自行車輪飾物的運動軌跡問題

1、理工大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模強化訓(xùn)練專題四自行車輪飾物的運動軌跡問題學(xué)員： 曹 陽 許佳利 倪迪杭 學(xué)院： 通信工程學(xué)院 時間：自行車輪飾物的運動軌跡問題摘 要 本文就自行車輪飾物的運動軌跡問題，采用解析幾何的方法建立數(shù)學(xué)模型，求出了自行車在各種不同形狀的道路上行駛時飾物和橢圓板中心的運動軌跡方程，并且利用Matlab軟件模擬仿真出了兩者的運動軌跡。 對于問題1和問題2，先運用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運動建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。求出的曲線軌跡分別見圖2、圖4和圖5。 對于問題4，將“圓板”換為“橢圓板”，通過設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識，將轉(zhuǎn)動

2、過程中橢圓板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，求出了其運動軌跡的參數(shù)方程。其軌跡圖像見圖8。關(guān)鍵詞:運動軌跡，解析幾何，拋物線，橢圓，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一、問題的提出為了改變平淡的自行車外表，給自行車添加一分美妙的動感，同時，也為了增加騎車人的“安全系數(shù)”，一些騎車人及自行車廠家在自行車的輻條上安裝一塊亮麗的飾物。當(dāng)有這種飾物的自行車在馬路上駛過時，這種飾物就如游龍一樣，對街邊的行人閃過一道波浪形的軌跡。這一波一閃的光亮游龍，也默默地維護(hù)著騎車人的安全。建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：1、這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。2、當(dāng)這自行車又在一個拋物線形的拱橋上通過時，或是在一拱一拱的正弦曲線（例如山地摩托車賽場）上通過

3、時，這飾物又畫出一條曲中有曲的軌跡，這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。3、這種滾動中圓盤中心的運動軌跡是什么？4、將問題中“圓板”換為“凸形板”（例如橢圓板）時，其滾動軌跡會有什么結(jié)果？二、問題的分析對于問題1、2，裝有飾物的自行車在馬路上行駛過程中，飾物會形成一道道曲線軌跡。而隨著路況的不同，如平坦的公路、拋物線形的拱橋、正弦曲線形的山地摩托車賽場等，飾物會形成不同的曲線軌跡。不管形狀的道路怎么樣，不管曲線軌跡有多復(fù)雜，都可以先運用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運動建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程是較易得到的，故問題的關(guān)鍵在

4、于求出不同形狀的道路上自行車輪軸心的軌跡方程。求出飾物的軌跡方程后，設(shè)定合理的參數(shù)，利用Matlab軟件就可以模擬仿真出飾物的曲線軌跡。對于問題4，研究凸形板（橢圓板）中心的運動軌跡時，可以通過設(shè)定參數(shù)，將轉(zhuǎn)動過程中橢圓板中心的坐標(biāo)通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換用參數(shù)表示，求出其運動軌跡方程，設(shè)定合理的參數(shù)，利用Matlab軟件就可以模擬仿真出橢圓板中心的曲線軌跡。三、模型假設(shè)1、自行車在行駛過程中車輪不打滑；2、自行車在行駛過程中速度保持不變；3、自行車在行駛過程中車輪始終與地面接觸。四、模型的建立及求解1、符號說明 自行車輪的半徑 飾物距車輪軸心的距離 自行車車輪上的飾物 自行車輪的轉(zhuǎn)動速度 定常量2、模型

5、建立2.1 模型1（問題1）模型的分析自行車在馬路上行駛時，可以認(rèn)為馬路是平坦的，因此自行車輪軸心的運動軌跡就是一條直線。求出這條直線方程后聯(lián)立飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程，就可以容易的得到飾物的運動軌跡。在檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性時，可以利用圖像求出幾個特殊點的坐標(biāo)，與利用軌跡方程求出的坐標(biāo)一一比較，若兩者求出的坐標(biāo)都是相同的，則驗證了模型的正確性。模型的建立與求解設(shè)自行車輪的半徑為，車輪上的飾物距離車輪軸心為。以自行車輪上某一點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，假設(shè)飾物的初始位置在軸上，其示意圖如圖1所示，則飾物的初始坐標(biāo)為。圖1 自行車輪示意圖設(shè)自行車輪的轉(zhuǎn)動速度為，則自行車的速度為。經(jīng)過時間后，飾物的繞自行車

6、輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運動軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程： 根據(jù)一般自行車的規(guī)格，取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖2所示：圖2 飾物在平坦道路上的軌跡模型的驗證用飾物在特殊點的坐標(biāo)來驗證模型。假設(shè)自行車沿正軸方向行駛，則自行車輪順時針轉(zhuǎn)動。飾物轉(zhuǎn)動、和時的坐標(biāo)分別為、和。飾物轉(zhuǎn)動時的圖像如圖3所示。圖3 轉(zhuǎn)動時的圖像由圖像我們可以得到的縱坐標(biāo)為。飾物轉(zhuǎn)動時，車輪中心經(jīng)過的距離為，故的橫坐標(biāo)為。因此飾物轉(zhuǎn)動時的坐標(biāo)為。而把帶入方程式求得的的坐標(biāo)，這與的坐標(biāo)是相同的。用同樣的方法，我們可以把飾物轉(zhuǎn)動和時的圖像作出，然后利用圖像求得飾物轉(zhuǎn)動和時的坐標(biāo)，這

