)，并對應(yīng)一個(gè)相應(yīng)的一一對應(yīng)，并對應(yīng)一個(gè)相應(yīng)的 。o 由奇異值分解原理可知，由奇異值分解原理可知，L是矩陣是矩陣SST的特的特征向量；征向量；R是矩陣是矩陣STS的特征向量，的特征向量，o SST

4、和和STS有相同的特征值，為有相同的特征值，為 12， 22， m2，其中，其中 1 2 m。111211112121222212221212,mmmmpppmqqqml llr rrlllr rrlllr rrLRo如何求出如何求出L、R和和 ？o 以矩陣以矩陣A為例，其特征值和特征向量的求解：為例，其特征值和特征向量的求解：n 計(jì)算計(jì)算| I-A|，其中，其中I為單位矩陣，其對角元素為為單位矩陣，其對角元素為1，其它元素均為其它元素均為0；n 求出求出| I-A|=0在給定數(shù)域上的全部特征值；在給定數(shù)域上的全部特征值；n 對于每個(gè)特征值對于每個(gè)特征值 ，求出相應(yīng)的特征方程組的解。，求出相應(yīng)

5、的特征方程組的解。o 分別由左、右場構(gòu)造兩組新變量場分別由左、右場構(gòu)造兩組新變量場11121111211212222122221212pnpnpppnmmmmpl llxxxlllxxxxxxlllTaaAL Xa11121111211212222122221212qnqnqqqnmmmmqr rryyyr rryyyyyyrrr TbbBR Ybo 由于由于L、R為正交化矩陣，故為正交化矩陣，故LLT=I，RRT=I，則有則有o 故故SVD也相當(dāng)于將左、右場分別進(jìn)行也相當(dāng)于將左、右場分別進(jìn)行EOF分解。分解。o 通常稱（通常稱（lk，rk）為一對）為一對（pattern）；）；ak、bk分別

6、為左、右場分別為左、右場，每一對變量型和相應(yīng)的展開系數(shù)確定了一種每一對變量型和相應(yīng)的展開系數(shù)確定了一種（mode）。）。1212mmaaXLAl lla1212mmbbYRBr rrb方差貢獻(xiàn)方差貢獻(xiàn)o 第第k對奇異向量對奇異向量為：為：o 前前k對奇異向量對奇異向量為：為：miikkSCF122miikiikCSCF1212模態(tài)相關(guān)系數(shù)模態(tài)相關(guān)系數(shù)o 一旦由一旦由SVD得到時(shí)間系數(shù)矩陣得到時(shí)間系數(shù)矩陣A、B，就可，就可以定義每對奇異向量的時(shí)間系數(shù)以定義每對奇異向量的時(shí)間系數(shù)A和和B之間之間的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)o 稱為稱為，它反映每對奇異向量，它反映每對奇異向量之間相互關(guān)系的密切程度，之間相互

7、關(guān)系的密切程度，反映的是典型變反映的是典型變量場總體相關(guān)狀況量場總體相關(guān)狀況。 12211,nkktkknnkkttat btratbta b異性相關(guān)系數(shù)異性相關(guān)系數(shù)o 左場左場X與右奇異向量的時(shí)間系數(shù)與右奇異向量的時(shí)間系數(shù)B之間的相關(guān)之間的相關(guān)系數(shù)為：系數(shù)為：o 右場右場Y與左奇異向量的時(shí)間系數(shù)與左奇異向量的時(shí)間系數(shù)A之間的相關(guān)之間的相關(guān)系數(shù)為：系數(shù)為： 1222111,1nktk kknnnkktttX t btrXtbtbtnlX b 1222111,1nktk kknnnkktttY t atrYtatatnrY a異性相關(guān)系數(shù)異性相關(guān)系數(shù)o 上兩式計(jì)算的相關(guān)系數(shù)分布型分別表示右上兩式

