范德蒙行列式及其應(yīng)用

1、范德蒙行列式及其應(yīng)用字小了姓名一行單位，專業(yè)，學(xué)號(hào)等，一行摘要字體不對(duì):在高等代數(shù)中，行列式無疑是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。它主要應(yīng)用于高等代數(shù)理論，作為一種特殊的行列式范德蒙行列式不僅具有特殊的形式，而且有非常廣泛的應(yīng)用.本文主要探討范德蒙行列式在向量空間理論，線性變化理論，多項(xiàng)式理論中以及行列式計(jì)算中的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞字體，字號(hào):范德蒙行列式；逗號(hào)多項(xiàng)式；線性變換一 范德蒙行列式定義及性質(zhì)1.范德蒙行列式的定義定義1 關(guān)于變?cè)?的階行列式 (1)后邊都要用。叫做，的階范德蒙行列式，記作（,）.2.我們用定理什么定理？證明范德蒙德行列式已知在級(jí)行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么這個(gè)行列式等于

2、與它的代數(shù)余子式的乘積 ，在=中，從最后一行開始，每一行減去它相鄰前一行的倍得=根據(jù)上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一個(gè)因子是階范德蒙行列式，用表示，則有=同樣可得=（）()()此處是一個(gè)n-2階范德蒙行列式，如此繼續(xù)下去，最后得=（）()（）由以上的計(jì)算可以得出，符號(hào)？定理1 n階范德蒙行列式（,）=().這里上下標(biāo)號(hào)有問題。見上式，那里對(duì)。為啥不用標(biāo)號(hào)？ 有這個(gè)結(jié)果立即得出 定理2 n階范德蒙行列式為零的充分必要條件是,這n個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.二 范德蒙行列式的應(yīng)用范德蒙行列式由于其獨(dú)特的構(gòu)造和優(yōu)美的形式，而有著廣泛的應(yīng)用.下面將集中說明范德蒙行列式在行列式計(jì)算和證明及在微積分計(jì)算

3、中的應(yīng)用，并對(duì)范德蒙行列式在線性空間理論，線性變換理論，多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用作出探討.1. 范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用退二字。在多項(xiàng)式理論中，涉及到求根問題的有許多.在分析有些問題時(shí)，范德蒙行列式能夠起到關(guān)鍵作用的，若能夠熟練有效地運(yùn)用范德蒙行列式，則對(duì)我們最終解決問題會(huì)有直接的幫助.例1 證明一個(gè)n次多項(xiàng)式在至多有n個(gè)互異根.證 不妨設(shè)n>0,如果 f(x)=有n+1個(gè)互異的零點(diǎn),，則有=即 這個(gè)關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式=()0.因此，這個(gè)矛盾表明 ，f（x）至多有n個(gè)互異根.例2 設(shè)是數(shù)域F中互不相同的數(shù)，是數(shù)域F中任一組給定的不全為零的數(shù)，則存在唯一的數(shù)域

4、F上次數(shù)小于的多項(xiàng)式，使.證明 ：設(shè)，有條件得，.知 因?yàn)榛ゲ幌嗤?，所以，方程組的系數(shù)行列式.則方程組有唯一解，即唯一解小于n的多項(xiàng)式，使得，使得.例 3 證明：對(duì)平面上n個(gè)點(diǎn)，必存在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過n-1的多項(xiàng)式通過該n個(gè)點(diǎn)，即.證明： 設(shè)，要使，即滿足關(guān)于的線性方程組：，而該方程組的系數(shù)行列空出這么多？式為范德蒙行列式：.當(dāng)互不相等時(shí)該行列式不為零，由Cramer定理知方程組有唯一解，即對(duì)平面上n個(gè)點(diǎn)，必存在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過n-1的多項(xiàng)式通過該n個(gè)點(diǎn).2. 范德蒙行列式在加“求”字？矩陣的特征值與特征向量中的應(yīng)用例 4 A是3階方陣，A有3個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為令.證

5、明：線性無關(guān).證 =.缺少頁碼。線性無關(guān)，故有.由于，則，所以方程組只有零解，即線性無關(guān).例 5 設(shè)是階矩陣，證明的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).證明：設(shè)是的兩兩不同的r個(gè)特征值，非零向量是其相應(yīng)的特征向量，即，假設(shè)那么，即.由于其系數(shù)行列式，故，又于是，這證明了線性無關(guān).3. 范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用格式在向量空間理論中，我們常常會(huì)遇到需要用范德蒙行列式轉(zhuǎn)化問題，通過轉(zhuǎn)化，我們很容易就能得到需要的結(jié)論.例。此處沒有句號(hào)。6 設(shè)是互不相同的實(shí)數(shù)，證明向量組，i=1,2,n,n是n維向量空間的一組基.證 令.因?yàn)槭腔ゲ幌嗤膶?shí)數(shù)，所以，則線性無關(guān).例 7 設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空