7、與由方程式計算出飾物轉(zhuǎn)動和時的坐標(biāo)都是相同的。從而驗證了我們的模型的正確性。2.2 模型2（問題2）模型的分析當(dāng)這自行車在一個拋物線形的拱橋上通過時，自行車輪軸心的軌跡是一個類拋物線。在求飾物的軌跡時，先利用拱橋的拋物線方程求出自行車輪軸心的軌跡，然后聯(lián)立飾物的坐標(biāo)的參數(shù)方程，就可以得到飾物的軌跡。當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時，使用類似的方法，先求出自行車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。2.2.2模型的建立與求解（1）當(dāng)這自行車在一個拋物線形的拱橋上通過時，設(shè)拱橋的拋物線方程為：拋物線上任意一點的切線斜率為：，則該點的法向量的斜率為：。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌

8、跡方程為：解之得：這就是自行車輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點到任意一點的距離為，則有：又根據(jù)行駛路程與行駛時間之間的關(guān)系，有，令，則：。而經(jīng)過時間后，飾物的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運動軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一個拋物線形的拱橋上通過時飾物的運動軌跡方程。取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖4所示：圖4 飾物在拋物線拱橋上的軌跡（2）當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時，設(shè)正弦曲線的方程為：正弦曲線上任意一點的切線斜率為：，則該點的法向量的斜率為：。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：解之得：這就是

9、自行車輪軸心的軌跡方程。設(shè)自行車在正弦曲線上行駛的距離為，則有：。 這個定積分較為復(fù)雜，故在求解的時候，運用微積分的思想，將圖形等步長微分成份，對每一部分求出面積后累加即可得到的解。越大，求出的就卻精確。故有：同樣令，根據(jù)，得到飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時飾物的運動軌跡方程。取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖5所示：圖5 飾物在正弦曲線上的軌跡2.3 模型3（問題4）模型的建立與求解將問題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運動。設(shè)初始狀態(tài)時橢圓的方程為：，其參數(shù)形式為：則橢圓中心的坐標(biāo)為，坐標(biāo)原點為，如圖6所示。圖6 設(shè)橢圓轉(zhuǎn)動任意角

10、度后，橢圓中心為，橢圓與軸的切點為。嘗試通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動角度后和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，即：則過切點的切線方程為：。所以，該切線的斜率為：。從而可以推得：。 （1）點在橢圓上，故又滿足：。 （2）聯(lián)立（1）、（2）可以得到：這樣就得到了和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式。由于點在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程：故得到：。令直線與橢圓長軸的夾角為，則有：。故，。令坐標(biāo)原點和切點之間的弧長為，則有：。運用微積分的思想求解，將圖形等步長微分成份，對每一部分求出面積后累加即可得到的解。越大，求出的就卻精確。故有：切點到橢圓中心的距離。觀察圖7，容易得到橢圓中心在坐標(biāo)軸中滿足：所以，橢圓中心在橢圓轉(zhuǎn)動過程當(dāng)中的軌跡方

11、程為：圖7取，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖8所示：圖8 橢圓中心在水平道路上運動軌跡五、模型的評價本文通過對自行車運動過程中飾物以及圓板（凸形板）的運動進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并通過一定的物理和數(shù)學(xué)思想及方法，借助于MATLAB軟件模擬了問題中所需的各點的軌跡。在解決問題二時，我們巧妙地運用了數(shù)值積分的方法，把自行車在拋物線軌道上通過時飾物的軌跡方程求解出來，從而模擬出了其軌跡。對于問題四，我們設(shè)定了橢圓參數(shù)方程，通過對其運動過程物理狀態(tài)的分析，完成了對其中心軌跡的求解。本文的缺點在于由于時間有限，對于問題4的求解，只考慮橢圓板在水平直線上的運動。七、模型的推廣 可以將問題4拓展為較為簡單的凸

12、形板在常見平滑曲線上的運動，通過設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識，將轉(zhuǎn)動過程中簡單的凸形板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，從而求出其運動軌跡的參數(shù)方程。參考文獻(xiàn)1.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第六版 上冊高等教育出版社 2007年4月出版附錄一圖2的程序：t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*tw=v./Rx =-r*sin(w.*t)+w.*R.*t ;y =R-r*cos(w.*t);plot(x,y)axis(0 7 0 1.2)附錄二圖4的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*x0.2+b*x0k1=2*a*x

13、0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1%plot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.2)+log(k1+sqrt(k1.2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+b2)+log(b+sqrt(1+b2);x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);axis(-2 45 0 30)圖5程序：x0=-2:0.01:18;a=1;b=0.6;R=0.5;r=

14、0.4;x1=x0;y1=a*sin(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0);plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1;%plot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18 s=0;for i=1:100 s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)2)*(x3+2)/100endu=s/Ry1=a*sin(b*x3);k1=a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*

15、sqrt(1+(1./k2).2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);hold onendaxis(-3 14 -2.5 2.5)附錄三圖8的程序：clcfor u=0:0.001:1/2*pi a=4.5; b=2.5; k2=tan(u); x0=(b2*k2)/(sqrt(a2+k22*b2) y0=a-a2/sqrt(a2+k22*b2); d=sqrt(x02+(y0-a)2); w=asin(x0./b) n=100; s=0; for i=1:n s=s+w/n*sqrt(a2*(sin(w*i/n)2+b2*(cos(w*i/n)2); end x2=s+d.*sin(u-w); y2=d.*cos(u-w); plot(x2,y2) hold onendhold onfor u=0.5*pi:0.001:1*pi k