8、計(jì)算的相關(guān)系數(shù)分布型分別表示右（左）場的時(shí)間系數(shù)所反映的左（右）場時(shí)（左）場的時(shí)間系數(shù)所反映的左（右）場時(shí)間變化程度大小的分布，間變化程度大小的分布，顯著相關(guān)區(qū)則是兩顯著相關(guān)區(qū)則是兩變量相互作用的關(guān)鍵區(qū)變量相互作用的關(guān)鍵區(qū)，通常將上述相關(guān)系，通常將上述相關(guān)系數(shù)稱為數(shù)稱為。同性相關(guān)系數(shù)同性相關(guān)系數(shù)o 左左(右右)場時(shí)間系數(shù)與左場時(shí)間系數(shù)與左(右右)場的相關(guān)系數(shù)稱為場的相關(guān)系數(shù)稱為，其分布，其分布反映時(shí)間系數(shù)序列表示自反映時(shí)間系數(shù)序列表示自身氣象場時(shí)間變化程度大小的地理分布身氣象場時(shí)間變化程度大小的地理分布，在一，在一定程度上代表了左、右場的遙相關(guān)型。定程度上代表了左、右場的遙相關(guān)型。 12221

9、11,1nktk kknnnkktttX t atrXtatatnlX a 1222111,1nktk kknnnkktttY t btrYtbtbtnrY b顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)o 采用采用Monte Carlo技術(shù)檢驗(yàn)技術(shù)檢驗(yàn)SVD的顯著性。的顯著性。o 利用模態(tài)方差貢獻(xiàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，首先計(jì)算模態(tài)方利用模態(tài)方差貢獻(xiàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，首先計(jì)算模態(tài)方差貢獻(xiàn)：差貢獻(xiàn)：o 根據(jù)左場空間點(diǎn)數(shù)根據(jù)左場空間點(diǎn)數(shù)p、右場空間點(diǎn)數(shù)、右場空間點(diǎn)數(shù)q及其樣本及其樣本量量n，利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成隨機(jī)序列的兩個(gè)，利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成隨機(jī)序列的兩個(gè)資料矩陣，進(jìn)行資料矩陣，進(jìn)行100次次模擬模擬SVD計(jì)算。每次模計(jì)算。每次模擬后均

10、用奇異值擬后均用奇異值 k計(jì)算方差貢獻(xiàn)：計(jì)算方差貢獻(xiàn)：miikkSCF122o 將將Ukr排序，排序，Uk1 Uk2Uk100（k=1,2,m）o 如果如果SCFkUk95，則認(rèn)為第，則認(rèn)為第k對對SVD模態(tài)在模態(tài)在95%置信度水平上是顯著的。置信度水平上是顯著的。o 注：也可只對其中一個(gè)場進(jìn)行隨機(jī)生成。注：也可只對其中一個(gè)場進(jìn)行隨機(jī)生成。100, 2 , 1, 2 , 11rmkUmirirkrk結(jié)果分析結(jié)果分析o 從奇異向量的方差貢獻(xiàn)及累積方差貢獻(xiàn)了解從奇異向量的方差貢獻(xiàn)及累積方差貢獻(xiàn)了解某一對顯著某一對顯著SVD模態(tài)及前幾對顯著模態(tài)及前幾對顯著SVD模模態(tài)所占的態(tài)所占的方差比例方差比例。

11、o 由奇異向量時(shí)間系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)了解由奇異向量時(shí)間系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)了解兩兩變量場的顯著空間分布型總體的相關(guān)程度變量場的顯著空間分布型總體的相關(guān)程度。o 分析分析異性相關(guān)系數(shù)場異性相關(guān)系數(shù)場，尋找一個(gè)場對另一個(gè)，尋找一個(gè)場對另一個(gè)場相互影響的關(guān)鍵區(qū)。場相互影響的關(guān)鍵區(qū)。結(jié)果分析結(jié)果分析IIo 由于成對奇異向量是由兩變量的交叉協(xié)方差由于成對奇異向量是由兩變量的交叉協(xié)方差陣求出的，其中一個(gè)場的奇異向量對應(yīng)的時(shí)陣求出的，其中一個(gè)場的奇異向量對應(yīng)的時(shí)間系數(shù)包容了另一個(gè)場的信息，因此成對奇間系數(shù)包容了另一個(gè)場的信息，因此成對奇異向量的時(shí)間系數(shù)與該場的異向量的時(shí)間系數(shù)與該場的同性相關(guān)分布代同性相關(guān)分布代表了兩場耦合相關(guān)的空間結(jié)構(gòu)表了兩場耦合相關(guān)的空間結(jié)構(gòu)。SVD應(yīng)用中的一些問題應(yīng)用中的一些問題o 資料的選取：原始資料、距平資料和標(biāo)準(zhǔn)化資料的選取：原始資料、距平資料和標(biāo)準(zhǔn)化距平？距平？o SVD與與EOF的異同？的異同？參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：o Singular Value Decomposit