6、間，任給正整數(shù)，則在V中存在m個(gè)向量，其中任取n個(gè)向量都線性無關(guān).證明：因?yàn)?，所以只需在中考慮即可.取，令，是范德蒙行列式，且，所以線性無關(guān).例 8 設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，則V的有限個(gè)真子空間不能覆蓋V.證明：當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.設(shè)n>1時(shí)，令是V的一個(gè)基，設(shè)，其中，為F中元素之集合.令，為單位向量.則易證是雙射，從而S中有無窮多個(gè)不同的元素.設(shè)為V的真子空間，則S中的元素在中的個(gè)數(shù)小于n,否則，若則由，知系數(shù)行列式為非零的范德蒙行列式，故有，進(jìn)而矛盾.從而S中只有有限多個(gè)元素在中，而S中有無窮多個(gè)元素，所以存在，但即V的有限個(gè)真子空間不能覆蓋其自身.以上各段都是，只有例子，沒

7、有提升，升華到理論。4. 范德蒙行列式在微積分中的應(yīng)用如果視多項(xiàng)式為實(shí)函數(shù)，則范德蒙行列式還可以應(yīng)用到微積分領(lǐng)域.什么時(shí)候用，怎么用？例 9 確定常數(shù)使得當(dāng)x0時(shí)為最高階的無窮小，并給出其等價(jià)表達(dá)式.解：對(duì)的各項(xiàng)利用泰勒公式，有當(dāng)時(shí)，若最高階無窮小在6階以上，則有方程組其系數(shù)行列式為范德蒙行列式，由于，故以為未知數(shù)的方程組只有零解：從而，這顯然不合題意，故以下考慮當(dāng)時(shí)最高階無窮小為6階的情形.令等價(jià)于此時(shí)為未知數(shù)的線性方程組，其系數(shù)行列式為范德蒙行列式方程組有唯一一組依賴于的解：從而在的領(lǐng)域內(nèi)的最高階無窮小有下述形式的表達(dá)式.這個(gè)符號(hào)不用5.范德蒙行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用范德蒙行列式的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)

8、范形式是：前邊有了，不要重復(fù)。根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，我們可利用行列式的性質(zhì)或拆項(xiàng)，升降等方法，將給定行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式的形式，從而利用其結(jié)果，求出原行列式的值，恰當(dāng)靈活的運(yùn)用范德蒙行列式會(huì)大大簡(jiǎn)化某些復(fù)雜行列式的計(jì)算。常見的化法有以下幾種：例10 計(jì)算 .解 將原n階行列式升階為一個(gè)n+1階行列式.然后將此n+1階行列式第一行乘以加到第i+1行可得=-=例11 計(jì)算解 本項(xiàng)中行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式的排列規(guī)律正好相反，為使中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，將第列依次與上行交換直至第1行，第行依次與上行交換直至第2行第2行依次與上行交換直至第行，于是共經(jīng)過次行的交換得到階范德蒙

9、行列式： 若的第行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含相同分行（列）；且中含有由個(gè)分行（列）組成的范德蒙行列式，那么將的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例12 計(jì)算解 將的第一行乘以-1加到第二行得：再將上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：例13 計(jì)算有錯(cuò)誤！解 作階行列式：=由所作行列式可知的系數(shù)為，而由上式可知的系數(shù)為：通過比較系數(shù)得：例14 設(shè)，計(jì)算行列式解 利用乘積變換法例15 計(jì)算行列式解 將升階為下面的階行列式即插入一行與一列，使是關(guān)于的階范德蒙行列式，此處是變數(shù)，于是故是一

10、個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式，它可以寫成另一方面，將按其第行展開，即得比較中關(guān)于的系數(shù)，即得例題羅列。沒有高度，深度。這是總的評(píng)價(jià)。也是修改方向。不要空出這么多，不用另起一頁。參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研組：高等代數(shù) 北京，高等教育出版社，1988；2 閆曉紅 ，高等代數(shù) （第三版），北京:中國時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，20063 王萼芳，石生明，高等代數(shù)（第三版），北京:高等教育出版社20034 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）5 北大數(shù)學(xué)系編.王萼芳等修訂.高等代數(shù).第三版.北京:高等教育社.2003(2).6 張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社.19997 白述偉.高等代數(shù)選講M.哈